吉林大学考研材料力学题型1：内力图

ＯＣＣＵＰＡＴＩＯＮ2012 0926交流EXPERIENCE

计算内力与画内力图的技巧

余瀚欣　夏志娟　韩美娥　余茂武

在材料力学四种基本变形的学习中，计算

内力与画内力图是各种基本变形强度与刚度计

算的基础。一般情况下构件不同截面上的内力

是不同的，内力随横截面位置而变化。由于在

进行强度与刚度计算时，需要知道各横截面上

内力的最大值以及所在截面位置即危险面，因

此必须知道内力随截面变化的规律。为了便于

形象直观地看到内力的变化规律，通常是将内

力沿构件轴线的变化用图形来表示，这种图形

称为内力图。

计算内力画内力图，是每位学者都觉得很头疼的

事，而职业院校的学生由于基础相对薄弱学起来就更

难，因此对其技巧的探索与研究势在必行。有不少从

教者做了很大的努力，总结不少好的方法，但相比本

文介绍的方法还是麻烦了点。本文介绍的方法简便易

行，学生易于接受，增强了学习的主动性和积极性。

下面以三种不同的方法计算扭转变形时的内力、画内

力图为例，通过比较说明第三种方法的可行性、简便

性与实用性。

例：一传动轴如图１所示。

已知其上作用有外力偶m１＝１００Ｎｍ，m２＝５０Ｎｍ，m３＝２０ＫＮｍ，m４＝３０Ｎｍ，试求轴的扭矩，并画出扭矩图。

一、第一种方法：截面法

1.计算轴各段扭矩（见图1）AB段：Σmx=0，m2+Mn1=0,Mn1=-m2=-50Nm（取截面以左分析）BC段：Σmx=0，m2+m3+Mn2=0,Mn2=-m2-m3=-70Nm（取

截面以左分析）CD段：Σmx=0，m4-Mn3=0,Mn3=+m4=-30Nm（取截面以

右分析）

1-1，2-2截面扭矩计算出现负值，说明图1中b）、c)

中的假设的扭矩转向与实际相反，实际扭矩矢量方向与横

截面的外法线方向相反。按扭矩正负符号规定，该扭矩为

负。

3-3截面扭矩计算出现正值，说明图1d）中的假设的扭

矩转向与实际相同，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线

方向相同。按扭矩正负符号规定，该扭矩为正。

扭矩的正负符号规定见图3。

总第１４卷１５７期　２０１２年９月　大众科技　Ｐｏｐｕｌａｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ＶＯ　Ｌ．１４　Ｎｏ．９　Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ　２０１　２　

材料力学内力图的统　

张宏学姚卫粉　一画法　

（安徽理工大学理学院，安徽淮南２３２００１）　

【摘要】利用数学中的导数和定积分等知识对材料力学的轴力图、扭矩图、剪力图和弯矩图形成统一的画法，运用这种　方法画内力图速度快、效率高、准确性高，体现了材料力学课程的关联性，而且为材料力学模块化教学提供了思路。教学实践　

