走进微积分

走进微积分
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学
的一个基础学科。微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化
率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积
分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

１.微积分的研究对象、基本概念
函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重
要条件。它不仅是解决许多理论和实际问题应用十分广泛的有效工具，而且它为解决以“变”
为研究对象的大量问题提供了一种深刻的思想方法，它还为大量后续课程提供了必要的方法
和基础。在人类科学发展史上，没有任何学科比微积分的影响更深更广。
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积
分是互逆运算，微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主
要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。微积分被延伸到微分方程、
向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。

２.微积分的创立和发展
微积分的诞生，是全部数学史中的一个伟大的创举，追溯一下历史就可发现，早在微积
分诞生之前的2000多年，就已经有了它的萌芽。以“直”代“曲”的极限观念，属于微积
分的朴素思想。英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分，牛顿称
之为“流数术理论”。德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分．莱布尼兹
当时把微积分称为 “无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱
布尼兹。 莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，
其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。
评价：微积分在传授数学知识的同时,着力于提高学生的数学素养和能力,不仅为学生在今后
工作中更新数学知识,学习现代数学方法奠定了良好的基础,而且培养了学生应用数学知识解
决实际问题的意识、兴趣和能力。

３.历史上我国和古代欧洲有关微积分思想的代表性工作
古代的人民用方砖砌圆、我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”、魏晋时刘徽
的“割圆术”，祖恒原理，等等，都涉及到微积分的朴素思想。数学的发展包括了两大主要
活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；
算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。作为近代
数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向
的产物。从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的
结果。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的
重心及引力、面积与体积计算等。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两
类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛
顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。
４.社会对数学的要求
文艺复兴是14世纪在意大利城市兴起，16世纪在欧洲盛行的一个思想文化运动，带来
一段科学与艺术革命时期，揭开了现代欧洲历史的序幕，被认为是中古时代和近代的分界。
14世纪时，随着工场手工艺业和商品经济的发展，资本主义关系已在欧洲封建制度内部逐
渐形成；在政治上，封建割据已引起普遍不满，民族意识开始觉醒，欧洲各国大众表现了要
求民族统一的强烈愿望。从而在文化艺术上也开始出现了反映新兴资本主义势力的利益和要
求的新时期。新兴资产阶级认为中世纪文化是一种倒退，而希腊、罗马古典文化则是光明发
达的典范，他们力图复兴古典文化——而所谓的“复兴”其实是一次对知识和精神的空前解
放与创造。14世纪后各城市逐渐从共和制走向独裁。独裁者耽于享乐，信奉新柏拉图主义，
希望摆脱宗教禁欲主义的束缚，大力保护艺术家对世俗生活的描绘。与此同时圣方济各会的
宗教激进主义力图屏弃正统宗教的经院哲学，歌颂自然的美和人的精神价值。罗马教廷也在
走向腐败，历届教皇的享乐规模比世俗独裁者还要厉害，他们也在保护艺术家，允许艺术偏
离正统的宗教教条。哲学、科学都在逐渐地在比较宽松的气氛中发展，也酝酿着宗教改革的
前奏。此时数学知识就显得尤为重要。

５.牛顿和莱布尼茨对微积分的开创性工作
牛顿于1643年1月4日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村。1661年入英国
剑桥大学圣三一学院，在1665年他发现了二项式定理，1665年获文学士学位。他数学生涯
中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。笛卡尔的解析几何把描述运动的函数关系和
几何曲线相对应。牛顿在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔的解析几何的基础上，找到了新
的出路。可以把任意时刻的速度看是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小
的路程和时间间隔的比值，当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确
值。这就是微分的概念。微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才
创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为"流数术"。它所处理的一些具体问
题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿前已经
得到人们的研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的结论加以综合，
将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立
了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了
最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。
戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历
史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自
他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了
不可磨灭的贡献。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分
思想的论著。只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直
接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基
本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结
出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微
积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。莱布尼茨所创设的微积分
符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用
符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法来研究微积分；莱布尼兹主要是在研究
曲线的切线和面积问题上，运用分析方法引进微积分的概念。他们各有特点，牛顿在微积分
的应用方面处理得较好，主要结合运动学．莱布尼兹对表达形式所采用的符号运用得较好。
６.微积分创立的历史意义及体会
微积分的意义在于利用直线的线性变化量来代替非线性函数的变化量，从而可以求得精
确的曲顶梯形的面积。但是微积分的意义远不止于此，无数自然界的现象都可以通过一定的
方法建立微分方程组来描述。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度
讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最
大的奥义，要从哲学的角度来理解数学，而不是单纯的计算。

我认为在《微积分》的学习中最基础的是“极限”。极限是一种思想，正是由于这样一
种思想的诞生，使人们解决了许多在生活中所不能解决的问题。自然界中有很多量仅仅通过
有限次的算术是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结
果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。所以，没有极限这种思想，就不会有现在
的微积分理论。应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微
分学；应用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小量无穷积累的问题，就产生
了积分学。另外，对连续、可导、可积概念的引出均是以极限为基础的。同时，微分和积分
是两种互逆的运算，只有把握了两者之间的联系，才能在微积分的世界里更上一层楼。