随机事件的概率与古典概型

第 1 页 共 8 页 随机事件的概率与古典概型

1．随机事件的频率与概率

(1)(2015北京，13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.

商品顾客人数 甲 乙 丙 丁

100 √ × √ √

217 × √ × √

200 √ √ √ ×

300

√ × √ ×

85 √ × × ×

98 × √ × ×

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率；

(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

(Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

答案：(Ⅰ)0.2 (Ⅱ)0.3 (Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大

解：(Ⅰ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，

(1分)

利用频率估计概率，可知顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(3分)

(Ⅱ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．(5分)

利用频率估计概率，可知顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(6分)

(Ⅲ)由统计表及频率估计概率可知：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.(12分)

因为0.6＞0.2＞0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．(13分)

2．互斥事件和对立事件

a．互斥事件、对立事件的判定

(2)(2019汇编，5分)下列事件中，________是互斥事件，________是对立事件．(填序号)

①从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”；

②一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都中靶”；

③抛掷一枚骰子，事件“落地时向上的点数是奇数”与事件“落地时向上的点数是2的倍数”；

④某城市有甲、乙、丙三种报纸，事件“至少订一种报纸”与事件“不订甲报”；

⑤现有5名学生，3名男生2名女生，从中任意抽取2人去参加比赛，事件“恰有1名

第 2 页 共 8 页 男生”与事件“恰有2名男生”．

答案：③⑤ ③

解析：①事件“至少有1个黑球”的可能性有两种：1个黑球1个红球或2个黑球；事件“至少有1个红球”的可能性也有两种：1个红球1个黑球或2个红球，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．②事件“至少有一次中靶”的可能性有两种：中一次靶或中两次靶，这与事件“两次都中靶”可能同时出现，所以不是互斥事件．③事件“落地时向上的点数是奇数”的结果可能为1，3，5，事件“落地时向上的点数是2的倍数”的结果可能为2，4，6，两个事件不可能同时发生，所以为互斥事件；又落地时向上的点数只可能是1，2，3，4，5，6，所以两个事件也是对立事件．④事件“至少订一种报纸”的结果可能为：订甲，订乙，订丙，订甲、乙，订甲、丙，订乙、丙，订甲、乙、丙，而事件“不订甲报” 的结果可能为：订乙，订丙，订乙、丙，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．⑤事件“恰有1名男生”的结果只有一种：1名男生1名女生，事件“恰有2名男生”的结果只能是2名男生，两个事件不可能一起发生，所以为互斥事件；但是抽取2名学生参赛的可能结果有1名男生1名女生、2名男生、2名女生这三种，所以两个事件不是对立事件．

b．互斥事件与对立事件的概率

(3)(经典题，12分)射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，0.13，计算这个射手在一次射击中：

(Ⅰ)射中10环或9环的概率；

(Ⅱ)至少射中7环的概率．

答案：(Ⅰ)0.52 (Ⅱ)0.87

解：(Ⅰ)∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环的概率分别是0.24，0.28，且它们为互斥事件，(2分)

∴这个射手在一次射击中射中10环或9环的概率P＝0.24＋0.28＝0.52.(5分)

(Ⅱ)(法一)事件“至少射中7环”包括基本事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”．(6分)

∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，且它们彼此互斥，(8分)

∴由互斥事件的概率加法公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率

P＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.(12分)

(法二)事件“至少射中7环”的对立事件为“射中7环以下”．(7分)

∵射手小张在一次射击中，射中7环以下的概率是0.13，∴由对立事件的概率公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率P＝1－0.13＝0.87.(12分)

3．求简单古典概型的概率

(4)(2017全国Ⅱ，5分)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )

A.110 B.15 C.310 D.25

答案：D

解析：两次抽取的卡片产生的所有结果如下表所示：

第1次

第2次 1 2 3 4 5

1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1)

2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2)

第 3 页 共 8 页 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3)

4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4)

5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5)

由上表可知，基本事件总数是25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数为4＋3＋2＋1＝10，则由古典概型的概率计算公式可得，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为P＝1025＝25，所以选D.

(5)(2016全国Ⅰ，5分)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

A.13 B.12 C.23 D.56

答案：C

解析：(法一)种花时可能产生的结果分别为：(红黄，白紫)，(红白，黄紫)，(红紫，黄白)，(黄白，红紫)，(黄紫，红白)，(白紫，红黄)，共6种等可能的结果，即基本事件总数为6，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的基本事件个数为4，故所求概率为P＝46＝23.故选C.

(法二)和红色花种在同一个花坛里的花有3种情况：紫色花、白色花、黄色花，三者是等可能的，其中红色与紫色的花不种在同一个花坛里有2种情况，故所求概率为23.故选C.

(6)(2018江苏，5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

答案：310

解析：将2名男生编号为1，2，3名女生编号为3，4，5.选出2名学生参加活动，有

(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个等可能基本事件．记事件“恰好选中2名女生”为事件A，则事件A包含(3，4)，

(3，5)，(4，5)3个等可能基本事件，所以P(A)＝310.

4．古典概型与其他知识点结合

(7)(经典题，12分)为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出如图43－8所示的茎叶图，其中x，y处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83分，乙同学成绩的平均数是86分．

图43－8

(Ⅰ)求x和y的值；

(Ⅱ)现从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．

第 4 页 共 8 页 答案：(Ⅰ)x＝3，y＝1 (Ⅱ)35

解：(Ⅰ)∵甲同学成绩的中位数是83分，∴x＝3.(2分)

数据个数为奇数时，中位数一定是数据按从小到大(或从大到小)排列后最中间的数．

∵乙同学成绩的平均数是86分，∴17(78＋83＋83＋80＋y＋90＋91＋96)＝86，

∴y＝1.(5分)

(Ⅱ)甲同学成绩在[90，100]之间的试卷有两份，分别记为a1，a2；乙同学成绩在

[90，100]之间的试卷有三份，分别记为b1，b2，b3.(6分)

“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共有10种等可能的情况．(8分)

记“从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M，则事件M包含的基本事件为(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共有6种情况，则P(M)＝610＝35.(12分)

(8)(2018北京昌平二模，13分)为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数(AQI)，绘制出如图43－9所示的频率分布直方图：

图43－9

第 5 页 共 8 页 根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：

空气质量指数(AQI) (0，100) [100，200) [200，300)

空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染

(Ⅰ)试根据样本数据估计A地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的天数；(结果保留整数)

(Ⅱ) 若分别在A，B两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．

答案：(Ⅰ)274 (Ⅱ)320

解：(Ⅰ)从A地区选出的20天中，空气质量状况“优良”的频率为

(0.008＋0.007)×50＝0.75，估计A地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的频率为0.75，所以A地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274(天)．(4分)

(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.003×50＝3天，设为a1，a2，a3；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.001×50＝1天，设为a4. B地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.002×50＝2天，设为b1，b2；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.003×50＝3天，设为b3，b4，b5.(8分)

设“抽到的日子里空气质量等级均为重度污染”为事件C.

满足条件的所有可能的结果为

a1b1，a1b2，a1b3，a1b4，a1b5，a2b1，a2b2，a2b3，a2b4，a2b5，a3b1，a3b2，a3b3，a3b4，a3b5，a4b1，a4b2，a4b3，a4b4，a4b5，共20种， C包含的基本事件有a4b3，a4b4，a4b5，共3种，所以抽到的日子里空气质量等级均为重度污染的概率为P(C)＝320.(13分)