材料力学-平面图形的几何性质
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材料力学习题册参考答案
材料力学习题册参考答案材料力学习题册参考答案（无计算题）第1章：轴向拉伸与压缩一：1（ABE ）2（ABD ）3（DE ）4（AEB ）5（C ）6（ＣＥ）７（ABD ）8（C ）9（BD ）10（ADE ）11（ACE ）12（D ）13（CE ）14（D ）15（ＡＢ）１６（BE ）17（D ）二：1对2错3错4错5对6对7错8错9错10错11错12错13对14错15错三：1：钢铸铁 2：比例极限p σ 弹性极限e σ 屈服极限s σ 强度极限b σ3.横截面 45度斜截面4. εσE =， EAFl l =5.强度，刚度，稳定性；6.轴向拉伸（或压缩）；7. llb b ?μ?=8. 1MPa=106 N/m 2 =1012 N/mm 2 9. 抵抗伸缩弹性变形，加载方式 10. 正正、剪 11.极限应力 12. >5% <5% 13. 破坏s σ b σ 14.强度校核截面设计荷载设计15. 线弹性变形弹性变形 16.拉应力 45度 17.无明显屈服阶段的塑性材料力学性能参考答案：1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. 5d ; 10d 7. 弹塑8. s2s 9. 0.1 10. 压缩11. b 0.4σ 12. <；< 剪切挤压答案：一：1.（C ），2.（B ），3.（A ），二：1. 2bh db 2. b(d+a) bc 3. 4a δ a 2 4. F第2章：扭转一：1.（B ） 2.（C D ） 3.（C D ） 4. （C ） 5. （A E ） 6. （A ）7. （D ）8. （B D ） 9.（C ） 10. （B ） 11.（D ） 12.（C ）13.（B ）14.（A ） 15.（A E ）二：1错 2对 3对 4错 5错 6 对三：1. 垂直 2. 扭矩剪应力 3.最外缘为零4. p ττ< 抗扭刚度材料抵抗扭转变形的能力5. 不变不变增大一倍6. 1.5879τ7.实心空心圆8. 3241)(α- 9. m ax m in αττ= 10. 长边的中点中心角点 11.形成回路（剪力流）第3章：平面图形的几何性质一：1.（C ），2.（A ），3.（C ），4.（C ），5.（A ），6.（C ），7.（C ），8.（A ），9.（D ）二：1）. 1；无穷多；2）4)4/5(a ； 3），84p R I π=p 4z y I 16R I I ===π4）12/312bh I I z z ==；5）)/(/H 6bh 6BH W 32z -= 6）12/)(2211h b bh I I I I z y z y +=+=+；7）各分部图形对同一轴静矩8）两轴交点的极惯性矩；9）距形心最近的；10）惯性主轴；11）图形对其惯性积为零三：1：64/πd 114； 2.（0 , 14.09cm ）(a 22，a 62)3： 4447.9cm 4， 4：0.00686d 4 ，5: 77500 mm 4 ;6: 64640039.110 23.410C C C C y y z z I I mm I I mm ==?==?第4章：弯曲内力一：1.（A B ）2.（D ）3.（B ）4.（A B E ）5.（A B D ）6.（ACE ） 7.（ABDE ） 8.（ABE ）9. （D ） 10. （D ） 11.（ACBE ） 12.（D ） 13.（ABCDE ）二：1错 2错 3错 4对 5错 6对 7对三：1. 以弯曲变形 2.集中力 3. KNm 2512M .max =4. m KN 2q = 向下 KN 9P = 向上5.中性轴6.荷载支撑力7. 小8. 悬臂简支外伸9. 零第5章：弯曲应力一：1（ＡＢＤ）２．（C ）3.（BE ）4.（A ）5.（C ）6.（C ）7.（B ）8.（C ）9.（BC ）二：1对 2错 3错 4 对 5 错 6错 7 对三：1.满足强度要求更经济、更省料2. 变成曲面，既不伸长也不缩短3.中性轴4.形心主轴5.最大正应力6.剪力方向7.相等8.平面弯曲发生在最大弯矩处9.平面弯曲第6章：弯曲变形一：1（B ），2（B ），3（A ），4（D ），5（C ），6（A ），7（C ），8（B ），9（A ）10（B ），11（A ）二：1对2错3错4错5错6对7错8错9错10对11错12对三：1.（转角小量:θθtan ≈）（未考虑高阶小量对曲率的影响）2. 挠曲线采用近似微分方程导致的。
《材料力学》学习指导
《材料⼒学》学习指导《材料⼒学》学习指导⼀、《材料⼒学》课程的总体把握1.《材料⼒学》的任务材料⼒学是继理论⼒学之后开设的⼀门专业基础课。
理论⼒学研究物体（刚体）在⼒的作⽤下的平衡与运动规律，材料⼒学研究构件（变形体）的承载能⼒。
材料⼒学的研究对象为变形固体，且仅限于⼯程结构中的杆件。
所有⼯程结构与构件均为变形体，⽽⼯程结构中杆件受⼒后多为⼩变形体，讨论⼩变形体的平衡问题时，⽐如：求⽀反⼒时，可近似⽤刚体⼒学的理论。
⼤部分⼯程材料可近似为连续、均匀、各向同性（变形固体的理想模型）与完全弹性的理想材料。
构件的承载能⼒表现为三个⽅⾯：构件抵抗破坏的能⼒，称为强度；构件抵抗变形的能⼒，称为刚度；构件保持原有构件形状的能⼒，称为稳定性；所以材料⼒学的任务是在理想材料和⼩变形的条件下，研究杆件的强度、刚度与稳定性。
