建筑平面图形的几何性质
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平面图形的几何性质
Iz
Iy 2
cos 2
I yz
sin 2
I y1
Iz
2
Iy
Iz
Iy 2
cos 2
I yz
sin 2
I y1z1
Iz
Iy 2
sin 2
I yz
cos 2
显然 I z1 I y1 I z I y I p
27
创造的机遇——提出问题：因为角度对应坐标系， 在哪个坐标系中，惯性矩为极大（ 或极小）？
Iz
Iy 2
1 2
( I z I y )2 4I 2 xy
主形心惯性系：坐标原点取在截面形心上的主惯性系
主形心惯性矩：主形心惯性轴上的惯性矩
30
截面几何性质小结
1. 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系 中的数值有一定的关系
2. Iz、Iy 恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位
第五章 平面图形的几何性质
(Geometrical properties of plane graph)
赠言
凡事豫则立，不豫则废。言前定，则不跲；事前定， 则不困； 行前定，则不疚； 道前定，则不穷。
子思《中庸》 解释 豫 —— 预划； 跲（Jia）—— 窒碍 困 —— 困扰； 疚 —— 不安； 穷 —— 贫穷
y y1
H
A
C
z1
B
D
G
E
z
O
F
24
《z 变 z1 的操作》
y y1
1、z（OF）向z1 轴投影得 z1 - GD
z cos z1 GD
2、再加上GD 得z1
H
A
C
z1
B
材料力学-平面图形的几何性质
第四章 平面图形的几何性质
为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有 一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截 面的几何形状有关。
第四章 平面图形的几何性质
课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形
状不同,承载能力差异很大。
第四章 平面图形的几何性质
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
图形对平行于形心轴的y、z轴的惯性矩和惯性积为：
Iz
y2dA
A
z zc b
I yz
yzdA
A
y yc a
I y
z 2dA
A
Iz
y2dA
A
A ( yc a)2 dA
y
yc
A yc2dA 2a aycdA a2
bh2 2
Sy
zc
A
hb2 2
y
c
h
b
z
例 试确定下图的形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200 , z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z1
Z（矩形的对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴的惯性积
为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有 一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截 面的几何形状有关。
第四章 平面图形的几何性质
课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形
状不同,承载能力差异很大。
第四章 平面图形的几何性质
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
图形对平行于形心轴的y、z轴的惯性矩和惯性积为：
Iz
y2dA
A
z zc b
I yz
yzdA
A
y yc a
I y
z 2dA
A
Iz
y2dA
A
A ( yc a)2 dA
y
yc
A yc2dA 2a aycdA a2
bh2 2
Sy
zc
A
hb2 2
y
c
h
b
z
例 试确定下图的形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200 , z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z1
Z（矩形的对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴的惯性积
附录1 平面图形的几何性质PPT课件
截面对于一个构件或者结构来说是非常重要的，下面我 们列举一下工程当中常见的几种截面：
槽钢 工字型
角钢
1
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总体概述
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a
槽钢 工字型
角钢
1
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总体概述
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a
平面图形的几何性质
第五章 平面图形的几何性质§5-1 静矩和形心１．面积（对轴）矩：是面积与它到轴的距离之积（用S 表示）。
微面积dA 对X 轴的静矩微面积dA 对Y 轴的静矩 or如S=0 ↔ 轴过形心２．组合截面的静矩与形心：整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和（由静矩定义可知）。
