应用导数解决经典问题几例

第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数【知识点归纳】1.平均变化率：2.瞬时速度：3.导数及导函数的概念：4.导数的几何意义：拓展知识：5.平均变化率的几何意义：6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一 求平均变化率：例1.函数2()21y f x x ==-的图像上一点〔1,1〕及其邻近一点(1,1)x y +∆+∆，那么y x∆∆=_______.变式训练：1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +∆这段时间的平均速度v .2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π=附近的平均变化率，并比较他们的大小.题型二 实际问题中的瞬时速度例 2 质点M 按规律223s t =+做直线运动〔位移单位：cm ，时间单位：s 〕〔1〕当2,0.01t t =∆=时，求s t ∆∆；〔2〕当2,0.001t t =∆=时，求s t∆∆； 〔3〕求质点M 在t=2时的瞬时速度.题型三 求函数的导数及导函数的值例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数.题型四 曲线的切线问题例 4〔1〕曲线22y x =上一点A 〔1，2〕，求点A 处的切线方程.〔2〕求过点〔-1，-2〕且与曲线32y x x =-想切的直线方程.〔3〕求曲线321()53f x x x =-+在x=1处的切线的倾斜角.〔4〕曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.1.2 导数的计算【知识点归纳】1.常见函数的导数：2.根本初等函数的导数公式：3.导数的运算法那么：4.复合函数的导数：【典型例题】题型 一 根本初等函数导数公式运用例1 给出以下结论： ①1(cos )sin 662ππ'=-=-；②假设21y x=，那么32y x -'=-；③假设()3f x x =，那么[(1)]3f ''=；④.假设y =y '= 其中正确的选项是_________________.题型 二 导数运算法那么的应用例 2 求以下函数的导数：〔1〕531253y x x =+；〔2〕lg x y x e =-；〔3cos x ；〔4〕sin cos 22x x y x =-.变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.2221cos 2(1cos )sin ()x x x x x x x +++'=题型三复合函数求导的应用例7求以下函数的导数.〔1〕3(1cos2)y x=+；〔2〕21sinyx=.变式训练：求函数2(2y x=-题型四切线方程及应用例4曲线sin xy x e=+在点〔0，1〕处的切线方程是？变式训练：曲线32y x x=+-在P处的切线平行于直线41y x=-，那么点P的坐标为_________.题型五利用导数求参数问题例5 假设曲线3y x ax=+在坐标原点处的切线方程是20x y-=，那么实数a=_________变式训练：假设函数()x ef xx=在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值题型 六 对数求导数的应用〔选讲〕例6 求以下函数的导数〔1〕(1)(2)(3)(3)y x x x x =--->；〔2〕(1)(2)(3)1()212x x x y x x +++=>-+；1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数【知识点归纳】1.函数的单调性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单调区间：3.导数的绝对值的大小与图像的关系〔选讲〕：【典型例题】题型 一 里用导数的信息确定函数大致图像例1 导函数()f x '的以下信息：当23x <<时，()0f x '<； 当3x >或2x <时，()0f x '>；当3x =或2x =时，()0f x '=；试画出函数f 〔x 〕图像的大致形状.题型 二 判断或者证明函数的单调性例2 试判断函数()ln f x x x =+在其定义域上的单调性.变式训练：证明：函数ln ()xf x x =在区间〔0，2〕上是单调递增函数.题型三求函数的单调性例3确定函数32()267f x x x=-+的单调区间.变式训练：求函数3y x x=-的单调性.题型四含有参数的函数的单调性例4函数2()ln(2)f x x ax a x=-+-，讨论f〔x〕的单调性.变式训练：函数1()2axf xx+=+在(2,)-+∞单调递增，数a的取值围.1.3.2 导数的极值与导数【知识点归纳】1.导数的极值的概念：2.导数的极值的判断和求法：【典型例题】题型 一 求函数的极值例1 求以下函数的极值：〔1〕276y x x =-+； 〔2〕2ln y x x =.变式训练：设32()1f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2)f a f b ''==-，其中常数,a b R ∈.〔1〕求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.〔2〕设()()xg x f x e -'=，求函数()g x 的极值.题型 二 判断函数极值点的情况例2 判断以下函数有无极值，假设有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.〔1〕31()43f x x =+； 〔2〕321()43f x x x x =++； 〔3〕23()1(2)f x x =--.变式训练：设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠.证明：当0ab >时，函数f 〔x 〕没有极值点，当0ab <时,函数f 〔x 〕有且只有一个极值点，并求出极值.题型 三导函数的图像与函数极值的关系 例3 函数f 〔x 〕的定义域为开区间〔a ，b 〕，导函数f′〔x 〕在〔a ，b 〕的图象如下列图，那么函数f 〔x 〕在开区间〔a ，b 〕有极小值点的个数为〔 〕A 1个 B.2个 C.3个 D.4个题型四极值的逆向问题例4 函数44f x ax x bx c x=+->在x=1处取得极值-3-c，其中a，b为常数.