1.1-1.1.2 弧度制 秋学期高中数学必修4(人教A版)PPT课件

角度制

在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？在平面几何中研究角的度量，当时是用度做 单位来度量角，1°的角是如何定义的？

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度一弧度制，它是如何定义呢？ 若弧是一个半圆,

若弧是一个整圆呢？ 则其圆 心角的弧度数是多少? 弧度制定义

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

演示课件 为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所鼓禹圆 的半径大小无关呢？

濾示课件

角度制与弧度制的换算

用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角

以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算.

若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧 度数是2兀，而在角度制里它是360°，

因此 360° = 2K rad .

例1把67。30'化成弧度.

/ 1 \°

解：・・• 67°30'= 67- I 2丿

兀 1 3 .I 67°30'=——radx67-二一urad 180 2 8z r 4

例2把彳兀Tad化成度.

4 4

解：—K rad = — xl80° = 144°

角度制与弧度制互化时要抓住1800 =兀 弧度这个关键. 写出一些特殊角的弧度数

角度 O O 0° 3 O 45 0° 6 O 90 0° 2 5° 3 G 50 11 C 80 0° 27 60 3

弧度 O 兀一 6 兀一

4 兀一 3 兀一 2 2兀

3 37:4 5K一 6 兀 37T-2 271 角度制与弧度制的比较

① 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；

② 1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 的大小，而1°是圆的 箱6所对的圆心角（或该弧） 的大小；

知识点：

1．弧度制

(1)弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

(2)任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．

(3)角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

2．角度制与弧度制的换算

(1)

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

视频教学：

练习：

1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )

A. B. C. D.

2.集合，，则有( )

A. B. C. D.

3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) A. B. C. D.

4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )

A. B. C. D.

5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )

A. B. C. D.

课件：

教案：

教材分析

前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.

教学目标与核心素养

课程目标

1.了解弧度制,明确1弧度的含义.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.

数学学科素养

1.数学抽象：理解弧度制的概念；

2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；

3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题. 教学重难点

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；

5.1.2 弧度制

课标要求 素养要求

1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.

2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.

3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.

2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.

教材知识探究

摄氏度与华氏温度

“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”

摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0 ℃，沸点为100 ℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度.

人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1 ”.按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.

摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：

华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.

问题 1.温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？

2.摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？

3.今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？

提示 1.弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.

2.可以，1°＝π180 rad，1＝180π°.

1.1.2 弧度制

重点难点

重点：弧度的意义及正确地进行弧度与角度的换算。

难点：弧度的概念及其与角度的关系。

本节须注意：1．掌握角度制与弧度制间换算的实质：180°＝π（弧度）。

2．熟练掌握一些特殊角的弧度数，如,,643 等。

3．弧长公式化简为L＝｜α｜·R（α是圆心角的弧度数）。 4．同一个式子中，角度、弧度两种制度不能混用。 学习过程：

一、角度制

初中学过角度制，它是一种重要的角度度量制度。规定周角的1360 为１度的角，记做1°这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

二、弧度制

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，1弧度记做1rad；

用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

定义的基础：当角α的大小一定时，不论这个角所对的圆弧的半径是多少，弧长与半径的比值总是一个定值，它仅与圆心角的大小有关，所以我们可以用弧长与半径的比值来度量角的大小。

三、弧度数：

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。

角α的弧度数的绝对值lr（其中l是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r是圆的半径）。

四、角度与弧度之间的互化

把角度换成弧度：180°＝π rad; 1°＝180 rad= rad;

把弧度换成角度：1 rad= 180°=57°18′

关键：180°＝π rad

五、须记住的特殊角的弧度数

度 0° 60° 90° 120° 150° 180° 240° 300° 330° 360°

弧度 0

注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin（2弧度），π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去。

六、角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：

每一个角都有唯一的一个实数（例如这个角的弧度数或度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（例如弧度数或度数等于这个实数的角）与它对应。