专题六数列第十八讲数列的综合应用
答案部分2019年
1.解析：对于B ，令2
104x λ-+
=，得12
λ=，取112a =
，所以211
,,1022n a a ==< ，所以当1
4
b =时，1010a <，故B 错误；
对于C ，令2
20x λ--=，得2λ=或1λ=-，
取12a =，所以22,,210n a a ==< ，所以当2b =-时，1010a <，故C 错误；对于D ，令2
40x λ--=，得117
2
λ=
，取11172a =
，所以21172a +=，…，117
102
n a =<，所以当4b =-时，1010a <，故D 错误；
对于A ，2
21122a a =+
，2
23113
224
a a ⎛⎫=++
⎪⎝
⎭，2
424319117
14216216
a a a ⎛
⎫=++
+
+=> ⎪⎝
⎭，10n n a a +->，{}n a 递增，
当4n 时，
11
13
2122
n n n
n a a a a +=+>+=，
所以54
65109
323232a a a a a a ⎧>⎪⎪⎪>
⎪⎨⎪⎪
⎪>⎪⎩
，所以6
10432a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以107291064a >
>故A 正确．故选A ．2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得
11124,333a d a d a d +=+=+，
解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．
由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得
()
()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++．
解得()2
121n n n n b S S S d
++=
-．所以2*,n b n n n =+∈N ．（2
）*n c n =
==
∈N ．
我们用数学归纳法证明．
①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；
②假设()
*n k k =∈N
时不等式成立，即12h c c c +++< ．那么，当1n k =+
时，
121k k c c c c +++++<<
<==．
即当1n k =+时不等式也成立．
根据（1）和（2
），不等式12n c c c +++< 对任意*n ∈N 成立．
3.解析（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.
由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112
111440
a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得11
2a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.
（2）①因为1
122
n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得2
122
1
1b =
-，则22b =.由1122
n n n S b b +=-，得112()
n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()
111122n n n n
n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，
整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n (
)*
n ∈N .
②由①知，b k =k ，*k ∈N .
因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有
ln ln ln 1
k k
q k k ≤≤-．设f （x ）=
ln (1)x x x >，则2
1ln ()x
f 'x x -=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：
x (1,e)
e (e ，+∞)()
f 'x +
0–
f （x ）
极大值
因为
ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3
()(3)3
f k f ==．
取q =k =1，2，3，4，5时，
ln ln k
q k
，即k k q ≤，
经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．
若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．
3.解析：（I ）1，3，5，6.（答案不唯一）.
（II ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为110,...,,q r r n a a a -.由p q <，10p q r r n a a a -≤<.
因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a .
又12,,...,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0,p m r a a ≤所以00m n a a <.（III ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.
先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m -1之前（m 为正整数）.
假设2m 排在2m -1之后，设121,,...,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m -1的递增子列，则121,,...,,2 1.2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m+1末项为2m 的递增子列，与已知矛盾.
再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.
假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小正偶数为2m.
因为2k 排在2k -1之前() 1,2,1k m =⋯-,所以2k 和2k -1不可能在{}n a 的同一个子列中.又{}n a 中不超过 21m +的数为1，2，…..， 21m -， 21m +，所以{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数至多为
12222112 2m m -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=<，与已知矛盾.
