二次函数的应用(最大利润和最大面积)

二次函数的应用问题：面积、高度、利润
等
二次函数是数学中常见的一种函数类型，具有广泛的应用。

在实际生活中，我们可以利用二次函数来解决面积、高度、利润等问题。

面积
当需要求解一个图形的面积时，二次函数可以提供一个可行的解决方案。

例如，假设我们需要求解一个矩形的面积，已知其宽度是x，长度是y，可以建立如下的二次函数关系：
y = ax^2 + bx
其中a和b为常数，可以根据实际情况确定。

通过求解这个二次函数，我们可以得到矩形的面积，从而满足问题需求。

高度
在某些场景下，我们可能需要确定一个物体的最大高度。

例如，炮弹发射的最大高度问题就可以通过二次函数来解决。

假设物体的
高度是y，时间是x，可以建立如下的二次函数关系：
y = ax^2 + bx + c
其中a、b和c为常数，可以通过实验或者推导得到。

通过求
解这个二次函数，我们可以确定物体的最大高度及对应的时间，为
问题解决提供依据。

利润
二次函数还可以应用于经济领域，特别是求解利润相关的问题。

例如，假设某公司的利润随销售量的变化可以建立一个二次函数模型：
P = ax^2 + bx + c
其中P表示利润，x表示销售量，a、b和c为常数。

通过求解这个二次函数，我们可以确定最大利润对应的销售量及其他相关信息，为经济决策提供参考。

总结来说，二次函数在解决面积、高度、利润等问题时具有很大的潜力。

通过建立二次函数模型并进行求解，我们可以得到对应问题的答案，为实际应用提供指导。

二次函数最大利润公式二次函数最大利润公式是在市场营销领域中应用较多的一种工具。

当企业生产一种产品时，它的成本和销售量可以表示为二次函数。

其中，成本是随生产量增加而增加的，而销售量则随着产品价格的变化而改变。

企业追求的是利润最大化，因此需要找到销售最大量对应的价格，也就是二次函数的顶点。

利用二次函数最大利润公式，企业可以计算出最大利润所对应的生产量和价格，从而进行生产决策。

二次函数最大利润公式的基本形式为y=a某²+b某+c，其中a、b、c是常数，某是变量，y表示利润。

在这个公式中，a是二次项系数，它代表着产品的成本变化率；b是一次项系数，它代表着产品的售价变化率；c是常数项，它代表着固定成本。

如果我们知道a、b、c的具体值，就可以通过求导数的方法，找到二次函数顶点的位置，从而确定价格和销售量。

求解二次函数最大利润公式的方法有两种：一种是代数法，另一种是几何法。

代数法是通过求解一次函数的导数来寻找最大利润所对应的销售量和价格。

对于二次函数y=a某²+b某+c来说，它的导数为dy/d某=2a某+b。

当dy/d某=0时，就可以得到二次函数的顶点位置某0=-b/2a。

然后可以通过将某0代入二次函数y=a某²+b某+c中，求出最大利润所对应的成本、销售量和价格等信息。

几何法是通过绘制二次函数的图像来确定最大利润。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，在顶点处具有最大值或最小值。

当我们知道二次函数的顶点坐标时，可以通过测量图像来确定最大利润所对应的销售量和价格。

如果商家需要考虑不同产品的生产成本和销售情况，还可以通过绘制多条二次函数的图像，同时比较它们的顶点位置，从而找到最佳的生产组合方式，使得利润最大化。

总之，二次函数最大利润公式是市场营销领域中一个十分有用的工具。

它可以帮助企业决策者找到最大利润所对应的销售量和价格，从而进行生产策略的调整。

不过，在实际应用中，还需要注意二次函数所对应的条件和假设是否成立，以及市场环境和竞争对手的因素等。

变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。

（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。

题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。

阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。

预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。

（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。

（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。

已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。

（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。

二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系并求出绿地面积的最大值@变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式当x为多长时，花园面积最大·例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多设销售单价为x元，(0＜x≤元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）@（4）所获利润可以表示为__________________；（5）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。

~变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量其中自变量是_______,因变量是___________.（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结_________个橙子.（3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________.（4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。

