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反常积分

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相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 二、反常积分的定义 1．无穷限反常积分的定义
，
.
无穷限反常积分几何意义
例 1 （1）讨论积分
，
，
（2）计算积分
.
的敛散性 .
∫ ∫ 例 2
讨论以下积分的敛散性
:（1） +∞ dx
+∞
；（2）
dx
.
1 xp
2 x(ln x) p
+∞
∫ 例 3 讨论积分 cos xdx 的敛散性 . a
2．瑕积分的定义
以点 为瑕点给出定义. 然后就点 为瑕点、点 瑕点的情况给出说明.
为瑕点以及有多个
例 4 判断积分
的敛散性 .
例 5 讨论瑕积分
的敛散性 ， 并讨论积分 的敛散性 .
瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 连续 ， 为瑕点. 有
， 把瑕积分化成了无穷积分；
2.
R ， | | R ，但反之不确. R 积分是绝对型积
分.| |在区间
上可积 ，
反之不确. C—R 积分是非绝对型积分.
在区间
上可积 ，但
3.
，
R，
R ；但 和 在区间
上可积 ，
在区间
上可积. 可见，
在区
间
上可积 ，
在区间
上可积．
系 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ) [1]P330 推论 2.
例 1 判别下列瑕积分的敛散性 :
（1）
( 注意被积函数非正 ). （2）
. [1]P330 E12
例 2 讨论非正常积分
的敛散性.
三、 C—R 积分与 R 积分的差异
1.
R，在上
; 但 在区间
积，
在区间
上有界 . 例如函数
上可
，
分
收敛 . 但积分
. 由例 6 的结果，积
却发散.( 参阅例 6 ) 瑕积分的性质与收敛判别法: 瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
例 证明瑕积分
当 时收敛.
证
， 由例 6 ， 该积分当 时收敛.
1. 瑕积分判敛法
定理 ( 比较原则 ) [1]P329 Th10-23.
系 1 ( Cauchy 判别法 ) [1]P329 推论 1.
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数，有 散性记法.
↗. 非负函数无穷积分敛
（1）比较判敛法：设在区间
上函数 和 非负且
，又对任何 > ，
和 在区间
上可积 . 则
<，
<；
，
.极限形式 : 设在区间
上函数
，
.
则
ⅰ） < < ，
与
共敛散；
ⅱ）
，
< 时， < ；
第十一章 反常积分
一、问题的提出 例 1 （第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引 力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为 ，有万有引力定理， 在距地心 处火箭受到的引理为
于是火箭上升到距地心 处需要做到功为
当
时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
在由能量守恒定律，可求得处速度 至少应使
． 例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？
解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 从小孔里流出的速度为
时，水
设在很短一段时间 内，桶里水面降低的高度为 ，则有下面关系：
由此得 所以流完一桶水所需的时间应为 但是，被积函数在 上是无界函数，，所一我们取
上可积 ，
[1]P324 E6 单调有界 ， 则积
分
收敛.
Dirichlet 判敛法: 设
在区间
上有界 ， 在
上单调，且当
时，
. 则积分
收敛.
例 6 讨论无穷积分
与
的敛散性. [1]P325 E7
例 7 证明下列无穷积分收敛 ， 且为条件收敛：
P326 E8
，
，
.
[1]
例 8 ( 乘积不可积的例 ) 设
ⅲ）
，
时，
. (证)
（2）Cauchy 判敛法: ( 以 为比较对象， 即取
.以下 > 0 )
对任何 > ，
，
且，
<；
且，
.
Cauchy 判敛法的极限形式 : 设 是在任何有限区间
值函数．且
.则
上可积的正
ⅰ）
<；
ⅱ） 例 2 讨论以下无穷积分的敛散性：
. (证)
ⅰ） （3）其他判敛法：
ⅱ）
Abel 判敛法: 若 在区间
设 ，有
把无穷积分化成了瑕积分． 无穷积分的性质: （1） 在区间 上可积，且
， 上可积， — Const，则函数
在区间
（2） 和 在区间 上可积 ， 且
. 上可积 ，
在区间
.
（3）无穷积分收敛的 Cauchy 准则: ( 翻译
)
+∞
∫ 定理 积分 f (x)dx 收敛 a
. （4）绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛，( 证 )但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 ． 无穷积分收敛判别法

