B5: 全局优化应用
莎益博工程系统开发（上海）有限公司，2010
优化介绍
优化（optimization）的目标是从一组可能的答案中发现问题的最佳解。答案通过使用一个或多个问题变量的实际值目标函数（objective function）进行对比。可能的集合（feasible set ）由约束条件（constraints）决定，约束条件通常是关于问题变量的不等式或方程（组）。数学意义上，目的是发现目标函数的最大值（maximizes）或最小值（minimizes ）、同时满足（ satisfying）约束条件的点，这个点称为极值（extremum）。优化问题定义如下。
的最大值（或最小值
约束条件 , ,
和 ,
这里，
优化模型由, , 和 的结构分类。如果所有的函数是 x 线性函数，这个模型是一个线性规划（linear program）。如果 是 x 的二次函数，以及 和 是 x 的线性函数，这个模型是一个二次规划（quadratic program）。如果 是一个平方和函数，这个模型是一个非线性规划（least-squares problem）。对于其他任意结构，模型称为非线性回归（NLP）。Maple 9.5中的优化程序包（Optimization）提供了一系列算法分别求解这些类型的问题。
传统上，优化研究集中在局部搜索算法（local）。局部搜索的目的是发现 f(x) 在可行区域内的局部极值。从一个初始点出发，局部搜索算法迭代（iteratively）搜索当前点领域中的一个点，提高目标函数值，同时维持或逼近可行性、使用当前点上关于 , , 和 的迭代信息。理想情况下，搜索会终止于一个可行的局部极值。优化算法的不同决定它们如何衡量逼近可行，以及它们如何搜索。
当在可行区域内有唯一的局部极值时，局部搜索是有效的，这是因为搜索发现的局部解是问题的全局解。如果, 都是凸函数（convex），并且所有的是仿射函数（affine）时，极值是唯一的。
当 在可行区域内有许多局部极值，局部搜索难以完成。在这种情况下，局部极值的发现依赖于起始点，但可能并不是全局解。当任一个, 是非凸函数，或者任一个 是非线性函数时，存在多个局部最小值。非凸性经常存在于现实问题中，可能是求解优化问题最大的障碍。全局优化（Global）是最新的和最成功方法，能够克服这个障碍。
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1. 全局优化的优势
优化程序包（Optimization ）中的优化算法是局部搜索方法。局部搜索方法使用一次和二次导数发现局部极值，反复迭代生成点提高目标函数同时维持或逼近可行性。
全局优化工具箱（Global Optimization toolbox ）使用了全局搜索方法。不同于使用求导发现局部极值，它们系统地搜索整个可行区域寻找一个全局极值。对于可能有许多局部极值的优化模型，全局搜索方法寻找一个全局极值。这些方法并不依赖于初始点。
尽管全局搜索不依赖于起始点，但它需要所有决策变量的有限边界，限定搜索空间。同时相比局部搜索方法，随着变量数的增加，全局搜索方法的计算工作量会急剧增加。这种情况通常并不明显，除非变量的数目达到上百个。
为了了解全局优化相比局部优化的优势，考虑下面的问题，对比优化程序包（Optimization ）中的局部非线性求解器NLPSolve ，和全局优化工具箱（Global Optimization toolbox ）中的 GlobalSolve 命令。
1. 全局优化工具箱介绍
概述：
全局优化工具箱提供世界级的全局优化技术求解优化模型的最优解，鲁棒和高效。该工具箱的功能包括：
提供多个求解器模块求解非线性优化问题，包括branch-and-bound全局搜索、全局自适应随机搜索、全局随机多起点搜索、和一个广义简约梯度局部搜索。
可以求解包含数千个变量和约束的模型，利用Maple任意精度计算的功能，大大地降低了数值不稳定性。
支持任意类型的目标函数和约束条件，包括预定义的特殊函数（例如，贝赛耳、超几何分布）、导数和积分、分段函数、以及用Maple语言编写的程序体。
交互式的全局优化助手，提供简单易用的图形界面，帮助您输入问题和选择求解方法。Maple内置的模型可视化功能，可以观察目标函数的一维和二维子空间投影图，以及通过目标表面上的面或线图形显示约束函数。初始化：
为了使用Global Optimization Toolbox，需要首先使用下面的命令加载GlobalOptimization程序包。您可以选择使用命令求解预定义的优化模型，或者使用全局优化助手，如下图所示。
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> 使用全局优化工具箱求解问题
对于许多优化问题，简单的方法并不能足以发现最优解。它们仅能发现局部极值，通常是最靠近用户给定的搜索起始点的极值点。
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(2.2.2)
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(2.2.1)
> 您也许可以通过观察图形发现给定区域内的全局最小值。但如果您不能正确地求它的近似值，使用常规的优化算法并不能发现全局最小值。根据 Minimize 命令的计算结果，最小值发生在 x = 30。但是您可以通过上面的图形发现它并不是全局最小值。
通过使用全局优化工具箱中有等效功能的命令，可以确保发现指定区间内的全局最小值。为了查看使用了何种方法发现全局最小值，改变 infolevel 变量，然后重新执行命令。设置infolevel = 3，命令显示输入模型的大小和类型，求解器运行模式和参数，以及详细的运行时间信息。
(2.2.3)
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> >
GlobalSolve: calling NLP solver
SolveGeneral: calling global optimization solver SolveGeneral: number of problem variables 1
