《最大面积是多少》说课稿
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《最大面积是多少》说课稿
大家好！今天我说课的内容是北师大版新教材九年级下册第二章二次函数第七节《最大面积是多少》。
下面我将从以下几个方面来具体说明我对这节课的理解与设计。
一、教材分析：
本节课是二次函数在实际问题应用中的第二节课。
可以说，二次函数是一种非常基本的初等函数，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型。
在初中阶段所有学过的函数中，二次函数对于学生来说，还是属于较难，较复杂的一种。
而本节课的“面积最大是多少”的问题，不但要应用二次函数的最优化问题去解决，还要在整个教学中给学生创造自我探究、分析、合作交流、归纳的机会、最终渗透一种建立数学模型的思想，为学生进一步学习函数，体会函数思想奠定基础，积累经验。
关于教学背景，我主要从二方面进行说明，首先让我们一起来看学习任务，另外一方面是学生情况分析，我根据《新课程标准》，结合教材内容和学生认知水平，将本节课的教学目标制定如下：
二、教学目标：
(一)教学知识点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)能力训练要求
1．通过分析和表示不同背景下变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
三、教学重点和难点：
（一）教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
（二）教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．
四、课堂结构设计：
为了充分调动学生的参与意识，更好的落实各项目标，我将采用让学生亲自动手操作、感知、小组讨论与讲授等方法来教学，以从一块三角形边角料中截出最大面积的长方形为实际背景来激发学生学习的兴趣并导入课题：最大面积是多少
为帮助学生构建二次函数数学模型解决实际问题，我先组织学生分组开展剪一剪活动，让他们在剪的过程中受到启发，知道这样的矩形可以剪出无数多个，从而体会到函数的思想，然后通过具体的问题，引导学生用二次函数的相关知识解决此类问题，使学生感受到变化过程中存在着函数关系，进而体会到构建数学模型是重要的数学思想方法，它对学生今后的数学学习起很重要的作用，在初步掌握了解决此类题目的方法后，设计了类似的变式训练，让学生在脑海中形成具体的、清晰的思路方法，最后在教师的引导下通过具体的问题让学生对本节课进行交流和归纳，目的是培养学生归纳总结问题的能力，并鼓励学生积极表达自己的观点，体现了学生是学习的主人，教师只是一个组织者和引导者。
五、教学媒体设计：
根据学生的年龄特征和认知规律，我对教学媒体的设计进行如下设计：
1、创设情境，引入课题：展示学生剪出的长方形，并由此引出本节课的课题。
2、探究新知，通过动画演示，帮助学生启发学生分析和思考，从而发现利用二次函数解决实际问题的方法。
3、变式训练，展示类似问题让学生进行训练，目的是帮助学生理清解决类似问题的思路，归纳出解决问题的方法。
4、小结，展示小结问题，帮助学生把知识内化和构建知识结构。
六、教学过程设计：
（一）、创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．
（问题一）
如下图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中
AB 和AD 分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x 取何值时，y 的值最大？
最大值是多少？
分析：(1)要求AD 边的长度，即求BC 边的长度，而BC 是
△EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出BC ．由△EBC ∽
△EAF ，得AF BC EA EB =即304040BC x =-．所以AD ＝BC ＝4
3(40－x )． (2)要求面积y 的最大值，即求函数y ＝AB ·AD ＝x ·4
3(40－x )的最大值，就转化为数学问题了．
下面请大家讨论写出步骤．
(1)∵BC ∥AD ， ∴△EBC ∽△EAF ．∴AF BC EA EB =． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴304040BC x =-．∴BC ＝4
3(40－x )． ∴AD ＝BC ＝43(40－x )＝30－4
3x ．
(2)y ＝AB ·AD ＝x (30－43x )＝－43x 2＋30x ＝－4
3(x 2－40x ＋400－400) ＝－43(x 2－40x ＋400)＋300 ＝－43(x －20)2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．
即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2． 很好．刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？
（问题二）下面我们换一个条件，看看大家能否解决．设AD 边的长为x m ，则问题会怎样呢？与同伴交流．
要求面积需求AB 的边长，而AB ＝DC ，所以需要求DC 的长度，而DC 是△FDC 中的一边，所以可以利用三角形相似来求．
解：∵DC ∥AB ，
∴△FDC ∽△FAE ． ∴FA
FD AE DC =． ∵AD ＝x ，FD ＝30－x ． ∴30
3040x DC -=． ∴DC ＝3
4(30－x )． ∴AB ＝DC ＝3
4(30－x )． y ＝AB ·AD ＝x ·3
4(30－x ) ＝－3
4x 2＋40x ＝－3
4(x 2－30x ＋225－225) ＝－3
4(x －15)2＋300． 当x ＝15时，y 最大＝300．
即当AD 的长为15m 时，长方形的面积
最大，最大面积是300m 2．
（二）、合作交流，活动探究
（问题三）对问题一再变式
如下图，在一个直角三角形的内部作一个
矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角
边上, BC 在斜边上．
(1).设矩形的一边BC=xcm,那么AB 边的
长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x 取何值时,y 的最大值是多少?
（三）、应用迁移，巩固练习
（问题四）
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制
造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗
户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？
分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩
形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积
之和最大，即2xy ＋2
πx 2最大，而由于4y ＋4x ＋3x ＋πx ＝7x ＋4y ＋πx ＝15，所以y ＝4715x x π--．面积S ＝21πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4715x x π--＝2
1πx 2＋2
715)x x (x π--＝－3.5x 2＋7.5x ，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15，
∴y ＝4715x x π--． A B C D ┐ M N
P
设窗户的面积是S (m 2)，则
S ＝2
1πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4
715x x π-- ＝21πx 2＋2
715)x x (x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x
＝－3.5(x 2－7
15x ) ＝－3.5(x －1415)2＋392
1575． ∴当x ＝14
15≈1.07时， S 最大＝392
1575≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多．
（四）、课堂小结
我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．
（五）、课后作业
习题2．8~~~1、2、4题
七、板书设计。