则 ∴ §5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径１．惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
图形对x 轴的惯性矩:图形对y 轴的惯性矩:２．极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
图形对O 点的极惯性矩:３．惯性积：面积与其到两轴距离之积。
图形对xy 轴的惯性积:y A S x ⋅=d d xA S y ⋅=d d ⎰=⎰=⎰=⎰=A A y y A A x x A x S S A y S S d d d d y A S xA S x y ==i n i A A ∑==1:如x A x A S y A y A S i i n i y i i n i x =∑==∑===11⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∑=∑A A y y A A x i i i i ⎰=⎰=A y A x A x I A y I d d 22y x AI I A I +=⎰=d 2ρρ⎰=Axy A xy I d如果x 或y 是对称轴，则Ixy =0４．惯性半径 图形对x 轴的惯性半径: 图形对y 轴的惯性半径: §5-3 平行移轴公式１．平行移轴定理：以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图注意: C 点必须为形心 图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.。
２．组合截面的惯性矩：§5-4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩１．惯性矩和惯性积的转轴定理２．截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩⑴主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到α=α0时；恰好有A I i A I i y y x x //==⎪⎩⎪⎨⎧+=+=C C y b y x a x A b bS I A b by y A b y A y I xC xC C A C A C A x 222222d )2( d )( d ++=++⎰=+⎰=⎰=0==C xC y A S A b I I xC x 2+=A b I I xC x 2+=A a I I yC y 2+=abA I I xCyC xy +=A b a I I C 2)(++=ρρxi n i x I I ∑==1yi n i y I I ∑==1xyi n i xy I I ∑==1⎩⎨⎧+-=+=ααααcos sin sin cos 11y x y y x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=αα2sin 2cos 221xy y x y x x I I I I I I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=αα2sin 2cos 221xy y x y x y I I I I I I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=αα2cos 2sin 211xy y x y x I I I I y I x I y I x I +=+110)2cos 2sin 2(0000=+-=ααxy y x y x I I I I则与α0对应的旋转轴x 0 ,y 0 称为主惯性轴。
建筑工程技术 教材 组合图形的惯性矩
Iz Iy
a 2 A
b
2
A
I z1y1 I zy abA
特别注意：式中 I与Iy必须是平面图形对其形心轴的惯性矩 。
上式表明：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与
该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两
平行轴间距离平方的乘积。 由于 a2 恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形
对形心轴的惯性矩最小。
yC2=29cm
yC
Ai yCi Ai
600 64 1450 29 39.2cm 600 1450
2 计算组合图形对形心轴的惯 性矩I、Iy。
首先分别求出矩形Ⅰ、Ⅱ对形心轴的惯性矩。由平行移轴公 式可得
平面图形的几何性质
I1z I1z1 a12 A1 50123 24.82 600 12 3.76105 cm4
I y I1y I2y
12503 58 253
12
12
2.01105 cm4
当把组合图形视为几个简单图形之和时，其惯性矩等于简单 图形对同一轴惯性矩之和；当把组合图形视为几个简单图形 之差时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之差。
平面图形的几何性质
例6-5 计算图示的矩形截面对1轴和y1轴的惯性矩。
解
2
I z1
Iz
h 2
A
bh3 12
h 2
2
bh
bh3 3
2
I y1
Iy
b 2
A
hb3 12
b 2
2
bh
hb3 3
平面图形的几何性质
二、组合图形惯性矩的计算
由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或 由由几惯个性型矩钢定组义成可，知称：为组组合合图图形形对。任一轴的惯性矩，
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