SolveGeneral: number of nonlinear inequality constraints 0SolveGeneral: number of nonlinear equality constraints 0SolveGeneral: method multistart
SolveGeneral: merit function evaluation limit 1000
SolveGeneral: non-improving merit function evaluation limit 200SolveGeneral: constraint penalty multiplier 100.0SolveGeneral: target merit function value -0.10e11
SolveGeneral: local search target objective function value -0.10e11SolveGeneral: local search feasibility tolerance 0.10e-5SolveGeneral: local search optimality tolerance 0.10e-5SolveGeneral: time limit in seconds 100SolveGeneral: trying evalhf mode
SolveGeneral: total number of function evaluations 1120SolveGeneral: runtime in external solver 0.
SolveGeneral: maximum constraint infeasibility 0.SolveGeneral: cycling or stall detected in solver
通常，infolevel 设置为默认值 0。下面是一个例子，使用线性方法不能发现全局最小值，但全局求解器可以发现最优值。例子：
考虑一个非线性方程组：最小二乘误差函数有多个极值。
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.4)
>
首先，使用Maple内置的 Optimization 程序包求局部解。由于方程组的复杂性，线性优化求然而，全局优化算法可以发现全局最小值。
(2.2.6)
>
>
(2.2.7)>
(2.3.1)
代入约束函数，结果显示最小二乘逼近是相当精确的解。也就是说，发生在该最小点上的最小二乘逼近的误差非常小。通过了解上面的例子，您可以有信心使用全局优化工具箱求解任意复杂的数学问题。
四次多项式
求四次多项式在区间 [0, 5] 上的全局最小值。注意该函数是一个非凸函数，有两个局部最小值。
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(2.4.2)
(2.3.3)
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(2.3.2)
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>
(2.4.1)
(2.4.3)
取决于给出的起始点，内置的局部 NLP 求解器返回位于 处的全局最小值，或者
是位于 处的次优局部最小值。全局优化求解器总是求全局最小值。注意到调用格式并不依赖于起始点，但需要 x 的有限范围，这个问题定义为 0..5。非凸二次函数
求一个二维非凸二次函数在矩形区域上的全局最小值。使用非正定矩阵构建非凸函数。检查该矩阵是否是正定的。false
构建函数 。
对函数绘图并画出等高线图。全局最小值发生在[3.947, -10.000] 和 [-3.947, 10.000]，鞍点发生在 [0, 0]。
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4.4)4.5)(2.4.6)
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从大部分起始点出发，Maple局部优化求解器会发现发生在[3.947, -10.000]上的全局最小值。如果起始点选择不佳，局部优化求解器会停止在鞍点 [0, 0] 上。求解诶其停止的原因是它发现在当前点是零梯度。鞍点有零梯度但不是极值。全局优化求解器总是发现两个全局最小值中的一个。必须定义x和y的有限范围。非凸可行区域
求一个二维凸函数在一个缺失单位圆盘的平面上的全局最小值，这是一个非凸区域。
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(2.5.2)
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(2.5.1)
全局最小值发生在近似点 [.707, -.707]，见下图中的可行区域边界的红圈，同时显示了目标函数的几个等高线。
起点是[-2, 2]，Maple局部优化求解器发现在近似点 [-.707, .707] 处的非最优局部最小值，表
示为蓝色。目标函数在[-.707, .707]上的梯度垂直于可行区域的边界，终止了局部搜索。
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(2.6.2)
(2.5.4)
>
>
(2.6.1)
(2.5.3)
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局部搜索从 [-2, 2] 开始发现次优局部最小值。全局搜索发现全局最小值发生在[.707, -.707]。高维平坦函数
考虑一个四维函数，这个函数有一个非常平坦、但非定常、靠近全局最小值的区域。局部搜索方法往往发现这个平坦区域，但在发现全局最优值之前终止，原因是函数在该区域上的梯度接近于0。全局最小值发生在 = = = = 1。为了查看为什么这个函数难以最小化，考虑它在
和 上的2-D投影。等高线表明该函数砸原点附近非常平坦。局部搜索方法通常在这样的区域找到局部最小值，并终止搜索。