2.掌握《材料⼒学》的研究⽅法材料⼒学⾸先研究杆件在四种基本变形下的内⼒、应⼒与变形。
计算静定结构的内⼒的⽅法为截⾯法，要⽤到刚体⼒学的理论，所以要对理论⼒学中平衡条件的灵活应⽤相当熟练。
讨论应⼒与变形时，要从杆件的整体变形与局部变形之间的⼏何关系、应⼒与应变之间的物理关系、内⼒与应⼒之间的静⼒学关系三⽅⾯⼊⼿。
其中⼏何关系是在试验观察与假设条件下建⽴起来的；物理关系是通过⼤量试验总结得来的；静⼒学关系是由内⼒与应⼒的等效条件通过积分得到的。
对于组合变形下的内⼒、应⼒与变形计算，只需要在四种基本变形的基础上，利⽤叠加原理即可。
如何解决组合变形下的强度问题，需研究危险截⾯上危险点的应⼒状态，通过简单试验观察到的各种材料的破坏现象，提出复杂应⼒状态下的破坏假说(强度理论），进⽽建⽴强度条件。
3.掌握《材料⼒学》的学习⽅法材料⼒学是⼀门典型的理论与实验相结合的课程，其基本概念很多，知识综合性较强，题⽬灵活多变。
该课程在基础课与专业课之间，充当着纽带与桥梁的作⽤。
要学好材料⼒学，不可能⼀蹴⽽就，要有吃苦耐劳的精神。
附录(惯性矩、静矩)
在一组平行的轴中，图形 在一组平行的轴中， 对其形心轴的惯性矩最小。 对其形心轴的惯性矩最小。
O
记住图形对形心轴的惯性矩， 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 为形心坐标，注意其正负号。 惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。
附录 平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺 只与横截面的几何形状和尺 几何性质 寸 有关的某些几何量， 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形 起 着重要作用，如横截面面积A， 着重要作用，如横截面面积 ，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆 对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
材料力学
中南大学土木建筑学院
8
组合图形的静矩和形心有如下公式
S y = ∑ Ai zCi ； S z = ∑ Ai yCi
i =1 i =1
n
n
yC =
∑Ay
i =1 i
n
Ci
A
； zC =
∑Az
i =1
n
i Ci
A
材料力学
中南大学土木建筑学院
9
组合图形的静矩和形心
z Ⅰ
C1(yC1, zC1) C (yC ,zC)
I y + Iz I y − Iz 主惯性轴 Iy = + cos 2α − I yz sin 2α 的意义 1 2 2
对α求导
d Iy1 dα
即
材料力学
=−2
Iy − Iz 2
sin2 −2Iyz cos2 =−2Iy1z1 = 0 α α
主惯性轴就是使得图形的 惯性矩取极值时的坐标轴
O
记住图形对形心轴的惯性矩， 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 为形心坐标，注意其正负号。 惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。
附录 平面图形的几何性质
几何性质——只与横截面的几何形状和尺 只与横截面的几何形状和尺 几何性质 寸 有关的某些几何量， 有关的某些几何量，对杆件的应力和变形 起 着重要作用，如横截面面积A， 着重要作用，如横截面面积 ，圆轴横截面 F Fl N 拉压杆 对圆心的极惯性矩I σ= 对圆心的极惯性矩 P等。∆l = N A EA 圆轴扭转
材料力学
中南大学土木建筑学院
8
组合图形的静矩和形心有如下公式
S y = ∑ Ai zCi ； S z = ∑ Ai yCi
i =1 i =1
n
n
yC =
∑Ay
i =1 i
n
Ci
A
； zC =
∑Az
i =1
n
i Ci
A
材料力学
中南大学土木建筑学院
9
组合图形的静矩和形心
z Ⅰ
C1(yC1, zC1) C (yC ,zC)
I y + Iz I y − Iz 主惯性轴 Iy = + cos 2α − I yz sin 2α 的意义 1 2 2
对α求导
d Iy1 dα
即
材料力学
=−2
Iy − Iz 2
sin2 −2Iyz cos2 =−2Iy1z1 = 0 α α
主惯性轴就是使得图形的 惯性矩取极值时的坐标轴
附录A 平面图形的几何性质
n
同理 I y
I
， Ai
y
i 1
n
I xy
I Ai xy
i 1
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
三、惯性积的性质
y -x x
当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴
A
A
I xy
xyd A
A
y
y
2n
lim
Ai 0
i 1
xi
yi Ai
O
x
n
lim Ai 0 i 1
xi yi Ai
xi
r2 z2
yC 0 Sz 0
z dA
z dz
dA 2 r2 z2 dz
r
y
Sy
zdA
A
r
z2
2r3 r2 z2 dz
o
0
3
zC
Sy A
2r3
r2
3 2
