2008年绵阳南山中学招生统一考试

2023年2月绵阳南山中学高2020级高三下期入学考试数学试题(理工类)（时间：120分钟分数：150分）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共5页．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并把对应的准考证号用2B 铅笔涂黑．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足43ii iz +-=，则z =（）A ．33i-B ．33i+C ．33i-+D ．33i--2．某游泳馆统计了10天内某小区居民每日到该游泳馆锻炼的人数，整理数据，得到如下所示的折线图.则根据此折线图，下面结论正确的是（）A ．这10天内，每日游泳人数的极差大于106B ．这10天内，每日游泳人数的平均值大于135C ．这10天内，每日游泳人数的中位数大于145D ．前5天每日游泳人数的方差小于后5天每日游泳人数的方差3．已知集合{}{}2230,3,A x x x B x x x N =--≤=≤∈，则A B = （）A ．[1,3)-B ．{1,0,1,2,3}-C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3}4．中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为（）（单位：厘米）A ．9B ．10C ．11D ．125．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos 2=α（）A ．13B ．3C ．13-D ．3-6．函数()3cos cos f x x x =-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（）A ．350B ．295C ．285D ．2308．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()23f -=-，则()()()202220232024f f f ++=（）A ．2-B ．0C ．2D ．39．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π8个长度单位，得函数()g x 图象，则以下结论中正确的是（）A ．()g x 的最小正周期为π2B ．()g x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 的图象关于直线3π16x =对称D ．()g x 在区间3ππ,88⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增10．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A ．288B ．336C ．368D ．41211．如图所示，点F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点，A ，C 是椭圆上关于原点O 对称的两点，直线AF 与椭圆的另一个交点为B ，若,2AF FC AF BF ⊥=，则椭圆M 的离心率为（）A 1B ．12C D 12．已知ln1.5a =，13b =，cos1.25c =，则大小关系正确的为（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,2a =r ，()1,1b = ，若c a kb =+ ，且b c ⊥ ，则实数k =_______.14．已知1F ，2F 是双曲线C ：2213xy -=的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点M ，则12MF F △的面积为______．15．从正四面体的顶点及其棱的中点共10个点中，任取3个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为____________．16．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PB PC =，90PAB ∠=︒，ABC 是边长为等边三角形，PBC 的面积为O 的体积为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共36分）22．函数中自变量x 的取值范围是（ ）=4．如图，设P 是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′，过P 作PA ∥y 轴，过P ′作P ′A ∥x 轴，PA 与P ′A 交于点A ，则△PAP ′的面积是（ ）5．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误（ ）7．若M （）、N （，y 2）、P（，y 3）三点都在函数的图象上，则（ ）8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小10．如图，边长为1的正方形ABCD 绕着点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）﹣﹣11．已知二次函数y=ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc ＞0；②b ﹣a ＞c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）； 其中正确的结论有（ ）面积y 与点P经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）二、填空题（每小题4分，共24分）13．实数范围内分解因式：x 3﹣5x 2﹣6x= _________ ． 14．（2008•聊城）已知关于x 的不等式组的整数解共有6个，则a 的取值范围是 _________ ．15．如图将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转90°到△A ′B ′C 的位置，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′的中点，已知AC=12cm ，BC=5cm ，则线段DD ′的长为 _________ cm ．16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC 于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有_________（填序号）17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为_________．18．（2005•连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．三、解答题19．（1）计算；（2）先化简，再求值，其中．20．（2010•安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．（1）利用树状图或列表法写出所有选购方案；（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？（3）各种型号打印机的价格如下表：21．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D 不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？22．如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的解析式；（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．23．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．求证：（1）ED∥BC；（2）．24．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？25．如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．（1）求D点坐标．（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）22．函数中自变量x的取值范围是（）2=，4．如图，设P是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′，过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是（）×5．（2007•枣庄）一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这6．（2006•成都）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）7．若M（）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图象上，则（）＜﹣，8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（），9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小10．（2006•潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）﹣﹣=，﹣11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；其中正确的结论有（）﹣﹣）12．（2007•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）时，最小是；由二、填空题（每小题4分，共24分）13．实数范围内分解因式：x3﹣5x2﹣6x=x（x﹣6）（x+1）．14．（2008•聊城）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是﹣5≤a＜﹣4．15．如图将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，已知AC=12cm，BC=5cm，则线段DD′的长为cm．AB==13AB=13=，CD=故答案为：16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC 于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有①②③（填序号）=AP=BC17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为﹣1．==，=，==，=，++1=m+118．（2005•连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为79．三、解答题19．（1）计算；（2）先化简，再求值，其中．﹣（×+1+2…÷•，时，原式20．（2010•安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．（1）利用树状图或列表法写出所有选购方案；（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？型号的打印机被选购的概率为，解得21．（2007•南京）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？y=•xx﹣+有最大值，最大值为．22．如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的解析式；（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．y=k=，故可设直线y=，，y=y=x+5x+n（﹣n∴（﹣n=y=，为矩形，此时，23．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．求证：（1）ED∥BC；（2）．24．（2007•贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？x=25．（2003•陕西）如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．（1）求D点坐标．（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．OA=AD=2，OD==（﹣，∴抛物线为．AP=2 AM=4，5，的解析式为∵抛物线的顶点坐标为（x=y=∴点（）在直线。