建筑力学与结构力学作业答案(高职)讲解
建筑力学与结构、结构力学与建筑构造练习册（宁大专升本）姓名：学号：班级：任课教师：杭州科技职业技术学院作业一、静力学基本概念(一)判断题：1、使物体运动状态发生改变的效应称为力的内效应。
（ ⨯ ）2、在两个力作用下处于平衡的杆件称为二力杆。
（ √ ）3、力的可传性原理适用于任何物体。
（ ⨯ ）4、约束是使物体运动受到限制的周围物体。
（ √ ）5、画物体受力图时，只需画出该物体所受的全部约束反力即可。
（ ⨯ ）(二)选择题：1、对刚体来说，力的三要素不包括以下要素（ B ）。
（A ）大小 （B ）作用点 （C ）方向 （D ）作用线2、刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必（ C ）且汇交于一点。
（A ）共点 （B ）共线 （C ）共面 （D ）不能确定3、光滑圆柱铰链约束的约束反力通常有（ B ）个。
（A ）一 （B ）二 （C ）三 （D ）四4、如图所示杆ACB ，其正确的受力图为（ A ）。
（A ）图A （B ）图B （C ）图C （D ）图D成绩D（A ）（D ）（C ）5、下图中刚架中CB 段正确的受力图应为（ D ）。
（A ）图A （B ）图B （C ）图C （D ）图D(三)分析题：1、画出下图所示各物体的受力图，所有接触面均为光滑接触面，未注明者，自重均不计。
解：(a)取球为研究对象，作受力图如下：∙C G(b)60︒(c)F CFB (C)F B∙ABC GAR(b)取刚架为研究对象，作受力图如下：(c)取梁为研究对象，作受力图如下：2、画出下图所示各物体的受力图，所有接触面均为光滑接触面，未注明者，自重均不计。
解：(a)先取AC 杆为研究对象，作受力图如下：(a) AC 杆、BC 杆、整体(b)AC 杆、BC 杆、整体q (c) AB 杆、BC 杆、整体 CAAx F B R F或：BB R60︒ Ay F BF CCx F再取BC 杆为研究对象，作受力图如下：最后取整体为研究对象，作受力图如下：(b) 先取AC 杆为研究对象，作受力图如下：再取BC 杆为研究对象，作受力图如下：最后取整体为研究对象，作受力图如图所示：BF BF CxFF 'T 'BB A F A Ax FAy FB Cx F F 'Bx F By FA Ax FAy FBBx FBy F(c) 先取AB 杆为研究对象，作受力图如下：再取BC 杆为研究对象，作受力图如上：最后取整体为研究对象，作受力图如下：二、平面汇交力系(一)判断题：1、求平面汇交力系合力的几何作图法称为力多边形法。
工程力学第四章
O O
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
20
0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
20
0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
建筑力学 第五章(最终)
dA 2 y dz 2 R2 Z 2dz
于是求得
Sy
z dA
A
R
z
O
2
R2 z2 dz 2 R3 3
2R3
zc
Sy A
3 πR2
4R 3π
2
图5-6
5. 2. 3 组合图形的面积矩计算
当图形是由若干个简单图形（如矩形、圆形和三角形等）组合而成时， 这类图形称为组合图形。由于简单图形的面积及其形心位置均为已知，而且 由面积矩的定义可知，组合图形对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴 面积矩的代数和，即
5.1.2 物体重心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
设有一物体，如图5-1所示。重心 c 坐 标为(xc，yc，zc)，物体的容重为 γ，总体积 为V。将物体分割成许多微小体积 ΔVi，每 个微小体积所受的重力 PGi Vi ， 其作 用点坐标(xi，yi，zi)。整个物体所受的重力
为 PG PGi 。
n
xc
A1x1c A2x2c An xnc A1 A2 An
Ai xic
i 1 n
Ai
i 1
n
yc
A1 y1c A2 y2c An ync A1 A2 An
Ai yic
i 1 n
Ai
i 1
(5-6)
【例5-1】试求图5-2 所示 Z 形平面图形的形心。
解：将Z 形图形视为由三个矩形图形组合而成，以 c1 、c2 、c3 分别表示 这些矩形的形心。取坐标系如图5-2 所示，各矩形的面积和形心坐标为
5. 2. 2 面积矩与形心的关系
由平面图形的形心坐标公式 (5-4) 和面积矩的定义可得
yc
A
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i 1 i 1 i 1 i 1
四、平行移轴公式
I z I zc a A
2
I y I yc b A
2
y
yc
zc
dA
b
yc
C
a
zc
O
z
注意：
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截 面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过 平行的形心轴惯性矩来换算; （2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中, 以对通过形心轴的惯性矩最小.
求静矩的另一公式： 若图形形心C已知，由
S yc z A A zdA S y zc A A A
A
ydA
y
zc
A
C
yc
Sz yc A
o
z
S y zc A
若
y
yc 0, zc 0, 则 S z 0, S y 0.