证明，该方法简单明了、好学易懂、学生易于掌握，对今后的教学和工程实际具有一定的指导意义。　

【关键词】材料力学；内力图；导数；定积分；统一画法　

【中图分类号】０３０２　【文献标识码】Ａ　【文章编号】１００８—１１５１（２０１２）０９—０１２３—０３　

Ａ　Ｕｎｉｆｉｅｄ　Ｄｒａｗｉｎｇ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｎａｌ　Ｆｏｒｃｅ　Ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　Ｍａｔｅｒｉａｌ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｆｏｒｍ　ａ　ｕｎｉｆｉｅｄ　ｄｒａｗｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａｘｉａｌ　ｆｏｒｃｅ　ｄｉａｇｒａｍ、ｔｏｒｑｕｅ　ｄｉａｇｒａｍ、ｓｈｅａｒ　ｄｉａｇｒａｍ　ａｎｄ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｍｏｍｅｎｔ　ｄｉａｇｒａｍ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｎｄ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ，ｉｔ　ｉｓ　ｆｉｓｔ、ｈｉｇｈ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ａｎｄ　ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｔｏ　ｄｒａｗ　ｉｎｔｅｒｎａｌ　ｆｏｒｃｅ　ｄｉａｇｒａｍ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ　ｅｍｂｏｄｙ　ｒｅｌｅｖａｎｃｅ　ｏｆｍａｔｅｒｉａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ａｌｓｏ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ｔｈｏｕｇｈｔ　ｆｏｒ　ｍｏｄｕｌａｒ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｏｆｍａｔｅｒｉａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ。Ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｐｒａｃｔｉｃｅ　ｒｅｖｅａｌｅｄ　ｔｈａｔ　ｉｔ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｏｆ　ｓｉｍｐｌｅｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｃｌｅａｎｅｓｓ，ｅａｓｉｎｅｓｓ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ，ａｎｄ　ｉｔ　ｉｓ　ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ　ｆｏｒ　ｓｔｕｄｅｎｔ　ｔｏ　ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｄ，ａｌｓｏ　ｈａｓ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｄｉｒｅｃｔｉｖｅ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｆｏｒ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ａｎｄ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｐｒａｃｔｉｃｅ。　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｅｒｉａｌ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ｉｎｔｅｒｎａｌ　ｆｏｒｃｅ　ｄｉａｇｒａｍ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｕｎｉｆｉｅｄ　ｄｒａｗｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　

第一章 绪论

重点 1、 内力的概念；

2、 用截面法求杆件内力；

3、 正应力和剪应力的概念；

4、 小变形的概念；

5、 线应变和角应变的概念；

6、变形固体的基本假设及其在材料力学问题中的应用；

难点 1、应力是一点的应力，应力与横截面之间的方位关系；2、小变形概念在解决材料力学问题时的应用；

3、材料力学处理问题的方法；

基本知识点 1、 理解材料力学研究的对象及其任务；

2、 材料力学的基本假设及力学模型；

3、了解内力、应力和应变的概念；

4、了解杆件的四种基本变形；

5、了解基本变形的受力和变形特点；

6、了解构件强度、刚度、稳定性的概念；

判 断 题 绪 论

1、"材料力学是研究构件承载能力的一门学科。"

答案 此说法正确

2、"材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。"

答案 此说法错误

答疑材料力学的任务是在保证构件既安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件选择适当的材料、合适的截面形状和尺寸，确定构件的许可载荷，为构件的合理设计提供必要的理论基础和计算方法。

3、"材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。"

答案 此说法正确

4、"因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。"

答案 此说法错误

答疑材料力学研究范围是线弹性、小变形，固构件的变形和构件的原始尺寸相比非常微小，通常在研究构件的平衡时，仍按构件的原始尺寸进行计算。

5、"外力就是构件所承受的载荷。"

答案 此说法错误

答疑 外力包括作用在构件上的载荷和支座反力。

6、"材料力学中的内力是构件各部分之间的相互作用力。"

答案此说法错误

答疑在外力的作用下，构件内部各部分之间的相互作用力的变化量，既构件内部各部分之间因外力而引起的附加的相互作用力。

7、"用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任意部分进行平衡计算。"

1 材料力学-学习指导及习题答案

第 一 章 绪论

1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。

解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx，即扭矩，其大小等于M。

1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。

解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故

σ＝pcosα=120×cos10°=118.2MPa

τ＝psinα=120×sin10°=20.8MPa

1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。 2

解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力

FN=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN

其力偶即为弯矩

Mz=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m

1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。

解：

第 二 章 轴向拉压应力

2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。 3

解：(a) FNAB=F, FNBC=0, FN，max=F

(b) FNAB=F, FNBC=－F, FN，max=F

(c) FNAB=－2 kN, FN2BC=1 kN, FNCD=3 kN, FN，max=3 kN

(d) FNAB=1 kN, FNBC=－1 kN, FN，max=1 kN

2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。