艺术精品是这样炼成的――电影《唐山大地震》启示录“电影拍得确实好。

”“好久没这样感动过了。

”“这是一部集思想性、艺术性、观赏性于一体的精品。

”……电影《唐山大地震》7月22日公映以来，好评如潮，截至7月31日凌晨，全国总票房超过3亿元，创国产影片同期票房新高。

一部表现34年前那场举世震惊灾难的电影，何以赢得广大观众的心？这部影片的成功对我省文化精品生产有何启示？彰显本土文化，叙事小角度切入“唐山一直想拍一部反映1976年大地震的片子。

”作为影片《唐山大地震》出品人，唐山市委常委、宣传部长郭彦洪表示，唐山的历史上，可圈可点的文化资源很多，但那场大地震既是这座城市永远抹不掉的记忆，也是具有世界关注度的大事件，“灾难是人类共同的敌人，影片选材除了体现本土元素，还要能引发最广泛的社会公众关注与情感共鸣。

”据介绍，基于对独有文化素材的执着，唐山市曾组织创作、投资拍摄了《但愿人长久》等多部反映唐山大地震的文学、影视作品。

“但我们觉得，对唐山大地震这一题材的挖掘还可以再深入。

”影片唐山方面制片人姚建国告诉记者，深入挖掘就意味着要创作“一部立得住的文化精品，至少国内要有50%以上的知晓率”。

“电影主题是要告慰罹难同胞，弘扬唐山精神。

”为此，2008年3月，唐山市有关部门找到国家广电总局为电影筹备与拍摄立项。

“以唐山大地震为创作题材的文学、影视作品并不少见，可多为宏大叙事，描述重点在抗震救灾。

”被确定执导《唐山大地震》后，导演冯小刚坚持将影片故事的切入角度缩小，再缩小。

于是，以表现一个普通家庭震后32年命运纠葛、情感救赎的小说《余震》成为影片剧本的蓝本。

影片中，主人公李元妮一家人长达32年的生活历程，是以一双儿女的高考、恋爱、退学、南下打工等一系列事件来呈现的，但在以唐山为主要载体展现中国社会巨变的同时，影片始终关注并表现的是地震及灾后个体的生活和心灵轨迹。

“任何宏大的命题，只有通过对个体经验的表现，才能让观众感同身受，引发共鸣。

(化学)绵阳南山中学自主招生考试模拟试题(题卷)绵阳南山中学自主招生考试模拟试题（化学）一、选择题（每题3分共27分）1、下列有关物质的性质、用途等说法正确的是（）①干冰用于人工降雨；②石墨可作电极；③氧气可用作燃料；④氢氧化钙能改良酸性土壤；⑤KNO3属于复合肥料；⑥生活中可用氢氧化钠来除去炉具上的油污，也可治疗胃酸过多。