4r
3
§A.1 形心和静矩
三、组合图形的静矩和形心
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
§A.1 形心和静矩
Ix Iy
2
4
I
2 xy
故
I I
x0 y0
Ix
2
Iy
1 2
(Ix
I
y
)2
4
I
2 xy
§A.4 转轴公式 主惯性矩
4.主惯性矩的性质
当Ix1取极值时，对应的方位为1
令 dI x1
d
(I x I y )sin 21 2I xy cos 21 0
1
得到
tg21
2I xy Ix I
材料力学平面图形的几何性质
y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
(完整版)材料力学习题册答案-附录平面图形几何性质
附录 截面图形的几何性质一、是非判断题⒈ 图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。
（ √ ）⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。
（ × ）⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。
（ √ ）⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。
（ √ ）二、填空题⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 各组成图形对同一轴静矩 的代数和。
⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 。
⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形 主惯性轴 。
⒋ 过图形的形心且 图形对其惯性积等于零 的一对轴为图形的形心主惯性轴。
三、选择题⒈ 图形对于其对称轴的（ A ）A 静矩为零，惯性矩不为零；B 静矩和惯性矩均为零C 静矩不为零，惯性矩为零；D 静矩和惯性矩均不为零⒉ 直径为d 的圆形对其形心主轴的惯性半径i =（ C ）。
A d/2B d/3C d/4D d/8 ⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴z 的惯性矩Z I =（ C ）。
A 123234dD D -π B 63234dD D -π C 126434dD D -π D 66434dD D -πz四、计算题1、求图示平面图形中阴影部分对z 轴的静矩。
232.0)2.06.0(4.0bh h h h b S Z =+⋅⋅=()8842422222bh h H B h h b h H h h H B S Z +-=⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-⋅=2、求图示平面图形对z 、y 轴的惯性矩。
4523231023.251040121040251040123010mm I I I II I Z ⨯=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+= 由于图形对称，451023.2mm I I Z Y ⨯=== 3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。
mm y C 7.5610020201401010020902010=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= 4723231021.17.46200.1012201003.33201401214020mm I I I II I Z ⨯=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+=46331076.112100201220140mm I Y ⨯=⋅+⋅=z zz。
材料力学(附录))
单位：cm
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
I
y
I
y
i
I
y1
Iy2
I
y1
1
0203 12
0.67104(cm4)
I
y
2
40153 12
1.13104 (cm4 )
x
I y I y1 I y2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
三、惯性半径：
I x ix2 A
I
y
i
2 y
A
ix和iy分别称为图形对于x轴和y轴的惯性半径。
ix
Ix A
,
iy
Iy A
圆截面：
d 4
ix
I x 64
A
d 2
d 4
4
四、组合图形的惯性矩：
y 1
2 C
3
Ix y2dA
A
y2dA
x
Ai
Ix i
Ix Ixi Iy Iyi
y 1
Cx
§I–3 惯性积
y
Ix Ix i Ix1 Ix2
x1
I
x1
20103 12
2010(4526.25) 2
7.2104(cm4)
40 10
20 y
1
C2
ax
y
x1
15
I
x
2
15403 12
1540(26.2520)
2
10.3104 (cm4 )
Ix Ix1 Ix2 (7.2 10.3)104 17.5104 (cm4 )
