平面解析几何知识点总结
直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．
2．直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.
(3) 直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：
α 0° 0°
k 0 k>0 不存在 k<0
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1
(y1≠y2)
截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
4．两直线平行、垂直与斜率的关系
条件 两直线位置关系 斜率的关系
两条不重合的直线平行 k1＝k2
l1，l2，斜率分别为k1， k2 k1与k2都不存在
垂直 k1k2＝－1
k1与k2一个为零、另一个不存在
说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．
5．利用一般式方程系数判断平行与垂直
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
1 第6章 平面图形的几何性质
6.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 主轴和主惯性矩
6.3.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
任一平面图形如图6.9所示，其面积为A，形心为C，坐标轴y
c和z
c为形心轴。正交
坐标轴y、z与形心轴y
c、z
c平行，两对平行轴之间的间距分别为a和b。截面对y
c轴、z
c
轴的惯性矩I
y
c、I
z
c及惯性积I
yz
cc为已知，现求图形对y、
z轴的惯性矩和惯性积。
图中任一点在两坐标系下的坐标关系为
=+zza
c
=+yyb
c
由式（6.5）
==+=++IzAzaAzAazAaA
AAAAAycccd()dd2dd2222
其中=zAI
Acy
cd2
，=AA
Ad
，=zAS
Acy
cd
。因y
c为形心轴，所以=S
y
c0
，于是可得
同理
=+=+=+
IIabAIIbAIIaA
yzyzzzyy
ccc22
c
（6.9）
上式即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式（parallel-axis theorem）。因为aA2
和bA2
均
为正，所以在所有相互平行的轴中，同一图形对形心轴的惯性矩最小。
在应用公式（6.9）时需注意，a、b是图形的形心C在yOz坐标下的坐标，有正、负之
分。同时，y
c、z
c轴一定是形心轴。
6.3.2 主轴和主惯性矩
由式（6.6）可知，同一图形对不同的一对直角坐标轴的惯性积是不同的，若图形对某
一对直角坐标轴的惯性积等于零，则该直角坐标轴称为主惯性轴，或简称为主轴（principal
axes）。图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩（principal moment of inertia）。
yc
cz
cyz
c
6.9图C
yOz
Ad
a
zb
y
通过图形形心的主轴称为形心主轴（centroidal axis），图形对形心主轴的惯性矩称为形
心主惯性矩（principal moment of inertia foranarea）。在所有形心轴的惯性矩中，图形的形心
主惯性矩是极值。有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
平面几何中的垂线与垂直平分线
在平面几何中，垂线和垂直平分线是两个重要的概念，它们在解决几何问题中起着关键的作用。本文将探讨垂线和垂直平分线的定义、性质以及其在几何问题中的应用。
一、垂线的定义与性质
垂线，顾名思义，是与给定线段或直线相交成90度（即直角）的线段或直线。垂线与原线段或直线上的点成为垂足。
性质一：垂线和原线段或直线之间的夹角为90度。
这是垂线的最基本性质，根据直角的定义，两条相交线段或直线成为90度的角。
性质二：垂线的长度等于原线段或直线上两点间的距离。
垂线的长度即为原线段或直线上两点间的最短距离，这是通过垂线的定义和直角三角形的性质可以得到的结论。
性质三：垂线上的任意一点到原线段或直线的距离最短。
根据垂线的定义和性质二，垂线上的任意一点到原线段或直线的距离均等于垂线的长度，而垂线是最短距离，因此垂线上的点到原线段或直线的距离最短。
二、垂直平分线的定义与性质 垂直平分线，即将一个线段平分，并且与该线段垂直相交的线段或直线。垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且垂直于线段连接线段的中点与垂足。
性质一：垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
垂直平分线将线段分成两个长度相等的部分，这是直线分割线段的基本性质。
性质二：垂直平分线与线段上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
这是由垂直平分线将线段平分为两个相等部分的性质，即线段上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
性质三：垂直平分线是原线段上每一点到该线段两个端点之间垂线的中垂线。
垂直平分线是与原线段上每一点成垂线的线段，且既平分了原线段，又垂直于原线段。
三、垂线与垂直平分线的应用
垂线和垂直平分线在几何问题中有广泛的应用，下面将介绍其中几种常见的应用情况。
情况一：垂线的应用 在求解直角三角形或等腰三角形的问题时，垂线的应用非常常见。通过引入垂线，可以将原问题转化为更简单的几何关系，进而简化求解步骤。
情况二：垂直平分线的应用
平面几何的方程与不等式
在平面几何中，方程与不等式是研究几何性质和解决几何问题的重要工具。方程与不等式的运用可以描述几何图形的性质，推导出几何定理以及解决实际问题。本文将介绍平面几何中方程与不等式的基本概念、应用以及解题技巧。
一、平面几何中的方程
1.1 点、直线和圆的方程
在平面几何中，我们经常研究点、直线和圆的性质和关系。而这些几何元素在坐标系中可以用方程表示。
对于点而言，设坐标系中点的坐标为(x, y)，那么该点的方程可以表示为x=a，y=b，其中a和b为常数。
直线在坐标系中可以用一般式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A与B不能同时为零。
圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
1.2 直角坐标与极坐标
除了一般式方程，我们还可以用直角坐标和极坐标表示平面几何中的方程。
直角坐标系中，点的坐标为(x, y)；而在极坐标系中，点的坐标用(r,
θ)表示，其中r为点到原点的距离，θ为该点与x轴正半轴的夹角。 在直角坐标系中，方程的形式可以是y=f(x)或x=f(y)；在极坐标系中，方程的形式可以是r=f(θ)。
二、平面几何中的不等式
2.1 直线和线段的不等式
在几何中，直线和线段有时候需要用不等式来描述其关系。
对于直线而言，我们可以用一般式方程Ax+By+C=0来表示；而对于不等式，我们可以通过改变等号的方向来表示直线上方或下方的点。例如Ax+By+C>0表示位于直线上方的点。
对于线段，通常用坐标表示其两个端点的坐标，然后通过不等式来描述线段上的点。例如，若线段AB上的点P的坐标为(x, y)，则可以通过不等式表示为x1≤x≤x2，y1≤y≤y2，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)为线段的两个端点。
2.2 圆的不等式
圆的不等式通常用来描述圆内或圆外的点。对于圆心坐标为(a, b)，半径为r的圆而言，可以使用以下不等式来描述圆内或圆外的点：