A. ①②③④⑤⑥B. ①②③④C. ①②④⑤D. ①③④⑥2、向CuSO4溶液中加入一定质量的铝粉，完全反应后过滤，得滤渣和蓝色滤液。

下列说法正确的是( )A．向滤渣中滴加稀盐酸，无气泡产生B．滤渣中一定有Cu，可能有AlC．滤液中只有Al2(SO4)3D．滤液中只有CuSO43、过下列实验操作和现象能得出相应结论的是( )实验操作现象结论A 向收集满CO2的软塑料瓶中加入约1/3体积的NaCl溶液，旋紧瓶盖，振荡塑料瓶变瘪CO2能与NaCl反应B 50℃时，将17gKCl固体加入50g蒸馏水中，完全溶解后缓慢降温降温至20℃时开始有晶体析出20℃时，KCl的溶解度为17gC 将白磷浸没在热水中，再向热水中的白磷通氧气通氧气前白磷不燃烧，通氧气后白磷燃烧氧气是燃烧需要的条件之一D 点燃从导管放出的某气体，在火焰上方罩一个冷而干燥的烧杯烧杯内壁有无色液滴产生该气体是CH42（浓）MnCl2＋Cl2↑＋2H2O下列说法正确的是( )A．反应前后锰元素的化合价不变B．可以用向上排空气法收集Cl2C．用浓盐酸配制稀盐酸时，必须用托盘天平、量筒、烧杯和玻璃棒D．该反应是复分解反应5、以下化学原理在生活生产中的实际应用，你认为有明显错误的是（）A．用胃舒平[主要成分是Al（OH）3]治疗胃酸过多2Al（OH）3+3H2SO4=Al2（SO4）3+6H2OB．处理硫酸厂排出的污水Ca（OH）2+H2SO4=CaSO4+2H2OC．处理炼铜厂用黄铜矿（CuFeS2）；辉铜矿（Cu2S）炼铜排出的废气SO2+2NaOH=Na2SO3+H2OD．新使用的铝制品，浸水部分变黑2Al+Fe2（SO4）3=Al2（SO4）3+2Fe6、为了测定液化气中丙烷(C3H8)在氧气不足时的燃烧产物，将一定量的丙烷和氧气置于一个封闭的容器中引燃，测得反应前后各物质的质量如下表：物质丙烷氧气水二氧化碳X反应前质量／g 4.4 12.8 0 0反应后质量／g 0 0 7.2 4.4 a下列判断正确的是（）A．表中a的值为5.6B．X可能是该反应的催化剂C．X可能含有氢元素D．X只含碳元素7、如图是甲、乙、丙三种物质（均不含结晶水）的溶解度曲线．现有t2℃时甲、乙、丙三种物质的饱和溶液（无固体存在）,下列说法正确的是（）A．将原饱和溶液温度由t2℃降到t1℃时，所得三种溶液一定都是饱和溶液B．将原饱和溶液分别蒸发等量水后恢复至t2℃时，析出溶质的质量丙＞乙＞甲③厨房中的下列物品中，所使用的主要材料属于天然纤维的是（填字母序号）；A．塑料保鲜膜 B．橡胶手套 C．棉布围裙④我们常用洗涤剂清洗餐具上的油污，这是因为洗涤剂具有的功能；⑤厨房中能用来除去水壶中水垢的物质是（填“食醋”或“食盐水”）。

四川省绵阳南山中学试验校区自主招生考试本题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）构成满分：80分时间：90分钟也许用到旳相对原子质量：H-1 O-16 N-14 C-12 Zn-65第一卷(选择题，共32分)一、选择题（每题只有一种对旳答案，每题2分，共32分。

）1、伴随社会经济旳迅猛发展，能源危机日趋凸显，乙醇汽油（汽油中加入一定比例旳乙醇）旳使用可以缓和石油危机。

从甜菜或甘蔗中提取旳蔗糖可以通过发酵产生乙醇。

下列过程中没有发生化学变化旳是（）A.甜菜旳生长B.汽油中加入乙醇C.乙醇旳燃烧D.蔗糖旳发酵2、下列各组物质中，属于纯净物旳是（）A.食醋、白酒B.可乐、雪碧C.碘盐、白糖D.纯碱、氧气3、下列物质在实际应用中，既运用了物质旳物理性质又运用了物质旳化学性质旳是（）A.氢气作为人类理想旳燃料B.氧气用于危重病人旳急救C.二氧化碳用于灭火D.熟石灰用于砌砖抹墙4、某同学从资料上获悉，某些紫色旳花瓣浸出液具有类似石蕊旳性质。

假如他想懂得紫色旳喇叭花与否具有这种性质，他应把花瓣浸出液分别滴入下列哪组物质中进行观测（）A.食醋、肥皂水B.食醋、酸奶C.食盐水、食醋D.糖水、肥皂水5、化学与人们旳生活紧密相连。

用所学化学知识判断，下列做法或说法错误旳是（）A.天然气、瓦斯等气体和面粉、煤粉等固体粉尘都轻易发生爆炸。

B.对人体所必须旳元素，要尽量通过食物摄入，摄入局限性或过量均不利于健康。

C.小强同学总是将自己旳自行车擦得很洁净，并将链条、钢圈等构件抹上油。

D.运用洗涤剂旳乳化功能，可将白衬衫上旳蓝墨水渍迅速洗掉。

6、现代生活、工业、农业、国防都离不开合成材料。

下列有关合成材料说法错误旳是（）A.塑料是高分子合成材料B.棉花、锦纶、涤纶都是合成材料C.焚烧聚氯乙烯塑料会导致环境污染D.使用过旳废弃塑料、废弃橡胶应回收运用7、下列方程式书写对旳旳是（ ）A. 4Fe + 3O 2 点燃 2Fe 2 O 3B. H 2O 2 MnO 2 H 2O + O 2↑C. 4KMnO 4 △ 2KMnO 4+2MnO 2+2O 2↑D. C + O 2 点燃 CO 28、“拒绝毒品，人人有责”，这更是青少年旳责任。