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
i1
i1
i1
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
例I-4-1：已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，
求其对过顶点的与底边平行的x2轴的所以不
x2
能直接使用平行移轴公式，需先求出 三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对
h xC
h/3
x1
x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴
I
A2 zc
60 1003
12
50 44.72
60 100
404 64
50 44.7
202
202
4.24106 mm4
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-5 转轴公式 主惯性轴*
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y
x1 y1
x cos y sin x sin y cos
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
y
1．先求截面的 形心轴
A2
取参考坐标系如图，则：
A1
zc
yc
60100 50 60 100
202 202
70
44.7mm
yc z 2．求截面对形心轴的惯性矩：
I yc
Iy
100 603 12
404 64
1.67 106 mm4
I zc
I A1 zc
12
64 4
d
y
yC
x1
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
I xCyC0
2d
O
xC yC轴便是形心主轴
x xC
I xC、I yC便是形心主惯性矩
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第四章 平面图形的几何性质
为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有 一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截 面的几何形状有关。
第四章 平面图形的几何性质
课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形
状不同,承载能力差异很大。
第四章 平面图形的几何性质
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
图形对平行于形心轴的y、z轴的惯性矩和惯性积为：
Iz
y2dA
A
z zc b
I yz
yzdA
A
y yc a
I y
z 2dA
A
Iz
y2dA
A
A ( yc a)2 dA
y
yc
A yc2dA 2a aycdA a2
bh2 2
Sy
zc
A
hb2 2
y
c
h
b
z
例 试确定下图的形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200 , z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z1
Z（矩形的对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴的惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
(1) y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；
y -z z dA dA
(2) 惯性积为零的一对坐标轴称为 惯性主轴；
0
z
(3) 通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；
1.5d (2d )3 3d 2 (0.177 d )2 [d 4 d 2 (0.5d 0.177 d )2 ] 0.685 d 4
12
64 4
24
I yc
I 矩y c
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513 d 4
Y（对称轴）
d yc O
A
Z（矩形的对称轴）
zc
yc
yi Ai A
d ( d 2 )
2
4
3d 2 d 2
0.177d
4
、建立形心坐标系；求：Iyc ， Izc 。
I zc I矩zc I圆zc I矩z A矩 y2 [I圆z1 A圆 (0.5d y)2 ]
dA
A
yc
Iz Izc a2A
y a
dA
A
c
zc
Iy I yc b2A
I yz I ycZc abA
注意：
0
b
zc
z
z
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关 系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;
（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对形心轴的惯性矩最小.