()ln(0)〔1〕试确定a，b的值.〔2〕讨论函数f〔x〕的单调区间.综上：假设说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点〞.1.3.3 函数的最大小值与导数【知识点归纳】1.最大小值与极值的关系：2.求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型一利用导数求函数最值问题例1 求函数543f x x x x=+++在区间[1,4]()551-上的最大值和最小值.变式训练：设函数3f x ax bx c a=++≠为奇函数，其图像在(1,(1))()(0)f处的切线与直线--=垂直，导数的最小值为-12.x y670〔1〕求a，b，c的值.〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间，并求函数f〔x〕在[-1,3]上的最大小值.题型 二 含参数最值问题例 2 设a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.变式训练：1.设3211()232f x x x ax =-++ 〔1〕假设f 〔x 〕在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值围. 〔2〕当02a <<时,f 〔x 〕在[1,4]上的最小值为163-，求f 〔x 〕在该区间上的最大值.题型 三 由函数的最值求参数的值例3 设213a <<，函数323()(11)2f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1，最小值为，求a ，b 的值.1.4 生活中的优化问题【知识点归纳】利用求函数的最大小值的方法际应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型 一 利润最大问题例 1 某商品每件本钱9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x 〔单位：元, 021x ≤≤〕的平方成正比，商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.〔1〕将一星期的商品销售利润表示成x 的函数〔2〕如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的本钱为3元，并且每件产品需向总公司交m 〔3≤m ≤5〕元的管理费，预计当每件产品的售价为x 〔9≤x≤11〕元时，一年的销售量为(12-x)2万件．〔1〕求分公司一年的利润L 〔万元〕与每件产品的售价x 的函数关系式；〔2〕当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q 〔m 〕．题型二用料最省、费用最低问题例2如图，某单位用木料制作如下列图的框架，框架的下部是边长分别为x，y〔单位：米〕的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．〔Ⅰ〕求x，y的关系式，并求x的取值围；〔Ⅱ〕问x，y分别为多少时用料最省？变式训练：某企业拟建造如下列图的容器〔不计厚度，长度单位：米〕，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r≥．假设该容器的建造费用仅与其外表积有关．圆柱形局部每平方米建造费用为3千元，半球形局部每平方米建造费用为c〔c＞3〕千元．设该容器的建造费用为y千元．〔Ⅰ〕写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；〔Ⅱ〕求该容器的建造费用最小时的r．题型 三 面积、体积最值问题例 3如图在二次函数2()4f x x x =-的图像与x 轴所围成的图形中有一个接矩形ABCD ，求这个接矩形的最大面积.变式训练：请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥〔如下列图〕．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？x y1.5 定积分的概念【知识点归纳】定积分的概念：定积分的性质：【典型例题】题型一利用定义计算积分例1利用定积分定义，计算21(32) x dx+⎰题型二求曲边梯形的面积例2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线3y x=围成的图形的面积.1.6 微积分根本定理【知识点归纳】1.牛顿—莱布尼茨公式：2.定积分的取值：3.定积分的一些性质：【典型例题】题型一求简单函数的定积分例1 求以下函数的定积分：〔1〕2211()x dxx+⎰；〔2〕22sin xdxππ-⎰；〔3〕4dx+⎰；题型二求分段函数的定积分例2 求函数32,[0,1](),[1,2]2,[2,3]xx xf x x xx⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⎩在区间[0，3]上的定积分.变式训练：求定积分：〔1〕2201x dx -⎰； 〔2〕题型 三 定积分的实际应用例 3 汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为21.8 /a m s =刹车，求从开场停车到停车，汽车的走过的距离.变式训练：等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304s xdx =⎰，那么公比q 的值是多少？1.7 定积分的简单应用【知识点归纳】1.常见的平面图形的面积求法：2.定积分在物理公式中的应用：【典型例题】题型 一 用定积分求平面图形的面积例 1 求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积.变式训练：求由抛物线22,15xy y x ==-所围成的图形的面积例2 求正弦曲线3sin,[0,]2y x xπ=∈和直线32xπ=及x轴所围成的平面图形的面积.变式训练：求由曲线222,24y x x y x x=-=-所围成的图形的面积题型二用定积分求变速直线运动的距离例3 有一两汽车以每小时36km的速度形式，在B出以22 /m s的加速度减速停车，问从开场刹车到停车一共行驶多少的路程.题型三用定积分解决变力作功问题例4 有一个长为25cm的弹簧，假设以100N的力，那么弹簧伸长到30cm，求弹簧由25cm 伸长到40所做的功.。

