反常积分的几种计算方法

目 录 摘 要 ……………………………………………………………………………………1 关键词 ……………………………………………………………………………………1

Abstract …………………………………………………………………………………1

Keywords…………………………………………………………………………………1

0 前 言………………………………………………………………………………… 1

1反常积分的定义 …………………………………………………………………… 1

1.1无穷积分的定义 …………………………………………………………………… 1 1.2 瑕积分的定义 …………………………………………………………………….. 2 2 反常积分的计算方法 …………………………………………… ……………… 3

2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分………………………………………… 3 2.2利用变量替换法计算反常积分 ……………………………………………………3 2.3利用分部积分法计算反常积分 ……………………………………………………5 2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 …………………………………………7 2.5利用方程法计算反常积分 …………………………………………………………7 2.6利用级数法计算反常积分 …………………………………………………………9 2.7利用待定系数法计算反常积分……………………………………………………10 结束语…………………………………………………………………………………………… 11 参考文献………………………………………………………………………………………..11

反常积分的几种计算方法 摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用. 关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法

Several calculation methods of abnormal integral Abstract: This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation. Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral; Series method; the method of undetermined coefficient 0前言 反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton—Leibniz公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗透，这样可以简便计算。 1反常积分的定义 1.1无穷积分的定义 定义1设函数f定义在无穷区间,a上,且在任何有限区间ua,上可积,如果存在极限 uauJdxxf)(lim,

)1( 则称此极限J为函数f在,a上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 adxxfJ)(,

)1( 并称adxxf)(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称adxxf)(发散. 类似地,可定义f在b,上的无穷积分： buu

b

dxxfdxxf)(lim)(.

)2( 对于f在,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义： dxxfdxxfdxxfaa)()()(.

)3( 1.2瑕积分的定义 定义2设函数f定义在区间ba,上,在点a的任一右领域上无界,但在任何内闭区间babu,,上有界且可积.如果存在极限 buauJdxxf)(lim,

)4( 则称此极限为无界函数f在ba,上的反常积分,记作 badxxfJ)(,

)4( 并称反常积分badxxf)(收敛.如果极限)4(不存在,这时也说反常积分badxxf)(发散. 在定义中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无界函数反常积分badxxf)(又称为瑕积分. 类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分： uabu

badxxfdxxf)(lim)(.

)5( 其中f在ba,有定义,在点b的任一左领域上无界,但在任何baua,,上可积. 若f的瑕点bac,,则定义瑕积分 =bvcvuacudxxfdxxf)(lim)(lim. )6( 其中f在bcca,,上有定义,在点c的任一领域上无界,但在任何caua,,和bcbv,,上都可积.当且仅当)6(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是

收敛的. 又若ba,两点都是f的瑕点,而f在任何bavu,,上可积,这时定义瑕积分 =vcbvcuaudxxfdxxf)(lim)(lim, )7( 其中c为ba,上任一实数.同样地,当且仅当)7(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的. 2反常积分的计算方法 在计算反常积分时有三大基本方法：Newton—Leibniz公式、利用变量替换、利用分部积分法. 设dxxfba)(是反常积分, b为唯一的奇点(b为有限数,或),计算dxxfba)(： 2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 若)(xf在ba,连续,且)(xF为)(xf的原函数,则

)()0(|)()(0aFbFxFdxxfbaba.

)8(

例1 计算bapaxdx)(的值.

解： paxxf)(1)(在ba,上连续,从而在任何babu,,上可积, ax为其瑕点，故 2.2利用变量替换法计算反常积分 若)(t在,上单调,有连续的导数)(t,baa)0(,)((为有限数或无穷大),则 

dtttfdxxfba)())(()(.

(9) 例2 计算baxbaxdx))((2的值.

解：令22sincosbax则cossin2sincos2badx, 2222222sin)(sinsinsin)1(cossincosabbabaabaax

2222222cos)(coscoscos)sin1(sincosabababbabxb



24cossin)(cossin)(22))((22020dab

dabxbaxdxb

a. 例3 证明等式dtabtfadxxbaxf020)4(1)(,其中0,ba(假设二积分有意义). 分析:比较该等式的两边,我们必须使得 abtxbax42,

因0,,xba,此即要求abtxbax422,亦即 22txbax.

因此我们选取的变换如下： 证明：令txbax, 此时abtxbax42成立,因此可得 )4(212abttax，

dtabtaabttdx42422.

于是dtabtabttabtfadxxbaxf44)4(21)(222000, 在上式的右边的第一个积分里,令ut,





00222222044)4(44)4(21)(dtabtabutabtfduabuuabuabufadxxb

axf

再将u改写成t,二积分合并,得 dtabtfadxxbaxf020)4(1)(. 因此该式得证. 2.3利用分部积分法计算反常积分 设)(),(xvvxuu在ba,上有连续的导数,则 

babababadxxuxvxvxuudvdxxvxu)()()()()()(0

.

(10) 例4 计算dxxx10ln的值.