历年数列高考题汇编

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题（原卷版）

1．(2021年高考全国乙卷理科)记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．

(1)证明：数列nb是等差数列;

(2)求na的通项公式．

2．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列na是等差数列：②数列nS是等差数列；③213aa．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．

(1)求{}na的公比；

(2)若11a，求数列{}nna的前n项和．

4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，134nnaan．

(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．

5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列na和nb满足11a，10b，1434nnnaab，1434nnnbba．

1证明：nnab是等比数列，nnab是等差数列；

2求na和nb的通项公式．

6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列na中，11a，534aa

(1)求na的通项公式；

(2)记nS为na的前n项和，若63mS，求m．

(1)12nna或12nna；(2)6m

7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．

(1)求{}na的通项公式；

(2)求nS，并求nS的最小值． 8．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列na的前n项和1nnSa,其中0.

（一）数列

1．求通项公式

（1）求等差数列通项公式

（2012.湖北理18）已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8。

（1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和

解：（1）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d

由题意可得， 解得或

由等差数列的通项公式可得，

an=2-3（n-1）=-3n+5或an=-4+3（n-1）=3n-7。

（2）当an=-3n+5时，a2，a3，a1分别为-1，-4，2不成等比

当an=3n-7时，a2，a3，a1分别为-1，2，-4成等比数列，满足条件

故|an|=|3n-7|=

设数列{|an|}的前n项和为Sn当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5

当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|

=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）=5+=，

当n=2时，满足此式综上可得。

(2018课标全国2，文17)记Sn为等差数列{an丨的前n项和，己知a1=-7 S3=-15.

(1)求{an}的通项公式；

⑵求5„，并求5„的最小值.

解:（1)设{an}的公差为4

由题意得3an+3d=15.由a1=-7得d=2.

∴{an}的通项公式为an=2n-9.

(2)由（1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时Sn取得最小值，最小值为-16.

(2010全国文17)设等差数列{an}满足a3=5 a10=-9

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求Sn的最大值及其相应的n的值．

解；（1）在等差数列{an}中,a3=5,a10= -9,

∴公差d=(a10-a3)/7= -2,

通项公式an=a3+(n-3)d=5-2(n-3)= -2n+11,n∈N*.

（2）由（1）可得a1=9，

故Sn=9n+n(n-1)/2×(-2)=10n-n2=-（n-5）2+25．

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题06数列解答题

1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记nS为数列

na的前n项和．已知2

21n

nS

na

n．

(1)证明：

na是等差数列；

(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．

2．(2022新高考全国II卷·第17题)已知

na为等差数列，

nb是公比为2的等比数列，且

223344ababba．

(1)证明：11ab；

(2)求集合

1,1500

kmkbaam中元素个数．

3．(2022新高考全国I卷·第17题)记nS为数列

na的前n项和，已知11,n

nS

a

a



是公差为1

3的等差数

列．

(1)求

na的通项公式；

(2)证明：

12111

2

naaa．

4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记nS是公差不为0的等差数列

na的前n项和，若35244,aSaaS．

(1)求数列

na的通项公式na；

(2)求使nnSa成立的n的最小值．

5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列

na满足11a，11,,

2,.n

n

nan

a

an

为奇数

为偶数

(1)记2nnba，写出1b，2b，并求数列

nb的通项公式；

(2)求

na的前20项和．

6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}

na满足24320,8aaa．

(1)求{}

na

的通项公式；

(2)记mb为{}

na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，求数列{}mb的前100项和100S．

7．(2020新高考II卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}

na满足24320,8aaa．

(1)求{}

na通项公式；

(2)求1

12231(1)n

nnaaaaaa

．

8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记nS为数列

na的前n项和，nb为数列

nS的前n项积，已知21

2024年高考数学分类汇编三数列

一、单选题

1．（2024·全国）等差数列

na的前n项和为nS，若91S=，37aa+=（ ）

A．2− B．7

3 C．1 D．2

9

2．（2024·全国）等差数列

na的前n项和为nS，若510SS=，51a=，则1a=（ ）

A．2− B．7

3 C．1 D．2

二、填空题

3．（2024·全国）记nS为等差数列{}

na的前n项和，若347aa+=，2535aa+=，则10S= .

4．（2024·北京）已知|

kkMkab==，na，nb不为常数列且各项均不相同，下列正确的

是 .

①na，nb均为等差数列，则M中最多一个元素；

②na，nb均为等比数列，则M中最多三个元素；

③na为等差数列，nb为等比数列，则M中最多三个元素；

④na单调递增，nb单调递减，则M中最多一个元素.

5．（2024·上海）无穷等比数列

na满足首项10,1aq，记

121,,,

nnnIxyxyaaaa

+=−，

若对任意正整数n集合nI是闭区间，则q的取值范围是 ．

三、解答题

6．（2024·全国）设m为正整数，数列1242,,...,

maaa

+是公差不为0的等差数列，若从中删去

两项ia和()

jaij后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，

则称数列1242,,...,

maaa

+是(),ij−可分数列．

(1)写出所有的(),ij，16ij，使数列126,,...,aaa是(),ij−可分数列；

(2)当3m时，证明：数列1242,,...,

maaa

+是()2,13−可分数列；

(3)从1,2,...,42m+中一次任取两个数i和()jij，记数列1242,,...,

maaa

+是(),ij−

可分数列的

概率为mP，证明：1

8mP．

7．（2024·全国）已知双曲线()22:0Cxymm−=，点()

15,4P在C上，k为常数，01k．按