高中数学 第3章《概率》随机事件及其概率 精品导学案 苏教版必修三

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3______年______月______日____________________部门20xx最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为A．(2)性质：P(A)＋P(A)＝1，P(A)＝1－P(A)．1．从集合的角度理解互斥事件与对立事件．设两个事件分别为A 和B，则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示．(2)事件A和B对立可用图(2)表示．2．运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．[例1] 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件．并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．[思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断．[精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件．道理是：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不可能是互斥事件．从而也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件．也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．也是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．[一点通]对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和是不是必然事件，这是判断两个事件对立的基本方法．1．下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件其中，正确的个数是________．解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有②④正确．答案：22．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(3分)故事件A，B，C的概率分别为，，分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋分)∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(6分)＝＝.故1张奖券的中奖概率为分)(3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，分)∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P＝＋＝.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E 概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.答案：3 54．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)m)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，16)(m)；(2)[8，12)(m)；(3)水位不低于14 m.解：设水位在[a，b)范围内的概率为P([a，b))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P([10，16))＝P([10，12))＋P([12，14))＋P([14，16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P([8，12))＝P([8，10))＋P([10，12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P([14，18))＝P([14，16))＋P([16，18))＝0.16＋0.08＝0.24.[例3] 一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2， (9)从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？[思路点拨] 用对立事件的性质去求解．[精讲详析] 从9张票中任取2张，有(1，2)，(1，3)，…，(1，9)；(2，3)，(2，4)，…，(2，9)；(3，4)，(3，5)，…，(3，9)；…(7，8)，(7，9)；(8，9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2，4，6，8的四张票中任取2张有(2，4)(2，6)(2，8)(4，6)(4，8)(6，8)共6种取法．∴P(C)＝＝，由对立事件的性质得P(B)＝1－P(C)＝1－＝.[一点通]1．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．2．涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．5．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的对立事件为两颗卫星预报都不准确，故所求概率为1－(1－0.8)·(1－0.75)＝0.95.答案：0.956.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示．随机选出一个成员，求：(1)他至少参加2个小组的概率；(2)他参加不超过2个小组的概率．解：(1)由题图知3个课外兴趣小组的总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A表示“选取的成员至少参加2个小组”．于是P(A)＝1－P(A)＝1－＝.(2)用事件B表示“选取的成员参加不超过2个小组”，用B表示“选取的成员参加3个小组”，所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.1．利用互斥事件的概率加法公式可以求一些复杂事件的概率，但一定要注意公式使用前提，一是两两互斥，二是有一个发生．2．利用互斥事件与对立事件的概率公式有助于解决较复杂的古典概型问题，可以把一个复杂事件分成几个简单的互斥事件或者考虑一个事件的对立事件往往能达到化繁为简的目的．课下能力提升(十八)一、填空题1．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________．①至少有一个红球；至少有一个白球②恰有一个红球；都是白球③至少有一个红球；都是白球④至多有一个红球；都是红球解析：对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．答案：②2．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．解析：∵摸出红球的概率P1＝＝0.45，∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.答案：0.323.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15、0.20、0.45，则不中靶的概率是________．解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C，D彼此互斥，故射手中靶概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0．15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率P(D)＝1－P(A ＋B＋C)＝1－0.80＝0.20.答案：0.204．袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有1个白球的概率是________．解析：从5个球中任取两个球含10个基本事件，取得的两球中没有白球的含3个基本事件，且此事件与事件A：“取得的两球中至少有一个白球”对立，则P(A)＝1－P()＝1－＝.答案：7 105．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，所以P(A)＝，所以P()＝1－P(A)＝1－＝.答案：3 5二、解答题6．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．7．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员中属于一支球队”为事件A，则事件A的概率为P(A)＝＝.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率为P(B)＝1－＝.8．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示“和为6”的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，以B表示“甲至少赢一次”的事件，C表示“乙至少赢两次”的事件，则B与C是否为互斥事件？试说明理由；(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)令x、y分别表示甲、乙出的手指数，则基本事件可表示为坐标中的数表示甲、乙伸出的手指数的和．因为S中点的总数为5×5＝25，所以基本事件总数n＝25.事件A包含的基本事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个，所以P(A)＝＝.(2)B与C不是互斥事件，如“甲赢一次，乙赢两次”的事件中，事件B与C是同时发生的．(3)由(1)知，和为偶数的基本事件数为13个，即甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平．。