导数求极值经典例题
导数求极值理论是数学中极为重要的一个概念，它可以用来解决各种数学问题，是应用数学和科学计算的重要方法之一。

本文以两个经典例题为例，介绍一下导数求极值理论及其在解决问题上的应用。

首先来看第一个例题：求函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的极值。

首先，要求函数f(x)的导数：
f′(x)=2ax+b
然后，求f′(x)的极值：
2ax+b=0，即x=-b/2a
知道x=-b/2a以后，再将x带入原函数f(x)，即可得出极值：f(-b/2a)=(-b2/4a)+cb/a+c
接下来，我们来看第二个例题：求函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的极值。

同样，首先求函数f(x)的导数：
f′(x)=3ax2+2bx+c
再求f′(x)的极值：
3ax2+2bx+c=0，即x=-b/3a
知道x=-b/3a以后，再将x带入原函数f(x)，即可得出极值：f(-b/3a)=(-b3/27a)+cb2/6a+cd/3a+d
以上两个例题，简述了导数求极值的一般步骤，即求函数的导数，求导数的极值，将极值带入原函数即可求出原函数的极值。

此外，我们还可以用一阶导数法和二阶导数法来近似求解极值问题，也就是说
在计算极值时，可以用一些近似的方法来求解，而不必要求出精确的极值，从而有效提高求解效率。

总之，导数求极值理论是一种有效而又简单的方法，它可以有效地帮助我们解决一些数学问题。

因此可知R在(0, 2C]上递增，在[2C, 3C)上递减.
故R在M = 2C时取得极大值，而且此时取得最大值.
例 4.已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且
= 102 + 200 + 1000，1 ≤ ≤ 30.
将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件

= 12(x − 0.6)(x − 0.2).
令V ′
> 0，可解得x < 0.2.

1.2 − 2
1.2 − 2
1.2 − 2
因此可知V在(0, 0.2]上递增，在[0.2, 0.6)上递减，
故V在x = 0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为0.2m时，容器的容积最大.
因此，当 0 < x <
1.6时，y ′
= 50 ×
1
×
2Leabharlann (1.22+
1
x 2 )−2 ×
海
陆
2x − 30 =
令y ′ > 0，可解得x > 0.9.
可知y在[0，0.9] 上递减，在[0.9，1.6]上递增，从而y在x = 0.9时
取得最小值，而且最小值为
50 1.22 + 0.92 + 30(1.6 −0.9 ) = 96.
设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
思考：分别计算下列两种算法的铺设成本.
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
解：(1) 成本为1.2 × 50 + 1.6 × 30 = 108万元.

高中数学导数切线问题例题导数与切线是高中数学中的重要概念，它们在解决曲线的性质和应用问题中起着关键作用。

本文将通过几个例题，详细介绍导数与切线的相关概念和应用。

例题一：已知函数f(x) = x^2 + 2x - 1，求该函数在点x = 2处的切线方程。

解答一：首先，我们需要求得函数f(x)在点x = 2处的导数值，即f'(2)。

求导得到f'(x) = 2x + 2，代入x = 2，可得到f'(2) = 6。

导数值表示函数在该点的切线斜率，所以在点x = 2处的切线斜率为6。

接下来，我们利用切线的斜率和该点的坐标，即(2, f(2))，可以得到切线方程。

切线方程的一般形式为y - y1 = k(x - x1)，其中k为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。

代入切点坐标和切线斜率，可得到切线方程为y - f(2) = 6(x - 2)。

例题二：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求该函数在曲线上任意一点的切线方程。

解答二：我们需要求得函数f(x)的导数，即f'(x)。

求导得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 2。

导数表示曲线在某一点的切线斜率，我们可以选择任意一点(x0,f(x0))。

对于任意一点(x0, f(x0))，我们将这个点代入导数表达式，得到切线斜率k。

然后利用切点坐标和切线斜率，即(x0, f(x0))和k，可以得到切线方程。

例如，选择点(1, f(1))，代入导数表达式，可得切线斜率k = f'(1) = 2。

接着，代入切点坐标和切线斜率，得到切线方程为y - f(1) = 2(x - 1)。

同样地，我们可以选择曲线上任意一点进行计算，得到对应的切线方程。

通过以上两个例题，我们可以看到导数与切线的关系。

在例题一中，我们很容易求得切线的斜率，因为已知函数f(x)是个二次函数，直接求导后代入点的坐标即可得到切线方程。