四川省绵阳南山中学2008-2009学年高2009届3月考试数学试题 (理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合2{,0},{30,}M a N x x x x Z ==-<∈，若M N φ⋂≠，则a 等于 （ ）A ． 1 B. 2 C. 1或2 D 82．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2x y =，值域为{}4,1的“同族函数”共有 （ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个3．数列{}n a 中，32a =，71a =，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a 等于 ( ) A ．25-B ．12C ．23D ．5 4．把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量)0(),(>-=m m m a 的方向平移后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 （ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 5、Ｏ是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满点[),,0+∞∈++=λλ，则Ｐ点的轨迹一定通过ABC ∆的A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 （ ）6．过点)0,4(-作直线l 与圆0204222=--++y x y x 交于A 、B 两点，如果8||=AB ，则（ ）A ．l 的方程为04020125=+=++x y x 或;B ．l 的方程为04020125=+=+-x y x 或;C ．l 的方程为020125=++y x ;D ．l 的方程为020125=+-y x ;7．F 1、F 2是双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为 （ ）A ．1B ．17C ．1或17D ．68．已知复数1z =a+i ，z 2=1+a 2 i ，若12z z 是实数，则实数a 的值等于 （ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．29．如图正六边形ABCDEF 中，AC ∥y 轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能确定一条形如y=ax 2+bx+c (a≠0)的抛物线的概率是 （ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．5410．条件中能使命题“a//b 且b//c ⇒a//c ”为真命题的条件的个数是 （ ）① a ，b ，c 都表示直线； ② a ，b ，c 中有两个表示直线，另一个表示平面； ③ a ，b ，c 都表示平面； ④ a ，b ，c 中有两个表示平面，另一个表示直线； A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数 ()y f x =的部分图像，则()f x 可能是 （ ）A ．sin x xB ．cos x xC ．2cos x xD ．2sin x x12．一机器猫每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器猫以前进3步，然后再后退2步的规律移动。

