一元二次方程的整数解(答案)

10道公式法解一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。

公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。

训练专题三——一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_________个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_________个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=_________．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_________．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_________．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（）A．B．C．D．三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．15．（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0 至少有一个整数根，求a的值．16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。

一元二次方程的整数根1.使一元二次方程x2+3x+m=0有整数根的非负整数m的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 32.满足(n2-n-1)n+2＝1的整数n有________个．3.已知关于x的方程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．4.方程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q＝1992，则方程较大根与较小根的比等于________.5.已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根，则k＝________.6.关于x的一元二方程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根，则满足条件的m值的个数为________个．7.已知关于x的方程((m2−1)x2−3(3m−1)x+18=0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满足c=2√3，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0．求：(1)m的值；(2)△ABC的面积．8.当k为何整数时，方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72＝0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时，关于x的一元二次方程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a，使得方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解．11.设关于x的一元二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．12.已知m，n为正整数，关于x的方程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m，n的值．13.k为何值时，关于x的方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．15.已知一元二次方程x2+ax+b=0，①有两个连续的整数根，一元二次方程x2+bx+a=0，②有整数根，求a，b的值．答案1.C2.43.54.9975.26.47.解：（1）∵关于x 的方程（m 2-1）x 2-3（3m -1）x +18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a =m 2-1，b =-9m +3，c =18，∴b 2-4ac =（9m -3）2-72（m 2-1）=9（m -3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x 1•x 2=c a =18m 2−1，∴18m 2−1也是正整数，即m 2-1=1或2或3或6或9或18， 又m 为正整数，∴m =2；（2）把m =2代入两等式，化简得a 2-4a +2=0，b 2-4b +2=0当a =b 时，a =b =2±√当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2-4x +2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a +b =4＞0，ab =2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a ≠b ，c =2√3时，由于a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直角三角形，且∠C =90°，S △ABC =12ab =1．②a =b =2-√2，c =2√3时，因2(2−√2)＜2√3，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a =b =2+√2，c =2√3时，因2(2+√＞2√3，故能构成三角形．S △ABC =12×（2√）×√=√综上，△ABC 的面积为1或√． 8.解：∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36（k -3）2＞0∴km ≠3用求根公式可得：x 1=6k−1，x 2=12k+1∵x 1，x 2是正整数∴k -1=1，2，3，6，k +1=1，2，3，4，6，12，解得k =2．这时x 1=6，x 2=4． 9.解：原方程变形得(x −2n)(x −n)=6，∵x ，n 均为整数，∴原方程化为{x −2n =±2,x −n =±3或{x −2n =±3,x −n =±2或{x −2n =±6,x −n =±1或{x −2n =±1,x −n =±6，解得n =-1或1或-5或5．10.解：原方程变形为(x ＋2)2a =2x ＋7(x ≠−2)，解得a =2x ＋7(x ＋2)2.∵a ≥1，∴2x ＋7(x ＋2)2⩾1，∴-3≤x ≤1，∴x 可取值为-3，-1，0，1，分别代入a =2x ＋7(x ＋2)2中，解得a ＝1或a ＝5或a =74或a ＝1．又∵a 是正整数，∴当a ＝1或a ＝5时，方程至少有一个整数解. 11.解：原方程可化为[(k −4)x ＋(k −2)][(k −2)x ＋(k ＋2)]=0，∵k 2−6k ＋8=(k −4)(k −2)≠0，∴x 1=−k−2k−4=−1−2k−4，x 2=−k ＋2k−2=−1−4k−2， ∴k −4=−2x 1＋1，k −2=−4x 2＋1(x 1≠−1,x 2≠−1)，消去k ，得x 1x 2＋3x 1＋2=0. ∴x 1(x 2＋3)=−2．由于x 1，x 2都是整数，∴{x 1=−2,x 2＋3=1或{x 1=1,x 2＋3=−2或{x 1=2,x 2＋3=−1.或{x 1=−2,x 2=−2或{x 1=1,x 2=−5或{x 1=2,x 2=−4． ∴k =6或3或103.经检验均满足题意．12.解：设方程x 2−mnx +(m +n )=0的两根分别为：x 1,x 2，∵m ，n 为正整数，∴x 1+x 2=mn >0,x 1⋅x 2=m +n >0，∴这两个根x 1,x 2均为正数，又∵(x 1−1)(x 2−1)+(m −1)(n −1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1−[mn −(m +n )+1]=(m +n )−mn +1+[mn −(m +n )+1]=2， 其中(x 1−1)(x 2−1)，m −1，n −1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0.∵(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=m +n −mn +1,(m −1)(n −1)=mn −(m +n )+1，∴{m +n −mn +1=0mn −(m +n)+1=2或{m +n −mn +1=1mn −(m +n )+1=1或{m +n −mn +1=2mn −(m +n)+1=0，解得：{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解：根据题意得：△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k )，∵方程的解为有理数，∴4(m 2-6m +4-4k )是一个完全平方数，即4-4k =9，解得：k =-54. 14.解：设方程x 2+ax +b =0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中 α，β为整数，且α≤β，则方程x 2+cx +a =0的两根为α+1，β+1，∴α+β=-a ，(α+1)(β+1)=a ，两式相加，得 αβ+2α+2β+1=0，即 (α+2)(β+2)=3，∴{α+2=1β+2=3或{α+2=−3β+2=−1.解得{α=−1β=1或{α=−5β=−3.又 ∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0，b =αβ=-1×1=-1，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2， 或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8，b =αβ=(-5)×(-3)=15，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6， ∴a =0，b =-1，c =-2；或者a =8，b =15，c =6，∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29，故a +b +c =-3，或29．15.解：设方程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=−a n(n +1)=b∴a =-(2n +1)，b =n (n +1)，则方程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③，∵方程③有整数根，视n 为主元，∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解，∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2（p 为正整数），∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2＞p -2，∴{p +2=x 2p −2=1−4x ⑥，{p +2=x p −2=(1−4x)x ⑦，{p +2=1−4x p −2=x2⑧，{p +2=(1−4x)x p −2=x ⑨， 由⑥得：x 2+4x -1=0，解得：x 1=-5，x 2=1，把x 1=-5代入③得：n =-3或n =85（不合题意，舍去），当n =-3时，a =5，b =6， 把x 2=1代入③得：n 1=0，n 2=1，当n =0时，a =-1，b =0，当n =1时，a =-3，b =2， 对⑦，⑧，⑨继续讨论.综上所述，{a =−1b =0或{a =−3b =2或{a =5b =6.。