变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。

（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。

题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。

阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。

预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。

（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。

（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。

已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。

（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。

课题：二次函数的应用(2)——建立二次函数模型解决最大面积或最大利润问题【学习目标】1．分析题目条件，列出解析式，并根据自变量取值范围求最大面积．2．理解销售利润类二次函数解析式列法，并求出最大利润．【学习重点】根据题目条件求出自变量取值范围，并求最大面积或最大利润．【学习难点】根据条件求最大、最小值．情景导入 生成问题情景导入：1．小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形，设一边长__x__cm ，则另一边为__(4－x)__cm ，面积为__x(4－x)__cm 2，所围矩形最大面积为__4__cm 2.2．如图，已知平行四边形ABCD 的周长为8cm ，∠B ＝30°.若设边长AB ＝x cm .(1)▱ABCD 的面积y(cm 2)与x(cm )的函数关系式为__y ＝－12x 2＋2x__，自变量x 的取值范围为__0<x<4__； (2)当x 取__2__时，y 的值最大，最大值为__2__．自学互研 生成能力知识模块一 最大面积问题阅读教材P 30～P 31，完成下列问题：1．如何利用二次函数求最大面积？答：(1)分析题中的数量关系；(2)找出等量关系，根据面积公式建立函数模型；(3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量取值范围，求出面积的最大或最小值．2．(包头中考)将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm 2.【例1】 如图，利用一面墙(墙长不超过45m )，用80m 长的篱笆围一个矩形场地，当AD ＝__20__m 时，矩形场地面积最大，最大值是__800__m 2.【变例1】 如图所示，是用9m 长的塑钢制作的窗户的窗框，设窗宽为x m ，窗的面积为y m 2，用x 表示y 的函数关系式为__y ＝－32x 2＋92x__，要使制作的窗户面积最大，那么窗户的宽是__32__m ，窗户的最大面积是__278__m 2.【变例2】 (聊城中考)已知△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.(1)写出△ABC 的面积y 与BC 的长x 之间的函数关系式，并求出面积为48时BC 的长；(2)当BC 多长时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？解：(1)y ＝－12x 2＋10x ，解方程48＝－12x 2＋10x ，得x 1＝12，x 2＝8. ∴△ABC 的面积为48时，BC 的长为12或8；(2)将y ＝－12x 2＋10x 配方变形为y ＝－12(x －10)2＋50， ∴当BC ＝10时，△ABC 的面积最大，最大面积为50.知识模块二 最大利润问题求最大利润问题常用公式是什么？答：利润＝销售总金额－总成本＝(售价－进价)×销售量－其他支出．【例2】 某单位商品利润y 元与变化的单价x 之间的关系式为：y ＝－5x 2＋10x ，当0.5≤x≤2时，最大利润是__5元__．【变例1】 某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x ＝130时，y ＝70；当x ＝150时，y ＝50，且y 是x 的一次函数，为获得最大销售利润，每件产品的售价应定为__160元__．【变例2】 大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电，通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间(含40元和90元)时，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．(1)则y 与x 的函数关系式为__y ＝－4x ＋360(40≤x≤90)__；(2)设王强每月获得的利润为P(元)，求P 与x 之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？解：P ＝(x －40)(－4x ＋360)＝－4x 2＋520x －14400(40≤x≤90)，当P ＝2400时，－4x 2＋520x －14400＝2400，解得x 1＝60，x 2＝70，∴销售单价应定为60元或70元．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 最大面积问题知识模块二 最大利润问题检测反馈 达成目标1．我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富．经调查得知，若我们把每日租金定为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人．每间住了人的客房每日所需服务、维修等各项支出共计40元．要想赚最多的钱，定价应该为( C )A ．160元B ．240元C ．360元D ．450元2．如图，有长为24m 的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的宽AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)能围成面积比45m 2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．解：(1)S ＝－3x 2＋24x(143≤x ＜8)；(2)S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48，∵143≤x ＜8，当x ＝143时，S 最大值＝1403m 2，∴能围成比45m 2更大鸡舍，最大面积为1403m 2.课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________________________________2．存在困惑：_____________________________________________________________。

1二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，ab ac y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当a b x 2-=，ab ac y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a b x 2-=，ab ac y 442-=最值， 如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量1；商品售价2（商品定价）；商品销售量2;其他成本。

◆单价商品利润=商品定价－商品进价 ◆△（价格变动量）=商品定价－商品售价1（或者直接等于商品调价）； ◆销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格； ◆商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率； ◆ 总利润（W ）=单价商品利润×总销售量－其他成本其他成本单位价格变动销售量变化商品销售量）商品售价（商品定价）总利润（-⨯∆±⨯-=]1[1W[例]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2 [练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．（2011十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30 x ）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？3、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y (件)与销售单价x (元)的关系可以近似的看作一次函数(如图) （1）求y 与x 之间的函数关系（2）设公司获得的总利润为 W 元，求 W 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，W 的值最大？最大值是多少？4．(2011湖北)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?。