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反常积分

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∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
18
1
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三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
十一章反常积分

十一章反常积分

y= 1 x2
0
1
b
x
二、两类反常积分的定义. 两类反常积分的定义
定义1: 定义 设函数 f (x)定义在区间[a, +∞)上, 且在任何 有限区间[a, u]上可积，如果存在极限
u →+∞ a
lim
∫ f ( x )dx = J
u
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +∞)上 (x) [a, +∞) 的无穷限反常积分, 记作
u2
u 1
f (x)d <ε. x
２，比较原则
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
且满足
f (x ≤g(x x∈ a+ ) ) ), [, ∞
定理11.2（比较原则） （比较原则） 定理
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
[, ∞ 且满足 f (x) ≤g(x), x∈ a+ ) 则
若 g(x d 收 ，则 ∫ )x 敛 ∫
a
+ ∞
+ ∞
a
f (x d 收 ; ) x 敛
若 ∫
例1 : 讨论 ∫
+∞ 0
+ ∞
a
f (x d 发 ，则 g(x d 发 . ) x 散 ∫ )x 散
a
+ ∞
sin x dx的收敛性. 2 1+ x
a sin x x +b
3 2
例 2 : 讨论 ∫
+∞
a
+∞
a +∞
[k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx = k1 ∫
反常积分

反常积分

反常积分定义1. 设函数 f (x )定义在无穷区间[a ,∞) 上，且在任何有限区间[a ,u ]上可积，如果存在极限lim u→+∞ f x dx =J ua （1）则称此极限J 为函数 f (x )在[a ,∞) 上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作J = f x dx +∞a,并称 f x dx +∞a收敛。

如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称 f x dx +∞a发散。

定义2. 设函数 f (x )定义在(a ,b ] 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间[u ,b ]⊂(a ,b ] 上有界且可积，如果存在极lim u→a + f x dx =J ba 则称此极限为无界函数 f (x )在 (a ,b ]上的反常积分，记作 J = f x dx b a 。

并称反常积分 f x dx ba 收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 f x dxb a 发散。

一、无穷积分的性质⑴ f (x ) 在区间 [a ,+∞)上可积 , 则函数k f (x ) 在区间[a ,+∞) 上可积 , 且 kf x dx =+∞ak f x dx +∞a。

⑵ f (x ) 和g (x ) 在区间[a ,+∞) 上可积 , f (x )±g (x ) 在区间 [a ,+∞)上可积 , 且 [f x ±g (x )]dx =+∞a f x dx +∞a± g x dx +∞a。

⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: 积分 f x dx +∞a收敛⟺∀ε>0,∃A ,∀a ,b >A ,⟹ f x dx ba <ε 。

⑷ 绝对收敛与条件收敛:绝对收敛 ⟹ 收敛,但反之不正确。

二、比较判别法⑴ 比较判敛法:设在区间[a,∞) 上函数 f(x) 和g(x)非负且f(x)≤g(x)，又对任何A >a , f(x) 和g(x)在区间 [a,A]上可积,则 g x dx +∞a<+∞ ,⟹ f x dx +∞a<+∞； f x dx +∞a=+∞, ⟹ g x dx =+∞+∞a.推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间 [a,∞)上函数f x >0,g x >0, lim x →+∞f(x)g(x)=c . 则ⅰ> 0<c <+∞ , ⟹ f x 与 g x 共敛散; ⅱ> c =0 , ⟹ g x dx <+∞+∞a时, f x dx +∞a<+∞; ⅲ> c =+∞ , ⟹ g x dx =+∞+∞a时, f x dx +∞a=+∞。

7反常积分——反常积分的概念和计算

7反常积分——反常积分的概念和计算

7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。

与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。

本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。

一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。

在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。

具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。

设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)⁡〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。

2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。

需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。

如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。

二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。

然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。

2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。