3.3.2简单的线性规划问题
第1课时线性规划的有关概念及图解法
学习目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等
基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
引例已知x，y满足条件x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0.①
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y②的最大值.
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.
知识点一线性约束条件及目标函数
1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y
的一次不等式，故又称线性约束条件.
2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x，y的一次解析式，
这样的目标函数称为线性目标函数.
知识点二线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
知识点三可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标
函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分
叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可
行解称为最优解.
1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√)
2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)
3.不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(×)
类型一最优解问题
命题角度1问题存在唯一最优解
例1已知x，y满足约束条件x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0，
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y的最大值.
考点线性目标最优解
题点求线性目标函数的最值
解设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，
则y＝－23x＋z3，
这是斜率为－23，在y轴上的截距为z3的直线，如图.
由图可以看出，
第二章 线性规划的基本性质
在生产、经济、技术领域，许多工程技术和管理问题实际上是线性的，或者是可以用线性函数近似表达的，所以线性规划的研究是很有意义的。而且对线性规划的理论的研究要比非线性规划领域成熟的多。掌握线性规划的基本理论和求解方法是本课程最重要的目标之一。
§2.1 线性规划解的几何特征
借助于平面图形可以直观地了解线性规划解的几何特征，具体介绍一个实例。
设有两个决策变量x1和x2的线性规划：
min - 2 x1 - x2
s.t. -3 x1 -4 x2 ≥-12 （2.1）
- x1 + 2 x2 ≥ -2
x1,x2, ≥ 0
首先在x1Ox2平面上画出（2.1）的可行域：
12121212{(,)|-3 -4 -12,- + 2 -2, , 0}TKxxxxxxxx
为此，只要画出K的边界：
-3 x1 -4 x2 ≥-12
- x1 + 2 x2 ≥ -2
x1 = 0,x2 = 0
该可行域如图2.1所示，它是一个由四条直线组成的凸多边形。任何一个含两个变量的线性规划的可行域都是以直线为边的凸多边形。
观察目标函数：
f(x) = - 2 x1 - x2
对于任一给定的实数a，方程 - 2 x1 - x2 =a 表示一条直线，称为f的等值线。变动a可以得到一族相互平行的直线。把f的等值线向函数值a减小的方向移动，它与凸多边形K的最后一个交点即为的最优解。最优解是凸多边形的一个顶点。 设目标函数f(x) = c1 x1 +c2 x2它是x1和x2的函数，它的斜率是12cc，它在任意一点的梯度：
1 第二章 线性规划的基本概念
2.1 线性规划问题及其数学模型
2.1.1 问题提出
例2.1.1：某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量及所占设备时间见表2.1。该厂每周所能得到的维生素量为160kg，每周设备最多能开15个台班。且根据市场需求，甲种产品每周产量不应超过4t。已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润分别为5万元和2万元。问该厂应如何安排两种产品的产量才能使每周获得的利润最大？
每吨产品的消耗
每周资源总量
甲 乙
维生素/kg 30 20 160
设备/台班 5 1 15
例2.1.2 某加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2.9m，2.1m，1.5m的圆钢各一根。已知原料长为7.4m，问应如何下料，可使所用材料最省？
2 这一类问题的共同特征：
1. 每一个问题都有一组决策变量(nxxx,,,21)表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个 具体的方案。一般这些变量取值是非负的。
2. 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组约束等式或约束不等式来表示
3. 都有一个要达到的目标，它可以用决策变量的线性函数(目标函数)来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大值或最小值
线性规划(LP)：将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题称为线性规划.
线性规划数学模型的一般形式：
0,,,.minmax21221122222121112121112211nmnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcZ 3 2.2 两个变量问题的图解法
例2.1.1
2125maxxxZ
0,041551602030.2112121xxxxxxxts
概念：
可行域：满足约束条件和非负条件的区域
可行解：满足约束条件和非负条件的解
线性规划的定义及解题方法
线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义
线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：
$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$
其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。例如：
$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$
$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$
这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立
在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：
1. 决策变量：它是模型求解的关键。决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