C
A
z
如果截面对某一轴 的静矩等于零，则 该轴必过截面的形 心；反之，截面对 于通过形心的轴的 静矩必等于零。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 教师
课 题 教学 方法
陈德先
授课 班级
12造价 与造价
授课 2013/ 时间
课型
学 时
4
平面图形的几何性质+作业评讲 讲练结合法
新授课 讲评课
教学 目的
教学 重点 教学 难点
了解平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等 概念及计算公式、单位、正负情况等；记住圆形和矩形的 形心主惯矩的计算公式；会使用型钢表。 平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等概念
平行移轴公式，计算组合图形的形心主惯矩。
重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必 须要加以掌握。 如挡土墙与水电站大坝的稳定性
一、重心与形心的概念： 1、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
2、物体的重心：物体重力的合力作用点称为物体的 重心。 注：无论物体怎样放置，重心总是一个确定点， 重心的位置保持不变。
2
图形对o点的极惯矩等于对过o点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和。 极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的 极惯性矩也不相同。
4、惯性积
图形对y、z两轴的惯性积
y z
I yz yzdA
A
dA
y
单位： m
4
mm4
A
I yz 可0；0；0；
z
o
若图形有一对称轴，则
I yz 0
3、形心：物体的几何中心称为物体的形心。
力不仅可以使刚体绕着一点转动，还可以使刚 体绕着轴转动。那么这个转动效应我们用力对轴 之矩表示。
F
补充内容：力对轴之矩
定义：力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与该平面交 点之矩，称为力对轴的矩。
M z dFxy
z F Fz Fxy Fxy
显然力对轴之矩不直接与力的大小有关。 F
在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环 形等横截面的构件，这些构件的截面图形 是由几个简单的几何图形组合而成的，称 为组合图形。
三、组合图形的几何性质
y I D
II
III
z
d
根据定义：
整个图形对某一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）等于 各个分图形对同一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）之和。
例如:
A AI AII AIII
y
y0
Ⅱ
Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)
150
C2 60 90
Ⅰ
z0
C C1
z
90 10 300 10 30 10
2 -3
6
300 10 -3 30 3 10 -9 12
-3
50 10 -3 270 3 10 -9 2 6 60 10 12
4 4
4 270 10 50 10 m -3 -3
2.04 10 m 2.04 10 mm
8
4
评讲思考题
【课后作业】习题8-1；8-2
【预习】
z
30
300
3
yC
Ay
i 1 i
Ci
A
i 1
3
i
0 270 103 50 103 150 103 m=90mm 3 3 3 3 300 10 30 10 270 10 50 10
3. 确定形心主惯性矩
例1:极惯性矩的计算 实心圆截面
dA 2 d
ρ dρ
D
IP D 4 Iy Iz 2 64
空心圆截面
I P dA
2 D 2 d 2
dρ ρ
d 2 2 d
2
D 2
D 32
4
d4
1 D 4 (1 4 ) 64
d D
I y I z I z大 I z小
y y0
Ⅱ
C2
Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(II)
90
Ⅰ
C
C1
150
60
z0
z
30 10 -3 300 3 10 -9 270 10 -3 50 3 10 -9 4 m 12 12
7.03 10 m 7.03 10 mm
4 7
5
4
y dy
y h c z
例2：求
（1） 解： （2）
S z , S y , I z , I y , I yz , iy , iz
S z 0, S y 0.
