2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题含答案

2

x y z

2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

（万学·海文提供）

一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.

(1) 已知lim x- arctan x = c ，其中k, c 为常数，且c  0 ，则 （ ）

x0 xk 1 1 1

(A) k =2,c  (B)

2 k =2,c= 2 (C) k =3,c  (D) 3

k =3,c= 1

3

【答案】D

【解析】因为c  0

x  arctan x 洛

1- 1 x

x2 1 c  lim  lim 1+x  lim  lim  lim x3k

x0 xk x0 kxk 1 x0 kxk 1 (1 x2 ) x0 kxk 1 k x0

所以3  k  0, k  3, c  1  1 ,故选D

k 3

(2) 曲面 x2  cos(xy)  yz  x  0 在点0,1, 1 的切平面方程为 （ ）

（A) x  y  z  2 (B) x  y  z  0 (C) x  2 y  z  3 (D) x  y  z  0

【答案】A

【解析】曲面在点(0,1,-1) 处的法向量为

n =(F ,F ,F )

(0,1,-1) =(2x-y sin (xy)+1,-x sin (xy)+z,y)

(0,1,-1) =(1,-1,1)

故曲面在点(0,1,-1) 处的切面方程为 1 (x-0)-(y-1)+(z+1)=0,

即 x  y  z  2 ，选 A

1 1 (3) 设

s( 9 ) 4 f (x) x  2 , bn  20 f (x) sin n xdx(n  1, 2,L) . 令 s(x)  bn sin nx , 则

n1

(A) 3

4

【答案】C

(B) 1 4 (C)  1

4 （ ）

(D)  3

4 2 i i

1 n 1 n x3

 1  1 【解析】 f (x)= x- 1 -x,  2 = x  0, 2 2  1  1  x- 2 , x   2 ,1将 f (x) 作奇延拓，得周期函数 F (x) ，周期T=2

则 F (x) 在点 x   9 处连续，从而

4 S (  9 )=F (  9 )  F (  1 )=  F 1  1  1

( )= f( )= 4 4 4 4 4 4

故选C

(4) 设 L : x2  y2  1, L : x2  y2  2, L : x2  2 y2  2, L : 2x2  y2  2 为四条逆时针方向 1 2 3 4

y 的 平 面 曲 线 ， 记 Ii  □L ( y  )dx  (2x  )dy(i  1, 2, 3, 4) . 则 maxI1 , I2 , I3 , I4 i 6 3

（ ）

（A） I1

【答案】D （B） I2

y3 （C） I3

x3 Q (D) I4

P y2  y2 【解析】记 P  y+ ,Q=2x  ，则

6 3 x   2  x2 1 y =1   x2 +  ， 2  2  y3  x3  Q P   y2 Ii =□  y+ dx+  2x  dy= dxdy= 1   x2 + dxdy .

L  6  3  D  x y Di  2 用 D 表示 L 所围区域，则有 I = 5  ,I = 1  ,I = 3 2 , I = 2  ,I  I  I  I . i i

故选D 1 8 2 2 3 8 4 2 4 1 3 2

(5) 设 A, B, C 均为n 阶矩阵，若 AB  C ,且 B 可逆，则 （ ）

(A)矩阵C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价

(B)矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价

【答案】B

【解析】将 A, C 按列分块， A  ( ,..., ), C  ( ,..., )

由于 AB  C ,故

 b11 ... b1n ( ,..., )  . ... .   ( ,..., )

1 n 1 n  b ... b  n1 nn 3 1 2 3 1 2 3 即  b ...  b  ,..., b ...  b 1 11 1 n1 n n 1n 1 nn n

即C 的列向量组可由 A 的列向量线性表示

由于 B 可逆，故 A  CB1 ， A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，选 B

 1 a 1   2 0 0 (6) 矩阵 a b a  与 0 b 0  相似的充要条件为 （ ）     1 a 1   0 0 0 (A)    a  0, b  2

(B)

a  0, b 为任意常数

(C) a  2, b  0 (D) a  2, b 为任意常数

【答案】B  1 a 1  2 0 0 【解析】令 A   a b a  ， B=  0 b 0  ，     1 a 1   0 0 0    因为 A 为实对称矩阵， B 为对角阵，则 A 与 B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为2, b, 0

A 的特征方程  E  A  1

a

1 a

  b

a 1 a  0

 1 a

  b

a 1

a

 1

 a

 0   b

0 a 1

a

 1

=    2  b  2a2  ，

因为  2 是 A 的特征值，所以 2E  A  0

所以2a2  0 ，即a  0 .

当a  0 时，  E  A     2  b ，

A 的特征值分别为2, b, 0 所以b 为任意常数即可. 故选B.

(7) 设 X , X , X 是随机变量，且 X ~ N (0,1) , X ~ N (0, 22 ) , X ~ N (5, 32 ) ，

pi  P2  Xi  2(i  1, 2, 3) ,则 （ ）

(A) p  p  p (B) p  p  p (C) p  p  p (D) p  p  p

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2 y

y  (x)

O 1 2 7/3 x

【答案】A

【解析】

p1  P{2  X1  2}  (2)  (2)  2(2) 1,

p  P{2  X  2}  P 2  0  X 2  0  2  0   (1)  (1)  2(1) 1,

2 2   2 2 2 p  P{2  X  2}  P 2  5  X 3  5  2  5   (1)     7     7   (1),

3 3  3 3 3 3   3  由下图可知， p  p  p ,选 A.    1 2 3

(8) 设随机变量 X ~ t(n) ， Y ~ F (1, n) ，给定 (0    0.5) ,常数c 满足 PX  c   ，

则 PY  c2  （ ）

(A)  (B) 1 【答案】C

【解析】 X ~ t(n) ，则 X 2 ~ F (1, n) (C) 2 (D)1 2PY  c2  PX 2  c2  PX  c  PX  c  2PX  c  2 ,选 C.二、填空题：9 □ 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.

(9) 设函数 y f (x) 由方程 y  x  ex(1 y ) 确定，则  1     lim n  f ( ) 1【答案】1

【解析】

x  0 时， y  1 n n 方程两边对 x 求导得 y 1  ex(1 y ) (1 y  xy) 所以 y(0)  1