I z
y 2dA
A I y z Fra bibliotek dAA
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩的取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
求：Iy和Iz
解：
h
I z
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
Iz
bh3 12
b
I y
z2dA
A
2 b
z 2hdz
已知：T形截面。 求： Izc
y 20
140
yc1 yc
c1
Ⅱ c zc
c2 100
z 20
例 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心轴的惯性矩。（b=1.5d)
Y（对称轴）
解 ： 、建立坐标系如图。 、求形心位置。
d yc O
b
2d
z1
zc
zi Ai 0 0
A
sy zc A
表明：平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标。
几点讨论：
y
z
dA
y o
y
b
dy
h
y
A、静矩的值可以是正值、负值、或零。
z
Sz
ydA
A
ah ybdy by2
a
2
ah
a
bh(a
h) 2
Ayc
Sy
A
zdA
b 0
zhdz hz2 2
2
Iy
hb3 12
y
dy
y
c
z
b
2 惯性半径
iz
Iz A
iy
Iy A
3 极惯性矩
I p
2dA
A
y
dA A
y
ρ
0
z
z
圆和空心圆的极惯性矩计算:
1圆
I P
2dA
A
D 2
2
2d
D4
0
32
2 空心圆
IP
2dA
A
D
2 d
2
2
2d
8
3 组合图形的静矩和形心
常见的一些组合图形
组合图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。
sz yci Ai s y zci Ai
yc
Sz A
yci Ai Ai
zc
Sy A
zci Ai Ai
已知：矩形截面b×h
求： sz和 sy
解：
Sz
yc A
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
b
bh b 2
Azc
0
h
h
ZC
2
Szc
ydA
A
ybdy
h
2
by2 2 2 h
2
0
a
z
dz
z
B、静矩的几个规律：
⑴ 图形对形心轴的静矩为零，反之图形对某轴的静 矩为零，则此轴一定过图形的形心。
⑵ 图形对对称轴的静矩一定为零。
y dA dA
-z z A1
A2
z
C、形心确定的规律： （1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。 （2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。
§4.4 平行移轴公式
平行移轴公式是指图形对于互相平行轴 的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知 图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图 形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。
§4.4 平行移轴公式
图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：
I zc
A
y
2 c
d
A
I yc
A
z
2 c
dA
I yc zc A yc zc dA
研究平面图形几何性质的方法 : 化特殊为一般 实际杆件的横截面
第四章 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质包括: 形心、静矩、惯性矩、惯性半径 、极惯性矩、惯
性积、主惯性轴、主惯性矩等
第四章 平面图形的几何性质
§4-1 概述 §4-2 静矩和形心 §4-3 惯性矩和惯性积 §4-4 平行移轴公式
D4
32
(1
4)
d
D
dA
D ρ dρ 0
dA
dρ ρ 0
d D
4 惯性矩与极惯性积的关系
I p
2dA
A
( y2 z2 )dA
A
y2dA
A
A z 2dA I z I y
5 组合图形的惯性矩
I z I zi
I y I yi
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.
求：Iy和Iz。
y
解： 1 实心圆
d
Dc
z
I p A 2dA I y I z 2I y 2I z
Iy
Iz
D 4
64
2 空心圆
Iy
Iz
D 4 (1 4 )
64
6 惯性积
微元对 x, y 轴的惯性积为
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 概述
§4.2 静矩和形心 1 静矩
y
sz
ydA
A
为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有 一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截 面的几何形状有关。
第四章 平面图形的几何性质
课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形
状不同,承载能力差异很大。
第四章 平面图形的几何性质
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
图形对平行于形心轴的y、z轴的惯性矩和惯性积为：
Iz
y2dA
A
z zc b
I yz
yzdA
A
y yc a
I y
z 2dA
A
Iz
y2dA
A
A ( yc a)2 dA
y
yc
A yc2dA 2a aycdA a2
bh2 2
Sy
zc
A
hb2 2
y
c
h
b
z
例 试确定下图的形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200 , z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z1
Z（矩形的对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴的惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
(1) y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；
y -z z dA dA
(2) 惯性积为零的一对坐标轴称为 惯性主轴；
0
z
(3) 通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；
1.5d (2d )3 3d 2 (0.177 d )2 [d 4 d 2 (0.5d 0.177 d )2 ] 0.685 d 4
12
64 4
24
I yc
I 矩y c
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513 d 4
Y（对称轴）
d yc O
A
Z（矩形的对称轴）
zc
yc
yi Ai A
d ( d 2 )
2
4
3d 2 d 2
0.177d
4
、建立形心坐标系；求：Iyc ， Izc 。
I zc I矩zc I圆zc I矩z A矩 y2 [I圆z1 A圆 (0.5d y)2 ]
dA
A
yc
Iz Izc a2A
y a
dA
A
c
zc
Iy I yc b2A
I yz I ycZc abA
注意：
0
b
zc
z
z
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关 系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;
（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对形心轴的惯性矩最小.