2008年绵阳东辰国际学校高一新生入学考试数 学 试 卷（满分150分；时间120分钟）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．5-的相反数是（ ） A ．5B ．5-C ．15D ．15-2．如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）3．2008北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91000个，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．50.9110⨯B ．49.110⨯C ．39110⨯D ．39.110⨯4．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A ．0a >B ．0b <C ．a b >D ．a b <5．下列计算正确的是（ ） A ．246x x x +=B ．235x y xy +=C ．326()x x =D ．632x x x ÷=6．下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ）A ．了解某班学生“50米跑”的成绩B ．了解一批灯泡的使用寿命C ．了解一批炮弹的杀伤半径D ．了解一批袋装食品是否含有防腐剂7．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 8．一次函数21y x =-的图象大致是（ ）9．如图，已知直线AB CD，相交于点O，OA平分EOC∠，100EOC∠= ，则BOD∠的度数是（）A．20 B．40 C．50 D．8010．已知抛物线21y xx=--与x轴的一个交点为(0)m，，则代数式22008m m-+的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．200911．如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个B．3个 C．4个 D．5 个12．在平面直角坐标系中，已知点A（4-，0），B（2，0），若点C在一次函数221+-=xy的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．因式分解：244x x++=．14．如图，AB是⊙的弦，OC AB⊥于点C，若8cmAB=，3cmOC=，则⊙O的半径为 cm．2yx=xyOP1P2P3P41 2 3 4BEDACO（第14题）15．在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．16．如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．17．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________．18．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD=BE； ② PQ ∥AE ；③ AP=BQ；④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）． 三、解答题（满分90分） 19．（每小题8分，满分16分）（1）计算：01(π4)sin 302--- ； （2）化简：aa a a a 21)242(22+⋅---． 20．(每小题6分，满分12分）（1）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，M 是AD 的中点，求证：MB MC =．ABC EDOP Q（2）如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点B 的坐标为（4，2）． ①画出OAB △向下平移3个单位后的111O A B △；②画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后的22OA B △，并求点A 旋转到点2A 所经过的路线长（结果保留π）．21．（本题满分12分）某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A B C D ，，，四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90分~100分；B 级：75分~89分；C 级：60分~74分；D 级：60分以下） （1）求出D 级学生的人数占全班总人数的百分比； （2）求出扇形统计图中C 级所在的扇形圆心角的度数； （3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A 级和B 级的学生共有多少人？ 22．(本题满分12分）如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ，使得45ACD ∠=． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB =BC 的长．23．（本题满分12分）今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班信息一：这三个班的捐款总金额是7700元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元． 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数． 24．（本题满分12分）如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？25．（本题满分14分）如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．（第24题）（第25题）2008年绵阳东辰国际学校高一新生入学考试数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1． A 2．C 3．B 4． D 5． C 6． A 7． B 8．B 9．C 10．D 11．D 12．D二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13． (x+2)2 14． 5 15．2/516．3/2 17． 3＜r ≤4或r ＝2.4 18． ①②③⑤． 三、解答题（满分90分） 19．（每小题8分，满分16分） （1）解：原式=2211321-=-+-（2）解：原式=aa a a a a a a a a 1)2(12)2)(2(212422=+⋅--+=+⋅--20．(每小题6分，满分12分） （1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以AB=DC ，∠A=∠D ．因为M 为AD 的中点，所以AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DM AM D A DCAB ，所以△ABM ≌△DCM(SAS)，所以AM=MC ．（2）解：(1)图略;(2)图略．点A 旋转到点A 2所经过的路线长=ππ2418090=⨯ 21．（本题满分12分） 解：(1)4%；(2)72；(3)B(4)依题意,知：A 级和B 级学生的人数和占全班总人数的76%，所以500×76%=380，所以估计这次考试中A 级和B 级的学会上共有380人．22．(本题满分12分）(1)证法一：连接OD ，因为∠DAB=22.50，∠DOC=2∠DAB ，所以∠DOC=450，又因为∠ACD=450，所以∠ODC=1800－∠ACD －∠DOC=900，即OD ⊥CD,所以CD 为⊙O 的切线；证法二：连接OD ，因为∠DAB=22.50，∠ACD=450，所以∠ADC=1800－∠DAB －∠ACD=112.50，又OA=OD ，所以∠ADO=∠DAB=22.50，所以∠ODC=∠ADC －∠ADO=900，即OD ⊥CD,所以CD 为⊙O 的切线； (2)由(1)可得△ODC 是等腰直角三角形,因为AB=22,AB 是直径,所以OD=OB=2,所以OC=2OD=2,所以BC=OC －OB=2－2． 23．（本题满分12分）解：(1)设(2)班的捐款金额为x 元,(3)班的捐款金额为y 元,则有⎩⎨⎧=--=+30020007700y x y x ,解之,得⎩⎨⎧==27003000y x ．答：略； (2)设(1)班的学生人数为x 人,则根据题意,得⎩⎨⎧〉〈200051200048x x ，所以3241511139〈〈x ，因为x 是正整数，所以x=40或41.答：略． 24．（本题满分12分）解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ25．（本题满分14分） 解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)在Rt △EBF 中,∠B=900，所以EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),其中n ＞0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a ≠0) ．①如图1,当EF=PF 时,EF 2=PF 2,所以12+(n-2)2=5,解得n 1=0(舍去),n 2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2． ②如图2,当EP=FP 时,EP 2=FP 2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=－25(舍去) ． ③当EF=EP 时,EP=5＜3,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2． (3)存在点M 、N,使得四边形MNFE 的周长最小．如图3,作点E 关于x 轴的对称点E /,作点F 关于y 轴的对称点F /,连接E /F /,分别与x 轴、y 轴交于点M 、N,则点M 、N 就是所求.所以E /(3,-1)、F /(-1,2),NF=NF /,ME=ME /,所以BF /=4,BE /=3,所以FN+NM+ME=F /N+NM+ME /=F /E /=2243+=5.又因为EF=5,所以FN+MN+ME+EF=5+5,此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.。

