辽宁省五校协作体2013届高三第一次模拟考试

1 辽宁省五校协作体2013届高三第一次模拟考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数Z满足,12iiZ则Z等于（ ）

A.i31 B.i3 C.i2123 D.i2123

2.命题“04,2aaxxRx”为假命题，是“016a”的（ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设函数xAxfsin)(（)22,0,0A的图像关于直线32x对称，它的周期是，则（ ）

A.)(xf的图象过点21,0 B. )(xf在32,12上是减函数

C. )(xf的一个对称中心是0,125 D. )(xf的最大值是4

4.若1a，设函数4)(xaxfx的零点为,m4log)(xxxga的零点为n，

则nm11的取值范围是（ ）

A.,5.3 B.,1 C. ,4 D. ,5.4

5.已知幂函数)(xfy过点2,4，令)()1(nfnfan，Nn，记数列na1的前n项和为nS，则nS=10时，n的值是（ ）

A.110 B.120 C.130 D.140

6.在ABC中，Cabcbasin32222，则ABC的形状是（ ）

A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形

7. 设yx,满足约束条件12340yxxyx，则132xyx的取值范围是（ ）

A．5,1 B.6,2 C.10,2 D.11,3

8.已知双曲线12222byax（)0,0ba的右焦点,F直线cax2与其渐近线交于BA, 两点，且2 ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．,3 B.3,1 C. ,2 D. 2,1

9. 533121xx 的展开式中x的系数是（ ）

A．4 B.2 C.2 D.4

11.已知抛物线xyM4:2，圆222)1(:ryxN（其中r为常数，r0）过点)0,1(的直线l交圆N于DC,两点，交抛物线M于BA,两点，且满足BDAC的直线l只有三条的必要条件是

A 1,0r B.2,1r C.r4,23 D.,23r

12.在正三棱锥ABCP中，有一半球，其底面与三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于（ ） A.2

B.32 C.6 D.3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13. .经过原点0,0做函数233)(xxxf的切线，则切线方程为 。

14. 在ABCRt中，两直角边分别为ba,。设h为斜边上的高，则222111bah，由此类比：三棱锥ABCS中的三条侧棱SCSBSA,,两两垂直，且长度分别为cba,,，设棱锥底面ABC上的高为h，则 。

16. 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且A，若AOmACBCABCB2sincossincos，则m= 。（用表示） 3 A E P

D C

B 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知函数)(xfmxx3在1,0上是增函数

(1)求实数m的取值集合.A

（2）当m取值集合A中的最小值时，定义数列na；满足,31a且0na，29)('31nnafa，求数列na的通项公式。

（3）若nnnab，数列nb的前n项和为nS，求证：nS21

4 19. （本小题满分12分）

甲乙两人进行乒乓球对抗赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止。设甲在每局中获胜的概率为P（)21P，且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95。若图为统计这次比赛的局数n和甲，乙的总得分数TS,的程序框图。其中如果甲获胜则输入.0,1ba如果乙获胜，则输入1,0ba。

(1) 在右图中，第一，第二两个判断框应

分别填写什么条件？

(2)求P的值。

(3)设表示比赛停止时已比赛的局数，

求随机变量的分布列和数学期望E。

20. （本小题满分12分） 5

6 21. （本小题满分12分）

已知函数)(xf=xax2 （)0,aRa，xxgln)(

（1）当1a时，判断函数)()(xgxf在定义域上的单调性；

（2）若函数)(xfy与)(xgy的图像有两个不同的交点NM,，求a的取值范围。

（3）设点),(11yxA和),(22yxB（)21xx是函数)(xgy图像上的两点，平行于AB的切线以),(00yxP为切点，求证201xxx.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l是过点)2,1(P，方向向量为)3,1(n的直线，圆方程)3cos(2

（1）求直线l的参数方程

（2）设直线l与圆相交于NM,两点，求PNPM的值

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知axx34，

（1）若不等式的解集为空集，求a的范围。

（2）若不等式有解，求a的范围。

7 参考答案：

一、选择题

1.C2.A3.C4.B5.B6.D7.D8.D9.C10.B11.D12.D

二、填空题：

13.0490yxy或 14.22221111cbah

15.4 16.sin

三、解答题：

17.（1）因为函数)(xf在1,0上是增函数

只需mxxf2'3)(在1,0满足0)('xf恒成立

即mx2303m 3|mmA

（2）29)('31nnafa，29)33(321nnaa

231nnaa 即)1(311nnaa 3111nnaa

1na数列是等比数列，首项为211a，公比为3

1321nna

（3）由（2）可知nnbnn132

令12103...333231nnnT

nnnT3...3332313321

两式相减得43)12(1nnnT

212)1(23)12(21nnnSnn

18.令PD中点为F。连接EF，则可证FABE为平行四边形。

PADEFPADAFAFBEABEF面面////PADBE面//

（2）在梯形ABCD中。可证BDBC

PCDPDCDPDCDABCDPCDABCDPCD面面面面面DPDBDBCPDABCDPD面PBCBCPDBBC面面 8 面PBD面PBC

81168120951)4()2(1)6(PPP

所以的分布列为：

 2 4 6

P 95 8120 8116

812668116681204952E

20.(1)

,1,,0,,0,0,222202222210bccbFFcbFcbFcF,122221cbFF于是,47,432222cbac所求“果圆”方程为9 .0134,01742222xxyxyx

（2）由题意得bca2,即abba222，,2,22222222abbaacbb得54ab，又，54,22,21,222222ababbacb。

（3）设“果圆”的方程为,01;0122222222xcxbyxbyax记平行弦的斜率为k，当k=0时，直线bxbty与半椭圆012222xbyax的交点是tbtaP,122，与半椭圆012222xcxby的交点是QPtbtcQ,,,122的中点M（x,y）满足tybtcax2212得122222bycax，022222,222bcabcabcaba。

综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上。

当k>0时，以k为斜率过1B的直线l与半椭圆012222xbyax的交点是.,22223222222bakbbakbakbka由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线xkaby22上，即不在某一椭圆上，当k<0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。