反常积分法

而在第二项中，由于 g(x) 单调，因此 g′(x) 保持定号，由积分第一中值
定理，存在 ξ ∈[a, b] ，使得
于是
∫ ∫ ∫ b
F
( x) g ′( x)dx
=
F
(ξ
)
bg ′(x)dx = [g(b) − g(a)]
ξ f (x)dx ，
a
a
a
∫ ∫ b a
f
( x ) g( x )dx
=
g(b)
也发散。
例 8.2.1
讨论
+∞
∫1
cos 2 x3
x sin + a2
x
dx
的敛散性（
a
是常数）。
解 因为当 x ≥ 1时有
cos 2x sin x ≤ 1 ，
x3 + a2 x x
在例
8.1.2
中，已知
∫ +∞ 1
x
1 x
dx
收敛，由比较判别法，∫1+∞
cos 2x sin x x3 + a2
dx
dx 发散。
因此，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
条件收敛。
例 8.2.5
讨论
+∞
∫1
sin
x
arc x
tan
x
dx
的敛散性。
解
由例
8.2.4，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
收敛，而
arc
tan
x
在
[1,+∞)
上单调有界，
由 Abel
| dx
收敛，则称

7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。

与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。

本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。

一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。

在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。

具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。

设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)⁡〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。

2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。

需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。

如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。

二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。

然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。

2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。

积 分 的 一些 定 理 和 性 质 ， 传 统 的 判 别 方 法 基 础 上 发 现 一 在
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿

反常积分的计算方法反常积分是求解某些积分时需要采用的一种特殊方法，它是指被积函数在某一区间上无法定义的积分。

在反常积分的求解过程中，一些数学定理和技巧被广泛应用。

下面，我们将介绍一些反常积分的常见计算方法。

方法一：分部积分法对于一些形如$∫u(x)v'(x)dx$ 的积分，我们可以采用分部积分法进行求解。

此时，我们需要对被积函数做出适当的分解，使得积分表达式易于计算。

例：$∫lnx dx= xlnx - x + C$此式中，我们采用分部积分法，将 $lnx$ 分解为 $u(x)$，$1$ 分解为 $v'(x)$。

然后，我们可以用求导法和幂函数积分法求解出 $u(x)$ 和 $v(x)$。

方法二：换元法在某些情况下，我们可以使用换元法来简化被积函数的形式，进而使计算更为简便。

换元法的核心思想是将被积函数转化为形式更简单的函数。

例：$∫\frac{1}{1 + x^2}dx$此时，我们可以采用$x = tanθ$ 来进行换元。

这样，我们可以将 $\frac{1}{1 + x^2}$ 转化为 $\frac{cosθ}{sin^2θ +cos^2θ}$ 的形式，然后用三角函数的积分公式进行计算。

方法三：极限求解法对于一些反常积分，我们采用传统的解析方法难以求解。

此时，我们可以使用极限求解法。

基本思路是将被积函数化为某个函数在某一点附近的收敛级数，进而推导出反常积分的值。

例：$∫_0^1\frac{1}{lnx}dx$此式中，我们采用极限求解法，将被积函数变形成为$\lim_{n→0+}∫_n^1\frac{1}{lnx}dx$。

然后，我们对被积函数积分，得到其收敛级数为$∑_{k=2}^∞(-1)^{k+1}\frac{(ln(1/n))^k}{k!}$，然后推导极限值为 $-γ$，其中$γ$ 是欧拉常数。

总之，反常积分的计算方法有多种，采用不同的方法可以经过简单变形，使得积分表达式变得更加容易计算，求解过程也更为快捷高效。