四川省绵阳南山中学2009年自主招生考试数 学 试 卷第I 卷一、选择题（本题有12个小题，1－9每小题4分，10－12每小题5分，共51分）1、64的立方根是（ ）.A ．4B ．4± C ．2 D ．2±2、下列等式中，对任意实数a 都成立的是（ ）. A ．a a =2B ． 10=a C ．a a =2)( D ．a a =333、若一次函数的自变量x 的取值范围是31<<-x 时，函数值y 的范围是62<<-y ，则此一次函数的解析式为（ ）. A ．x y 2= B ． 42+-=x y C ．x y 2= 或42+-=x y D ．x y 2-=或42-=x y4、已知AB//CD ，直线l 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，若∠EFG=︒40，则∠EGF=（ ）.A ．︒50B ．︒60C ．︒70D ．︒805、若10<<x ，则2x 、x 、x 、x1这四个数中（ ）. A ．x 1最大，2x 最小 B ．x 最大，x1最小C ．2x 最大，x 最小 D ．x 最大，2x 最小6、如图是小明出门散步时离家的距离y 和时间x 之间的函数图象，若用黑点表示小明家的位置，则小明散步行走的路线可能是（ ）.*，其法则为：ba b a 11*+=，则当0)1(*=+a a 时a =（ ）. A ．21-B ．2-C ．21D ．2 8、如右图：AD 是等腰三角形ABC 的底边上的高，且34tan =B，AC 上有一点E ，满足AE ：EC=2：3， 则=∠ADE tan （ ）.A ．53B ．32AEAB CC ．21D ．319、如图转动一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上作无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的点A 位置变化为21A A A →→ ，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，，且使木板与桌面成︒30角，则A 翻滚到A 2时，共经过的路径长为（ ）cm.A ．π5.3B ．π5.4C ．π5D ．π10 10、已知如图：一次函数x y 2=与反比例函数xy 2=相交于A 、C 两点，过这两点分别作y AB ⊥轴，y CD ⊥轴，垂足分别为B 、D ，连结BC 和AD ，则四边形ABCD 的面积是（ ）.A ．2B ．4C ．6D ．8 11、如右图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线 照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已 知桌面的直径为1.2米，桌面离地面1米，若灯泡距离地 面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）平方米. A ．π036.0 B ．π81.0C ．π2D ．π24.312、如图：在平面直角坐标系中OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0），点P 是边AB 上的一点︒=∠60CPB ，沿CP 折叠正方形，，折叠后，点B 落在平面内点B '处，则点B '的坐标是（ ）.A ．（2，32） B ．（23，32-） C ．（2，324-） D ．（23，324-）第II 卷二、填空题（请直接将答案填在题后的横线上，每题4分共24分）13、分解因式：y xy y x322--= .14、音乐家和数学家们经过长期合作研究并发现：琴弦所发出声音高低取决于琴弦的长度，如果几根琴弦长度之比能表示成整数的比，则它们发出的声音就很和谐。

绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷题本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共5页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.81的平方根为（）A.3± B.9± C.3D.32.下列各式，运算正确的是（）A.325()a a-= B.33(39a a =C.246a a a ⋅= D.33222ab a b ab-=3.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记数字6对面的数字为a ，数字2对面的数字为b ，那么a b +的值为（）A.3B.7C.8D.114.点11(,)M x y ，22(,)N x y 在反比例函数3y x=-的图象上，且120x x <<，则（）A.120y y >> B.120y y << C.120y y >> D.120y y <<5.设全集{}9,8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}2 B.{}6,4 C.{}5,3,1 D.{}8,7,6,46.在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半径长为3，若⊙D 与⊙A 相切，且点B 在⊙D 内，则⊙D 的半径长度为（）164453321A.2或8B.5或8C.5D.87.数据1x ，2x ，3x …，n x 分别是某学校教职工*(3,)N n n n ≥∈个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入数据1n x +，则对这(1)n +个数据，下列说法正确的是（）A．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大B．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大C.年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变8.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知4CA =米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．24sin θ米B．24cos θ米C．24(4)tan θ+米D．2(44tan )θ+米9.有一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，任意抛掷一次该骰子，朝上的面的点数记为x ，计算3x -，则其结果大于2的概率是（）A.13B.14C.16D．1210.若关于x 的不等式组213(2),x x x m ->-⎧⎨<⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m >B．5m ≥ C.5m ≤D．5m <11.已知集合{}022≤--∈=x x N x A ，则满足条件B B A =⋂的集合B 的个数为（）A．3B．4 C.7D．812.对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则202320232211......B A B A B A +++的值是（）A.20222023B.20242022 C.20242023 D.20222023第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案填写在答题卷中的横线上.13.已知对任意的,900,900︒<<︒︒<<︒βα都有βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+则︒75sin 的值为14.底面圆半径为6cm ，高为8cm 的圆锥，其侧面展开扇形圆心角的度数为15.已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023b a +的值为18.对于正数x ，规定xx f +=1)(，计算+++⋯⋯++)1()21(20221(20231(f f f f =++⋯⋯+)2023()2022()2(ff f 三、解答题：共7小题，满分90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（分）023tan 605(2019)2(cos 45)π-----⨯ (2)先化简，再求值：1(1)14xx +÷-，其中2x =20.（本题满分12分）某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：分数段频数频率60≤x ＜700.1570≤x ＜80m0.4580≤x ＜9060n90≤x ＜100频数1209060300分数（分）90100806070请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)求上表中的数据m ，n 的值；(2)通过计算，补全频数分布直方图；(3)比赛成绩的中位数落在哪个分数段？(4)如果比赛成绩在80分以上（含80分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？21.（本题满分12分)已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C，交y 轴于点D.(1)求OCD ∠tan 的值；(2)求证：︒=∠135AOB ．22.（本题满分12分）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．(1)改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？(2)若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？(3)我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？yO B AxDC23.（本题满分12分）如图，ABC ∆内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN 使MAC ABC ∠=∠．D 是弧AC 的中点，BD 交AC 于G ，DE AB ⊥于E ，交AC 于F .(1)求证：MN 是半圆的切线；(2)求证：FD FG =．(3)若DFG ∆的面积为4.5，且3DG =，4GC =，求BCG ∆的面积．24.（本题满分12分）如图，抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(10)，，3OC OB =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25.（本题满分14分）如图1，已知直线EA 与x 轴、y 轴分别交于点E 和点)2,0(A ，过直线EA 上的两点G F 、分别作x 轴的垂线段，垂足分别为)0,()0,(n N m M 和，其中0,0><n m ．(1)如果1,4=-=n m ，试判断AMN ∆的形状；(2)如果4-=mn ，(1)中有关AMN ∆的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图2，题目中的条件不变，如果4-=mn ，并且4=ON ，求经过N A M 、、三点的抛物线所对应的函数关系式；(4)在(3)的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P ，点Q 是对称轴上一动点，以点N Q P 、、为顶点的三角形和以点N A M 、、为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q 的坐标．AMNDCBGEFlNM EF P GB AxOyyNMFEOGx A绵阳南山中学2023年高一新生入学考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每个小题3分，共36分）题号123456789101112选项ACBABDADCBDC二、填空题（每个小题4分，共24分）13.426+14.21615.-116.1817.5或218.2022.5三、解答：（共90分）19．解（1）原式514=---=·····················································8分（2）原式4411x x x x =⨯=--·············································································4分把2x =+代入得原式1==································8分20．解（1）∵总人数302000.15==（人）∴2000.4590m =⨯=，600.3200n ==.……………………………………………3分（2）由（1）的计算知70至80分段的人数为90人，………………………4分90至100分段的人数20030906020=---=人，补全条形图如下图所示：……………………………………6分（3）比赛成绩的中位数落在：70～80分…………………………………9分（4）恰好抽中获奖选手的概率为：602022005+=.…………………………12分21．