3.6：线性规划
目录：
（1）线性规划的基本概念
（2）线性规划在实际问题中的应用
【知识点1：线性规划的基本概念】
(1)如果对于变量x 、y 的约束条件，都是关于x 、y 的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做__目标函数_，当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时，(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__ ；满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__
例题：若变量x 、y 满足约束条件2
10x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则z x y =+的最大值和最小值分别为
( B )
A. 4和3
B. 4和2
C. 3和2
D. 2和0
分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法.
解：画出可行域如图
作020l x y +=：
所以当直线2z x y =+过()20A ，
时z 最大，过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z ==
变式1：已知2z x y =+，式子中变量x 、y 满足条件11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则z 的最大值是__3___
解：不等式组表示的平面区域如图所示.
作直线0:20l x y +=，平移直线0l ，当直线0l 经过
平面区域的点()21A -，时，z 取最大值2213⨯-=.
变式2：设2z x y =+，式中变量x 、y 满足条件43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值
分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性
规划问题，使用图解法求解
解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．
把2z x y =+变形为2y x z =-+，得到斜率为-2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．
解方程组430
35250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得A 点坐标为()5,2，
解方程组1
430x x y =⎧⎨-+=⎩
，得B 点坐标为()1,1
所以max min 25212,211 3.z z =⨯+==⨯+=
变式3：若变量x 、y 满足约束条件6
321x y x y x +≤⎧⎪
-≤-⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小值为( C )
A. 17
B. 14
C. 5
D. 3
解:作出可行域(如图阴影部分所示)．
作出直线:230l x y +=.
平移直线l 到l ′的位置，使直线l 通过可行域中的A 点(如图) 这时直线在y 轴上的截距最小，z 取得最小值． 解方程组132x x y =⎧⎨-=-⎩，得最优解1
1x y =⎧⎨=⎩，
min 21315z ∴=⨯+⨯=
【知识点2:线性规划在实际问题中的应用】
例题：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
解：设A 、B 两种金属板分别取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为 3645
565500
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩ 目标函数为23z x y =+.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示：
23z x y =+变为233z y x =-+，得斜率为23-，在y 轴上截距为3
z
且随z 变化的一组平行
直线．
当直线23z x y =+过可行域上点M 时，截距最小，z 最小． 解方程组 ，得M 点的坐标为(5,5)．
此时()
2min 253525z m =⨯+⨯=．
答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省．
变式1：4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( A ) A ．2个茶杯贵 B ．3包茶叶贵 C ．相同 D ．无法确定 解：设茶杯每个x 元，茶叶每包y 元，则
45226324,x y x y x y N +<⎧⎪
+>⎨⎪∈⎩
2U x y =-取值的符号判断如下
由2.033U y x U =
-=当时，过点()32A ，
，往下平移．经过可行域内的点03
U
-< ∴0U >，即23x y >.往上平移不经过可行域内的点． ∴选A.
变式2 已知x 、y 满足20
40250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，求：
(1)221025z x y y =+-+的最小值； (2)1
1
y z x +=
+的取值范围. 分析：(1)将z 化为()2
25z x y =+-，问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题； (2)将式子化为(1)
(1)
y z x --=--或1(1)y z x +=+，问题转化为求可行域中的点与定点的连线的
斜率的最值问题