二次函数应用——实际生活问题一、知识点睛二次函数的应用：最大面积；最大利润；和一元二次方程的关系．二、精讲精练1. 已知：在△ABC 中，BC =20，高AD =16，内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，求内接矩形EFGH 的最大面积．FD E GH CBA2. 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．苗圃园18米3. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x之间的函数关系式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？4.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？5.有一座抛物线型拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．（1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式．（2）在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽度为d m，求出将d 表示为h的函数关系式．（3）设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？x6.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（0,3.5）yxO4m2.5m3.05m7. 如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB =4米，AC =3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？xx讲义答案：一、知识点睛 二、精讲精练1. 802.（1）=302y x -，6<15x ≤；（2）152m ，112.5m 2 ；（3）611x ≤≤，图略 3.（1）22=+24+320025y x x -（0400x ≤≤）；（2）每台冰箱应降价200元； （3）每台冰箱降价150元，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元. 4.（1）210110+2100y =x +x -，x 的范围是015x ≤≤且x 为整数；（2）每件商品的售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元；（3）每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润恰为2200元；售价在51~60范围时，每个月的利润不低于2200元. 5.（1）2125y =x -；（2）4)d h ≤≤； （3）水深超过2.76m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行.6.（1）21+3.55y =x -；（2）球出手时，他跳离地面的高度是0.2m.7.（1）不能落入桶内；（2）当竖直摆放圆柱形桶为8，9，10，11，或12个时，网球可以落入桶内。

张家口市第五中学教案课题二次函数的应用——最大利润课型复习课时 1教学目标1．巩固并熟练掌握二次函数的性质。

知识：2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。

能力:建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力。

思想教育: 从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活。

教学重点巩固并熟练掌握二次函数的性质。

教学难点能够运用二次函数的性质解决实际问题。

教法归纳总结学法类比、分析、应用教具多媒体板书设计二次函数的应用——最大利润教学教程教师活动学生活动矫正反馈一、这节复习课设计意图：二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。

建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力。

从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活。

二、前提测评——设计意图：通过几个习题二次函数复习，使学生回顾二次函数的性质，总结出函数的最值是由此函数的增减性来决定的；当Y随X的增大而增大时，x取最大，Y最大;当Y随X的增大而减小时，X取最小，Y最大。

反之成立。

• 2.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图．演员弹跳离地面的最大高度__ 米 .3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，则该抛物线对应的二次函数解析式____________;该公司在经营此款电脑过程中，第__月的利润最大,最大利润是________万元。

• 4.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。

市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。

二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（拱桥问题，求最值、最大利润、最大面积等）类型一：最大面积问题例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？类型二：利润问题例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）所获利润可以表示为__________________；（4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________变式训练2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？40030060 70 Ｏy (件) )变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额 总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。

初三数学中的二次函数，是中考的必考考点，而且是必出大题的，而对于二次函数的应用，也是常考的知识点，尤其是最近几年，销售利润问题也是非常的热门，其实对于销售利润问题，如果同学们能够掌握关于销售的公式，牢牢掌握随着售价的变化，销售数量也随之变化这个关键点，这类问题也是非常简单的。

解决这类问题一般是先运用“总利润＝单件商品的利润*销售的总数量”或“总利润＝总售价-总成本”，建立利润与价格之间的二次函数解析式，然后求出这个函数解析式的顶点坐标，即求得最大利润。

初三数学二次函数应用专题，销售问题，牢记公式、抓住变化关键点例题1：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？初三数学二次函数应用专题，销售问题，牢记公式、抓住变化关键点【解析】：此题是最常见的，也是最基本的利润问题，从题目中“价格每提高1元，平均每天少销售3箱”，可知价格提高a元时，每天少销售3a箱。

因此销售价x(元/箱)时，每天销售量y=90－3(x－50)=－3x＋240。

然后根据利润公式，总利润＝单件商品的利润*销售的总数量，得W=(x－40)(－3x＋240)=－3x^2＋360x－9600=－3(x－60)^2＋1200。

所以当x＜60时，w随x的增大而增大，又由题意可知x≤55，∴当x＝55时，可获得利润最大，最大利润为w＝1125元。

例题2：某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式为：初三数学二次函数应用专题，销售问题，牢记公式、抓住变化关键点（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求一次函数关系是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（0﹤n＜9）给“精准扶贫”对象。

教学内容二次函数的应用教学目标掌握二次函数的应用重点最值问题难点利润问题教学准备纸、笔教学过程类型一：最大面积问题例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。

（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。

4米，水位上升3米变式练习3：如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽64米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上就达到警戒水位线CD，这时水面宽3升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？变式训练4：如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；课后练习：一，利润问题：1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？3. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图该抛物线的解析式为。

§6.4 二次函数的运用（1）—最大利润问题设计：孙祥审核：孙良付班级：姓名：备课时间：2011年月日上课时间：2011年月日学习目标:1.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。

2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。

学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。

学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。

学习过程:一、情境导学：问题：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150亩稻田。

预计360亩稻田今年每亩可收益440元，新增x亩稻田今年每亩的收益为（440-2x）元。

试问：该种粮大户今年要多承担多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？二、交流展示：1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、拓展训练：1.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？。