解（1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y ································3分5(0)4C -，，5(0)3D ，．在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ，···································5分∴OCD ∠tan 34==OC OD ．·········································································6分频数12090603009010080607020（2）取点A 关于原点的对称点(21)E ，，则问题转化为求证︒=∠45BOE ．由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=，∴△EOB 是等腰直角三角形．∴︒=∠45BOE ．∴135AOB ∠=°…………………12分22．解（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依题意得：22302205a b a b +=⎧⎨+=⎩·····································································2分解之得6085a b =⎧⎨=⎩···················································································3分答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元········································································································4分（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则60851575m n +=···············································································5分173151212m n =-+················································································6分∵A 类学校不超过5所∴1731551215n -+≤∴15n ≥即：B 类学校至少有15所．·································································8分（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：()()507064001015670x x x x +-⎧⎪⎨+-⎪⎩≤≥·······································································10分解之得14x ≤≤··················································································11分∵x 取整数∴1234x =，，，即：共有4种方案．···········································12分23.证明（1）：∵AB 是直径∴90ACB ∠= ，90CAB ABC ∠+∠= ……………2分∵MAC ABC ∠=∠∴90MAC CAB ∠+∠= ，即MA AB ⊥∴MN 是半圆的切线.…………………………4分（2）如图∵D AC 是弧的中点，∴DBC DBA ∠=∠……………………………5分∵AB 是直径∴90ACB ∠= ，故90DBC CGB ∠+∠=∵DE AB ⊥，∴90DBA FDG ∠+∠= ，∴FDG CGB FGD ∠=∠=∠∴FD FG =…………………………………………………………………8分（3）连结AD 则90ADB ∠= ，∵DE AB ⊥，D AC 是弧的中点∴ADF DBA DAF∠=∠=∠∴AF DF FG ==………………………………………………………………9分∴29ADG DFG S S ∆∆==……………………………………………………………10分又∵90ADG BCG DGA CGB∠=∠=∠=∠ ，∴ADG BCG ∆∆∽………………………………………………………………11分∴22416((39BCG ADG S CG S DG∆∆===∴169169BCG S ∆=⨯=.……………………………………………………………12分(其它解法，请酌情评分)24．解（1）∵点(1,0)B ,3OC OB =，(0,3)C -…………………………………1分M N AEDCGB F42-5xyA O NM GF E把()1,0B 、(0,3)C -代入23y ax ax c =++得：330c a a c =-⎧⎨++=⎩解得：334a c ==-，∴所求抛物线的解析式为239344y x x =+-……………………………………2分（2）过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M N 、．∵对称轴3322a x a =-=-，()1,0B ，∴点(4,0)A -∴ABC ACD ABCD S S S ∆∆+四边形＝111553()2222DM AN ON DM⨯⨯+⨯⨯+=+＝易得直线AC 的解析式为334y x =--…………………4分令239(3)44D x x x +-，，3(3)4M x x --，，其中40x -<<，2233933(3)(2)34444DM x x x x =---+-=-++………6分当2x =-时，DM 有最大值3此时四边形ABCD 面积有最大值272．…………………7分（3）如图，有如下情况：①过点C 作1CP ∥x 轴交抛物线于点1P ，过点1P 作11PE ∥AC 交x 轴于点1E ，此时四边形11ACPE 为平行四边形，∵(03)C -，，令2393344x x +-=-得：1203x x ==-，∴点1(33)P --，……………………………………9分②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC PE =时，四边形ACEP 为平行四边形，∵(03)C -，，∴由对称关系令(3)P x ，，由2393344x x +-=化简得：2380x x +-=，解得3412x -+=或3412x --=，此时存在点2341(3)2P -+和3341(3)2P -…………………………11分综上，存在3个点符合题意，坐标分别是1(33)P --，，23(3)2P -+，3341(3)2P -.…………………………12分25.(1)△AMN 是直角三角形.……1分依题意得OA ＝2，OM ＝4，ON ＝1，∴MN ＝OM ＋ON ＝4＋1＝5在Rt △AOM 中，AM 在Rt △AON 中，AN A B CD x y NMO AB C x y2P 1P 3P1E 2E 3E O42-55F G EP l A xyON MB42-2-4-6-55G FEQ 2Q 1P l AxyON M∴MN 2＝AM 2+AN 2∴△AMN 是直角三角形(解法不惟一)………………………3分(2)答：(1)中的结论还成立.…………………………………4分依题意得OA ＝2，OM ＝－m ，ON ＝n ∴MN ＝OM ＋ON ＝n －m∴MN 2＝(n －m )2=n 2－2mn ＋m 2∵mn ＝－4∴MN 2=n 2－2×(－4)＋m 2＝n 2＋m 2又∵在Rt △AOM 中，AM在Rt △AON 中，AN ∴AM 2＋AN 2=4＋m 2＋4＋n 2＝n 2＋m 2＋∴MN 2=AM 2＋AN 2∴△AMN 是直角三角形.(解法不惟一)………………6分(3)∵mn ＝－4，n ＝4，∴1-=m .方法一：设抛物线的函数关系式为y ＝a x 2＋bx ＋c.∵抛物线经过点M (－1，0)、N (4，0)和A (0，2)2a-b c 04402a b c c +=⎧⎪∴++=⎨=⎪⎩12322a b c ⎧=-⎪⎪∴=⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.………………8分方法二：设抛物线的函数关系式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．∵抛物线经过点A (0，2)∴－4a ＝2解得a ＝－12∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12(x ＋1)(x －4)即y ＝－12x 2＋32x ＋2.……………8分(4)抛物线的对称轴与x 轴的交点Q 1符合条件，∵l ⊥MN ，∠ANM ＝∠PN Q 1，∴Rt △PN Q 1∽Rt △ANM∵抛物线的对称轴为x ＝32，∴Q 1(32，0)………………10分∴NQ 1＝4－32＝52.………………11分过点N 作NQ 2⊥AN ，交抛物线的对称轴于点Q 2.∴Rt △P Q 2N 、Rt △NQ 2Q 1、Rt △PNQ 1和Rt △ANM 两两相似∴AMN Q AN Q Q 121=即Q 1Q 2＝1525Q N AN AM ⋅=…………12分∵点Q 2位于第四象限，∴Q 2(32，5-)…………13分因此，符合条件的点有两个，分别是Q 1(32，0)，Q 2(32，5-).…………14分(解法不惟一)。