人教A版高中数学必修四知识点总结

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自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
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自主探究 函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它 的最小正周期是多少？ 解 ： 由 诱 导 公 式 可 知 ， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ， 即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)． 可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正 周期为 T＝|ωπ |.
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知识点 2 正切函数性质的应用 【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值． 思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
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方法点评： 求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可 只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
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3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合． 解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.

人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

3．函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝ π |ω |.
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
[思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1. 在(－π2 ，π2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－π4 ，π4 )． 又 y＝tan x 的周期为π ， 所以所求 x 的范围是 [kπ －π4 ，kπ ＋π4 )，k∈Z. 即为此函数的定义域．
[一点通] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数 本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式 或不等式组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角 函数线．
1．函数 y＝tan(π4 －x)的定义域是
4
[一点通] 求 y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导
π
π
公式把 ω 化为正值，由 kπ－ 2 ＜ωx＋φ＜kπ＋ 2 求得 x 的
范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证两个角在同一
单调区间内．
4．比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小． 解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211° ＝tan(180°＋31°)＝tan 31°， tan 2 012°＝tan 32°， ∵y＝tan x在0°＜x＜90°时是单调增函数， ∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°.
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )， 又∵π2 ＜2＜π ，∴－π2 ＜2－π ＜0. ∵π2 ＜3＜π ，∴－π2 ＜3－π ＜0， 显然－π2 ＜2－π ＜3－π ＜1＜π2 ， 且 y＝tan x 在(－π2 ，π2 )内是增函数， ∴tan(2－π )＜tan(3－π )＜tan 1， 即 tan 2＜tan 3＜tan 1.

1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标：1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]正切函数的图象与性质1．思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R .( )(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( ) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x ＝k π±π2，k ∈Z .( ) (4)正切函数是增函数．( )[解析] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.]4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的单调增区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z [令k π－π2＜x －π5＜k π＋π2，k ∈Z得k π－3π10＜x ＜k π＋7π10，k ∈Z即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z .] [合 作 探 究·攻 重 难](1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪－π4＜x ＜π4且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的定义域为________．(3)函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为________.【导学号：84352103】[思路探究] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(1)B(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z [(1)当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ≤－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ≥1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)要使函数有意义应满足π6－x 4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠－4k π－4π3，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z. (3)要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则 ⎩⎨⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1. 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4. 又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z.] [规律方法] 1.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件． [跟踪训练]1．函数y ＝log 12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B [由题意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＞0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＜0，∴k π－π2＜x －π4＜k π，∴k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，故选B.]2．求函数y ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域．[解] 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π3＋π18(k ∈Z ). 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________． (2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .[思路探究] (1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系．(1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2. (2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)①定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数． [规律方法] 1.函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法： (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z 的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .[跟踪训练]3．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2 x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.【导学号：84352104】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )，所以函数是奇函数．[1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．[思路探究] (1)利用y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．(2)先将原函数化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，再由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z ，求出单调减区间．(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [(1)y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜3π2， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.] (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得， －π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .母题探究：1.将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中的函数改为“y ＝lgtan x ”结果又如何？ [解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数． 所以函数y ＝lgtan x 的单调递增区间 就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的递增区间， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π，k ∈Z . [规律方法] 1.求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．[当 堂 达 标·固 双 基]1．若tan x ≥1，则( ) A ．2k π－π4＜x ＜2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．k π－π4＜x ≤k π(k ∈Z ) D ．k π＋π4≤x ＜k π＋π2(k ∈Z ) D [因为tan x ≥1＝tan π4. 所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]3．比较大小：tan 13π4________tan 17π5.【导学号：84352105】＜ [因为tan 13π4＝tan π4， tan 17π5＝tan 2π5，又0＜π4＜2π5＜π2， y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5.]4．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域为________．(－3，1) [y ＝tan(π－x )＝－tan x ， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数， 所以值域为(－3，1)．]5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心.【导学号：84352106】[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ， ∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。