历年数列高考题大全答
案
Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
历年高考《数列》真题汇编
1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113
a =，公比1
3q =．
（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n
n a S -=
（II ）设31323log log log n n b a a a =++
+，求数列{}n b 的通项公式．
解：（Ⅰ）因为.31)3
1
(311
n n n a =⨯=-,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2
)
1(+-
=n n
所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n 2、(2011全国新课标卷理）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.
(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和.
解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21
9
q =
。有条件可知a>0,故13
q =。
由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1
3n 。
（Ⅱ?）111111log log ...log n b a a a =+++ 故
1211
2()(1)1
n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21
n
n -+
3、（2010新课标卷理）
设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=
（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21233(222)2n n --=++
++2(1)12n +-=。
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。 （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知
35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①
从而 23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=+++
+-⋅ 。
即 211
[(31)22]9
n n S n +=-+
4、（20I0年全国新课标卷文） 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。 解：（1）由a m = a 1 +（n-1）d 及a 1=5，a 10=-9得
解得
19
2
{a d ==-
数列{a n }的通项公式为a n =11-2n 。 ……..6分
(2)由(1) 知S n =na 1+
(1)
2
n n -d=10n-n 2。
因为S n =-(n-5)2+25.
所以n=5时，S n 取得最大值。 5、（2011年全国卷）
设等差数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S 6、（ 2011辽宁卷）
已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-12n n a 的前n 项和．
解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11
0,
21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩
解得11,
1.
a d =⎧⎨=-⎩
故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1
{
}2
n n n a n S -的前项和为，即2
111,122
n
n n a a S a S -=+++
=故， 所以，当1n >时，
=.2n n 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{
}.22
n n n n a n
n S --=的前项和 7、（2010年陕西省）
已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0，
由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d
d
++，
解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m
a =2n
，由等比数列前n 项和公式得
S n =2+22
+23
+ (2)
=2(12)12
n --=2n+1
-2
8、（2009年全国卷）
设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知
1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。
解： 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q
由3317a b +=得212317d q ++= ① 由3312T S -=得24q q d +-= ② 由①②及0q >解得 2,2q d ==
故所求的通项公式为 121,32n n n a n b -=-=⨯ 9、（2011福建卷）
已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3.