某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编 号为 0,1,2,3 的四个形状和大小都相同的小球的抽奖箱中摸 球，每次取出一球记下编号放回，连续取两次，若取出的两 个小球号码相加之和等于 6，则中一等奖，等于 5 中二等奖， 等于 4 或 3 中三等奖． (1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．
抽检产品数(n) 5 10 60 150 600 900 1 200 1 800 2 400 次品数(m) m 次品频率( ) n 0 3 7 19 52 100 125 178 248
(1)计算表中的次品频率； (2)利用所学知识估计该厂产品的次品率是多少．
【解】 (1)计算出各个次品频率如下表所示：
(2)先后两次摸球有 12 种可能的结果： (a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(c，a)， (c，b)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，其中第 2 次摸到黄 球的结果包括： (a，b)，(b，a)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，故第 2 6 1 次摸到黄球的概率为12＝2.
某射手在相同条件下进行射击，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ (2)假设该射手射击了 300 次，估计击中靶心的次数是多 少？ (3)假如该射手射击了 300 次，前 270 次都击中靶心，那 么后 30 次一定都击不中靶心吗？
抽检产品数 (n) 次品数(m) 5 10 0 3 60 7 150 19 600 52 900 100 1 200 1 800 125 178 2 400 248 0.103

栏 目 链 接
不能预测会出现哪种结果．
要 点 导 航
3．判断一个试验或现象是随机现象还 是必然现象，关键是看这个试验或现象在一 定条件下是否一定发生某种结果．
栏 目 链 接
要 点 导 航
二、对试验的理解
本知识点的易错之处：忽视随机现象中的“一定 条件”，随机现象结果的不确定性，是由于一些次要
栏 目 链 接
全部合格． (2)抛10次骰子，出现3次4点．
典 例 剖 析
分析： 试验就是探索随机现象规律的过程．
解析： (1) 每取 1 件产品进行检测，就是 1 次试验，共
进行了3次试验． (2)抛一次骰子，就是一次试验，共有10次试验． 规律总结： 随机试验 ( 一次试验 ) 所代表的现象叫随机现 象；对“试验”一词要作广义理解．例如，做一次游 戏，参加一次考试，做一次化学实验等等，都是一次 试验．
这是神的旨意，应予当场赦免．
有一次，国王决定处死一个敢于 “犯上” 的大臣，为了 不让这个大臣得到半点获赦的机会，他与几个心腹密谋 暗议，想出一条狠毒的计策：暗中嘱咐执法官，把
“ 生死签”的两张纸都写成“死 ”字，这样，不管犯人
抽的是哪张签纸，终难免一死．
当执法官宣布抽签的办法后，只见大臣以极快的 速度抽出一张签纸，并迅速塞进嘴里，等到执法官反应 过来，嚼烂的纸早已吞下，执法官赶忙追问： “你抽到 ‘ 死’字签还是‘生 ’字签？” 大臣故作叹息说： “我 听从天意的安排，如果上天认为我有罪，那么这个咎由 自取的苦果我也已吞下，只要看剩下的签是什么字就清
的、偶然的因素影响所造成的，而这些次要条件和偶
然因素又是人们无法事先一一把握的．
栏 目 链 接
典 例 剖 析
题型一
随机现象的判断

(2,4)； (4)“xy＝4”包含以下 3 个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以 下 4 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
练习：一个盒子中装有 4 个完全相同的球，分别标有号码 1,2,3,5，从中任取两 球，然后不放回． (1)写出这个试验的基本事件空间； (2)求这个试验的基本事件总数； (3)写出“取出的两球上的数字之和是 6”这一事件所包含的基本事件．
1．常见现象的特点及分类
名称
定义
必然现象 在一定条件下必然 发生某种结果的现象．
不可能现 在一定条件下 不可能发生某种结果的现象．
象
在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到
随机现象 的结果 不一定 相同，事先很难预料哪一种
结果会出现的现象.
2.试验 把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把
典型例题：
例 1：判断下列现象是必然现象还是随机现象： (1)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数； (2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色； (3)在 10 个同类产品中，有 8 个正品、2 个次品，从中任意抽出 2 个检验的结果．
[精解详析] (1)掷一枚质地均匀的骰子其点数有可能出现 1～6 点，不能确定， 因此是随机现象． (2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有 可能是绿色，故是随机现象． (3)抽出的 2 个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有 可能是两个次品，故此现象为随机现象．
件是( )
A．4 个都是正品
B．至少有 1 个是次品
C．4 个都是次品
D．至少有 2 个是正品
解析：A、B 为随机事件，C 为不可能事件，只有 D 为必然事件．答案：D