b
I z y 2 dA A
h 2
h 2
y bdy
2
y b 3
3
h 2 h 2
I y z 2 dA
A
1 3 bh 12 1 3 hb 12
I yz 0
3 iy h, A 6
Iy
Iz iz A
3 b 6
例3 已知：图形尺寸如图所示。 求：图形的形心主矩
270
50
30
300
解 ：1．将所给图形分解为简单图形的组合
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2
30
C1 300
2.建立初始坐标，确定形心位置
y
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2 C C1
yC
150
用Sz（或Sy）表示。即
A o
dA y z
图形对z轴的静矩
y z
S z ydA
dA
A
A
图形对y轴的静矩
y
o
z
Sy
AzdA
从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定 的坐标轴而言的。
同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。 常用单位是 m3或 mm3。
O
yC
z
yi
C
A Ai
zc
zi
O
y
3、负面积法： 仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的 面积用负值。
4、积分法（实际应用---查表）
yc
A
ydA A
O
yC
z y
C A dA
zc
zc
zdA
A
z
O
A
y
二、平面图形的几何性质
从前面几章介绍的应力和变形的计算公式中可以看 出，应力和变形不仅与杆的内力有关，还与杆件截面的 横截面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量 密切相关。 这些与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称 为平面图形的几何性质。 平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。
平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象 的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺 少的几何参数。
1、静矩（面积矩、一次矩）
微面积dA与坐标 y（或坐标 z）的乘积称为微 面积dA对z轴（或y轴）的静矩 这些微小乘积在整个面积 A内的总和，称为该 平面图形对z轴（或y轴）的静矩。
y z
y I II III z
则
I y z dA
2 A
z 2 dA z 2 dA z 2 dA
AI AII AIII
同理
I yI I yII I yIII I yi
i 1 m m m m
m
I z I zi , S y S yi , S z S zi , I yz I yzi
I y iy A,
所以
2
I z iz A
Iz iz A
（单位：m ） mm
2
iy
Iy A
,
iy , iz ——惯性半径
y
3、极惯性矩
z
图形对o点的极惯矩
dA
A
y
z y
2 2
z
I P dA
2 A
2
o
I P dA ( z 2 y 2 )dA z 2 dA y 2 dA I y I z A A A A
面积无限分割
差分式
后面用zoy表示平 面直角坐标系
积分式
（四）、物体形心位置的确定方法 ：
1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简 单形状的均质物体，其形心一定在它的对 称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用
2、分割法： 由几个简单基本图形组合而成的图形称组合 图形。 在计算它们的形心时，可先将其分割为几块 基本图形，利用查表法查出及对称法得出每块图 形的形心位置与面积，然后利用形心坐标公式求 出整体的形心位置。此法称为分割法。
四、平行移轴公式
I z I zc a A
2
I y I yc b A
2
y
yc
zc
dA
b
yc
C
a
zc
O
z
注意：
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截 面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过 平行的形心轴惯性矩来换算; （2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中, 以对通过形心轴的惯性矩最小.
求静矩的另一公式： 若图形形心C已知，由
S yc z A A zdA S y zc A A A
A
ydA
y
zc
A
C
yc
Sz yc A
o
z
S y zc A
若
y
yc 0, zc 0, 则 S z 0, S y 0.
C
A
z
如果截面对某一轴 的静矩等于零，则 该轴必过截面的形 心；反之，截面对 于通过形心的轴的 静矩必等于零。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 教师
课 题 教学 方法
陈德先
授课 班级
12造价 与造价
授课 2013/ 时间
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4
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新授课 讲评课
教学 目的
教学 重点 教学 难点
了解平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等 概念及计算公式、单位、正负情况等；记住圆形和矩形的 形心主惯矩的计算公式；会使用型钢表。 平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等概念
平行移轴公式，计算组合图形的形心主惯矩。
重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必 须要加以掌握。 如挡土墙与水电站大坝的稳定性
一、重心与形心的概念： 1、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
2、物体的重心：物体重力的合力作用点称为物体的 重心。 注：无论物体怎样放置，重心总是一个确定点， 重心的位置保持不变。
2
图形对o点的极惯矩等于对过o点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和。 极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的 极惯性矩也不相同。
4、惯性积
图形对y、z两轴的惯性积
y z
I yz yzdA
A
dA
y
单位： m
4
mm4
A
I yz 可0；0；0；
