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一元二次方程的公共根与整数根(讲义)

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一元二次方程的公共根与整数根 page 1 of 5 一元二次方程的公共根与整数根 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题 对于一元二次方程20axbxc(0)a的实根情况，可以用判别式24bac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程20axbxc(0)a有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24bac为完全平方数； ⑵ 242bbacak或242bbacak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

一、一元二次方程的公共根 【例1】 求k的值，使得一元二次方程210xkx，2(2)0xxk有相同的根，并求两个方程的根．

【例2】 设,,abc为ABC的三边，且二次三项式222xaxb与222xcxb有一次公因式，证明：ABC

一定是直角三角形．

【例3】 三个二次方程20axbxc，20bxcxa，20cxaxb有公共根． ⑴ 求证：0abc；

⑵ 求333abcabc的值．

【例4】 试求满足方程270xkx与26(1)0xxk有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．

【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0axaxaa和

知识点睛 例题精讲 一元二次方程的公共根与整数根 page 2 of 5 222(1)(2)(2)0bxbxbb(其中a，b为正整数)有一个公共根，求babaabab的值．

二、一元二次方程的整数根 【例6】 k为什么实数时，关于x的方程2(6)(9)(11715)540kkxkx的解都是整数？

【例7】 若关于x的方程26911715540kkxkx的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．

【例8】 已知a是正整数，如果关于x的方程32(17)(38)560xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

【例9】 若k为正整数，且关于k的方程22(1)6(31)720kxkx有两个相异正整数根，求k的值． 【例10】 关于x的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

【例11】 当m为何整数时，方程222525xmxm有整数解． 【例12】 已知关于x的方程24832xnxn和22(3)220xnxn，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

【例13】 求所有有理数r，使得方程2(1)(1)0rxrxr的所有根是整数． 【例14】 已知关于x的方程2(6)0xaxa的两根都是整数，求a的值． 【例15】 已知k为常数，关于x的一元二次方程22(2)(46)80kkxkx的解都是整数，求k的值． 【例16】 已知p为质数，二次方程222510xpxpp的两根都是整数，请求出p的所有可能的值． 【例17】 已知1240m，且关于x的二次方程222(1)0xmxm有两个整数根，求整数m． 【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a、b()ab均为整数，且满足24abmabm．试求这个直角三角形的三边长．

【例19】 关于x的方程22(3)(2)0axaxa至少有一个整数解，且a是整数，求a的值． 一元二次方程的公共根与整数根 page 3 of 5

【例20】 已知方程22238213150axaaxaa(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a ．

【例21】 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数．

【例22】 设m为整数，且440m，方程2222341480xmxmm有两个整数根，求m的值及方程的根．

【例23】 当m为何整数时，方程222525xmxm有整数解． 【例24】 已知方程22238213150axaaxaa(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a ．

【例25】 若关于x的方程26911715540kkxkx的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．

【例26】 设方程2(2)(3)0mxmxm有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解． 【例27】 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程22(21)4(3)0axaxa至少有一个整数根，求a的值．

【例28】 已知关于x的方程2222(38)213150axaaxaa (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．

【例29】 已知b，c为整数，方程250xbxc的两根都大于1且小于0，求b和c的值． 【例30】 已知a，b都是正整数，试问关于x的方程21()02xabxab是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．

【例31】 已知方程20xbxc及20xcxb分别各有两个整数根12,xx及12,xx，且120xx，120xx． ⑴ 求证：10x，20x，10x，20x； ⑵ 求证：11bcb≤≤； ⑶ 求,bc所有可能的值．

【例32】 设pq、是两个奇整数，试证方程2220xpxq不可能有有理根． 一元二次方程的公共根与整数根 page 4 of 5

【例33】 试证不论n是什么整数，方程21670sxnx没有整数解，方程中的s是任何正的奇数． 【例34】 求方程33222240ababab的所有整数解．

【例35】 已知a为整数，关于,xy的方程组23(2)(1)22xyaxxyaxa的所有解均为整数解，求a的值． 【例36】 求方程2237xyxxyy的所有正整数解． 【例37】 求所有的整数对(,)xy，使32232244447xxyxyyxxyy． 【例38】 设m是不为零的整数，关于x的二次方程2(1)10mxmx有有理根，求m的值． 【例39】 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数．