一元二次方程应用题20及答案1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

解：设这两个数分别是a和a+1. 根据题意列方程：a²+（a+1）²=25整理得：a²+a-12=0 解得：a1=3 a2=-4当a=3时，两个数分别是3和4 当a=-4时，两个数分别是-3和-42、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之积的3倍刚好等于这个两位数。

求这个两位数。

解：设个位数为x，则十位数为x-2 x（x-2）3=10（x-2）+x3 a²2-17x+20=0 (3x-5)(x-4)=0 x=5/3（舍去）或x=4则这两位数为243、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。

解：设这个两位数个位数为x，则（10x+6-x）(10(6-x)+x) = 1008,化简得到x ²-6x+8=0,所以x=2或4面积问题4、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。

解：设小正方形的边长为X厘米（80-2X）（60-2X）=1500 x² -70X+825=0（X-15）（X-55）=0 X=15或X=55（不符合，舍去）X=155、如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？解：设宽度为xm，640-(20*2*x+32*x)+2x^=570x²-36x+35=0 （X-1）（X-35）=0x=1 或35(不合题意，舍去）x=1增长率问题6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？解：设增长率为x，则 32+32(1+x)+32(1+x)(1+x)=122(4x-1)(4x+13)=0 x=0.25或-3.25(不合题意，舍去）二月发行图书32(1+x)=40册三月发行图书32(1+x)(1+x)=50册7、某校2009年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2011年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？解：设平均年增长率为X。