z
o
若图形有一对称轴，则
I yz 0
3、形心：物体的几何中心称为物体的形心。
力不仅可以使刚体绕着一点转动，还可以使刚 体绕着轴转动。那么这个转动效应我们用力对轴 之矩表示。
F
补充内容：力对轴之矩
定义：力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与该平面交 点之矩，称为力对轴的矩。
M z dFxy
z F Fz Fxy Fxy
显然力对轴之矩不直接与力的大小有关。 F
在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环 形等横截面的构件，这些构件的截面图形 是由几个简单的几何图形组合而成的，称 为组合图形。
三、组合图形的几何性质
y I D
II
III
z
d
根据定义：
整个图形对某一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）等于 各个分图形对同一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）之和。
例如:
A AI AII AIII
y
y0
Ⅱ
Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)
150
C2 60 90
Ⅰ
z0
C C1
z
90 10 300 10 30 10
2 -3
6
300 10 -3 30 3 10 -9 12
-3
50 10 -3 270 3 10 -9 2 6 60 10 12
4 4
4 270 10 50 10 m -3 -3
2.04 10 m 2.04 10 mm
8
4
评讲思考题
【课后作业】习题8-1；8-2
【预习】
z
30
300
3
yC
Ay
i 1 i
Ci
A
i 1
3
i
0 270 103 50 103 150 103 m=90mm 3 3 3 3 300 10 30 10 270 10 50 10
3. 确定形心主惯性矩
例1:极惯性矩的计算 实心圆截面
dA 2 d
ρ dρ
D
IP D 4 Iy Iz 2 64
空心圆截面
I P dA
2 D 2 d 2
dρ ρ
d 2 2 d
2
D 2
D 32
4
d4
1 D 4 (1 4 ) 64
d D
I y I z I z大 I z小
y y0
Ⅱ
C2
Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(II)
90
Ⅰ
C
C1
150
60
z0
z
30 10 -3 300 3 10 -9 270 10 -3 50 3 10 -9 4 m 12 12
7.03 10 m 7.03 10 mm
4 7
5
4
y dy
y h c z
例2：求
（1） 解： （2）
S z , S y , I z , I y , I yz , iy , iz
S z 0, S y 0.
b
I z y 2 dA A
h 2
h 2
y bdy
2
y b 3
3
h 2 h 2
I y z 2 dA
A
1 3 bh 12 1 3 hb 12
I yz 0
3 iy h, A 6
Iy
Iz iz A
3 b 6
例3 已知：图形尺寸如图所示。 求：图形的形心主矩
270
50
30
300
解 ：1．将所给图形分解为简单图形的组合
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2
30
C1 300
2.建立初始坐标，确定形心位置
y
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2 C C1
yC
150
用Sz（或Sy）表示。即
A o
dA y z
图形对z轴的静矩
y z
S z ydA
dA
A
A
图形对y轴的静矩
y
o
z
Sy
AzdA
从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定 的坐标轴而言的。
同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。 常用单位是 m3或 mm3。
O
yC
z
yi
C
A Ai
zc
zi
O
y
3、负面积法： 仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的 面积用负值。
4、积分法（实际应用---查表）
yc
A
ydA A
O
yC
z y
C A dA
zc
zc
zdA
A
z
O
A
y
二、平面图形的几何性质
从前面几章介绍的应力和变形的计算公式中可以看 出，应力和变形不仅与杆的内力有关，还与杆件截面的 横截面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量 密切相关。 这些与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称 为平面图形的几何性质。 平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。
平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象 的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺 少的几何参数。
1、静矩（面积矩、一次矩）
微面积dA与坐标 y（或坐标 z）的乘积称为微 面积dA对z轴（或y轴）的静矩 这些微小乘积在整个面积 A内的总和，称为该 平面图形对z轴（或y轴）的静矩。
y z
y I II III z
则
I y z dA
2 A
z 2 dA z 2 dA z 2 dA
AI AII AIII
同理
I yI I yII I yIII I yi
i 1 m m m m
m
I z I zi , S y S yi , S z S zi , I yz I yzi
I y iy A,
所以
2
I z iz A
Iz iz A
（单位：m ） mm
2
iy
Iy A
,
iy , iz ——惯性半径
y
3、极惯性矩
z
图形对o点的极惯矩
dA
A
y
z y
2 2
z
I P dA
2 A
2
o
I P dA ( z 2 y 2 )dA z 2 dA y 2 dA I y I z A A A A
面积无限分割
差分式
后面用zoy表示平 面直角坐标系
积分式
（四）、物体形心位置的确定方法 ：
1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简 单形状的均质物体，其形心一定在它的对 称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用
2、分割法： 由几个简单基本图形组合而成的图形称组合 图形。 在计算它们的形心时，可先将其分割为几块 基本图形，利用查表法查出及对称法得出每块图 形的形心位置与面积，然后利用形心坐标公式求 出整体的形心位置。此法称为分割法。