I z
y 2dA
A I y z Fra bibliotek dAA
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩的取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
求：Iy和Iz
解：
h
I z
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
Iz
bh3 12
b
I y
z2dA
A
2 b
z 2hdz
已知：T形截面。 求： Izc
y 20
140
yc1 yc
c1
Ⅱ c zc
c2 100
z 20
例 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心轴的惯性矩。（b=1.5d)
Y（对称轴）
解 ： 、建立坐标系如图。 、求形心位置。
d yc O
b
2d
z1
zc
zi Ai 0 0
A
sy zc A
表明：平面图形对某一轴的静矩等于图形面积乘以相应的形心坐标。
几点讨论：
y
z
dA
y o
y
b
dy
h
y
A、静矩的值可以是正值、负值、或零。
z
Sz
ydA
A
ah ybdy by2
a
2
ah
a
bh(a
h) 2
Ayc
Sy
A
zdA
b 0
zhdz hz2 2
2
Iy
hb3 12
y
dy
y
c
z
b
2 惯性半径
iz
Iz A
iy
Iy A
3 极惯性矩
I p
2dA
A
y
dA A
y
ρ
0
z
z
圆和空心圆的极惯性矩计算:
1圆
I P
2dA
A
D 2
2
2d
D4
0
32
2 空心圆
IP
2dA
A
D
2 d
2
2
2d
8
3 组合图形的静矩和形心
常见的一些组合图形
组合图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。
sz yci Ai s y zci Ai
yc
Sz A
yci Ai Ai
zc
Sy A
zci Ai Ai
已知：矩形截面b×h
求： sz和 sy
解：
Sz
yc A
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
b
bh b 2
Azc
0
h
h
ZC
2
Szc
ydA
A
ybdy
h
2
by2 2 2 h
2
0
a
z
dz
z
B、静矩的几个规律：
⑴ 图形对形心轴的静矩为零，反之图形对某轴的静 矩为零，则此轴一定过图形的形心。
⑵ 图形对对称轴的静矩一定为零。
y dA dA
-z z A1
A2
z
C、形心确定的规律： （1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。 （2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。
§4.4 平行移轴公式
平行移轴公式是指图形对于互相平行轴 的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知 图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图 形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。
§4.4 平行移轴公式
图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：
I zc
A
y
2 c
d
A
I yc
A
z
2 c
dA
I yc zc A yc zc dA
研究平面图形几何性质的方法 : 化特殊为一般 实际杆件的横截面
第四章 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质包括: 形心、静矩、惯性矩、惯性半径 、极惯性矩、惯
性积、主惯性轴、主惯性矩等
第四章 平面图形的几何性质
§4-1 概述 §4-2 静矩和形心 §4-3 惯性矩和惯性积 §4-4 平行移轴公式
D4
32
(1
4)
d
D
dA
D ρ dρ 0
dA
dρ ρ 0
d D
4 惯性矩与极惯性积的关系
I p
2dA
A
( y2 z2 )dA
A
y2dA
A
A z 2dA I z I y
5 组合图形的惯性矩
I z I zi
I y I yi
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.
求：Iy和Iz。
y
解： 1 实心圆
d
Dc
z
I p A 2dA I y I z 2I y 2I z
Iy
Iz
D 4
64
2 空心圆
Iy
Iz
D 4 (1 4 )
64
6 惯性积
微元对 x, y 轴的惯性积为
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 概述
§4.2 静矩和形心 1 静矩
y
sz
ydA
A