【例40】 a是正整数，关于x的方程32(17)(38)560xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

【例41】 已知,ab是实数，关于,xy的方程组 32yxaxbxyaxb



有整数解(,)xy，求,ab满足的关系式．

【例42】 已知p为质数，使二次方程222510xpxpp的两根都是整数，求出所有可能的p的值． 【例43】 设关于x的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．

【例44】 b为何值时，方程 220xbx和22(1)0xxbb有相同的整数根？并且求出它们的整数根？

【例45】 已知关于x的方程2(1)210axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个．

【例46】 求所有正实数a，使得方程240xaxa仅有整数根． 【例47】 方程()(8)10xax有两个整数根，求a的值． 一元二次方程的公共根与整数根 page 5 of 5

【例48】 求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程 222320,320,320xaxbxbxcxcxa的所有的根都是正整数．

【例49】 n为正整数，方程2(31)360xxn有一个整数根，则n__________． 【例50】 求出所有正整数a，使方程22(21)4(3)0axaxa至少有一个整数根．

【例51】 已知方程22(1)2(51)240axax有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________． 【例52】 不解方程，证明方程2199719970xx无整数根 【例53】 已知方程219990xxa有两个质数根，则常数a________． 【例54】 已知方程210xmxm有两个不相等的正整数根，求m的值． 【例55】 当m是什么整数时，关于x的方程2(1)10xmxm的两根都是整数？ 【例56】 设方程2(2)(3)0mxmxm有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解． 【例57】 已知a是正整数，如果关于x的方程321738560xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

【例58】 若k为正整数，且关于k的方程221631720kxkx有两个相异正整数根，求k的值．

【例59】 设a为质数，bc，为正整数，且满足 2922509410225112abcabcbc



求abc的值．

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一元二次方程整数根问题的解法技巧

一元二次方程整数根问题的解法技巧


7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后 代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为 整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,
一元二次方程公共根问题

一元二次方程公共根问题

一元二次方程公共根问题1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ①α2+aα-1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-13、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值．解：设方程的公共根为x=t，则t2+bt+10 (1)t2−t−b＝0 (2)，由（2）得b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2．4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．解：将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得，x2+x−3m＝0x2−mx+3＝0，解得x=3，m=4．4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．2 B．0 C．-1 D．无法确定5、若关于x的方程x2-mx+2=0与x2-（m+1）x+m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．3 B．2 C．4 D．-36.（2014春•太湖县校级月考）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为7.已知方程x2+mx+4=0和x2-（m-2）x-16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根．。

一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程讲义——绝对经典实用一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2.一般地，这样的方程都整理成为形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，我们把这样的方程叫做一元二次方程。

其中ax2，bx，c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。

如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

一元二次方程的求根方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

直接开平方法是指形如x=m（m≥0）的方程都可以用开平方的方法写成x=±m，求出它的解。

配方法是通过配方将原方程转化为(x+n)2=m（m≥0）的方程，再用直接开平方法求解。

配方是组成完全平方式的变形过程。

公式法是指一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为x=(-b±√(b2-4ac))/2a。

因式分解法是把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。

一元二次方程根的判别式的定义为b2-4ac，运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方得到实数根。

这里b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。

只有当系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根。

一元二次方程的根由其系数a、b、c确定，其根的情况（是否有实数根）由判别式Δ=b²-4ac确定。

设一元二次方程为2ax²+bx+c=0（a≠0），其根的判别式为Δ=b²-4ac，则解为x1,2=(-b±√Δ)/(2a)。

判定方程的根的情况有三种：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根；③Δ<0，方程没有实数根。

若a、b、c为有理数，且Δ为完全平方式，则方程的解为有理根；若Δ为完全平方式，同时-b±√Δ是2a的整数倍，则方程的根为整数根。

一元二次方程的根

一元二次方程的根

初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。