(2.6.3) 2. 全局优化的应用
在上一节中，通过几个简单的例子说明了全局搜索方法如何大大优于局部搜索方法。下面是
几个应用全局优化解决实际问题的范例。
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> > 汽车悬架系统的调校
考虑悬架系统设计中的问题，显示路面颠簸时的响应。问题变量是弹簧常数 k 和阻尼常数 目标响应
假设目标响应是一个衰减指数函数。当汽车碰到一个幅度为 0.1 米的颠簸时，其振荡幅度呈指数衰减。
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(3.1.2.1)
(3.1.2.2)
计算实际响应
为了得到系统对颠簸的实际响应，求解微分方程组，初始条件是 x(0) = 0.1。自然状态下质量-弹簧-阻尼系统的微分方程是：系统的实际响应是关于k, b, 和t的函数。k=10^4 N/m 和 b=10^3 Ns/m 条件下的目标响应和实际响应。
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(3.1.3.1) >
显然 k 和 b 的值没有很好地匹配目标。提高匹配性的一个方法是代入 k 和 b 不同的组合，直到发现一个可接受的结果。下面的小节描述了一个更加系统的方法：使用优化。
测量目标和实际响应之间的误差
理想情况下，误差是目标和实际响应的平方差的积分。但是在这个应用中由于响应函数的复杂性，求积分值非常困难。作为近似，在一些关键的时间点上取函数样本，函数对这些时间点上的平方差相加。
在时间上的输出样本：
目标函数是实际和目标响应在这4个时间点上的平方差的和。尽管误差函数仅有两个变量，但是可以看出非常复杂。
(3.1.4.1)
(3.1.4.2)
>
使用全局优化最小化误差
使用全局优化工具箱求误差函数的最小值。
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>
> 测试结果
在同一图形上显示实际响应和目标响应，k 和 b 使用全局优化得到的值。它们可以很好地匹配。从目标响应和实际响应之间差的图形上可以发现，即使是最大差值也可以忽略。
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(3.2.1.1
)
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> 香水瓶子设计的优化
一家香水公司希望设计一个新的香水瓶子，要求容量固定的前提下降低运费。运费是与包装盒占有的体积成正比。因此设计任务是最小化占有空间，同时保持瓶子的容量和美观性。
瓶子的设计是椭圆体、平底。这里有4个问题变量：椭圆的3个离心率参数，椭圆体被切除形成平底的高度位置。
瓶子模型
restart;瓶子形状的模型是一个包含参数 a, b, c 的椭圆体，中心在原点。上面部分是椭圆体，但
(3.2.1.2)
(3.2.2.1)
>
>
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椭圆体地段是平面 ，这里 h 是模型的第4个参数。长度单位是 cm，体积是 mL。
对应的图形是一个平底瓶。目的是使用优化方法改进这个形状。目标函数
目标函数：包装体积
包含瓶子的盒子是一个平行六面体，宽度是 2a，长度是 2b，高度是 ，这里额外的长度是为喷嘴准备的空间。目标是最小化 。
五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤
3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤
4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤
5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进
机器学习中常见的几种优化方法 阅读目录 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods） 3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient） 4. 启发式优化方法 5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法 我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯
度法等等。 回到顶部 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下 降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示： 牛顿法的缺点： （1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示； （2）直线搜索时可能会产生一些问题； （3）可能会“之字形”地下降。 从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。 在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
基于离散变量的连续体结构拓扑优化算法及应用研究 在结构优化领域,连续体结构拓扑优化越来越多地应用在土木工程结构的优化设计当中。作为一种主流拓扑优化方法,渐进结构优化(ESO)方法从完全启发式算法逐渐发展为成熟的硬杀/软杀双向ESO(BESO)方法。 尽管已提出多种BESO方法及其改进算法,但其设计变量通常仅在两端点取值,不仅容易引起收敛稳定问题,而且在优化应用中需引入启发式准则或算法。为此,本文提出基于离散变量和BESO准则的拓扑优化算法并应用于多种优化问题,以开发其优良特性并扩展其应用范围。 首先,针对基于离散尺寸变量的BESO(DSV-BESO)算法不能用于拓扑优化的问题,分别将离散单元密度和离散水平集函数(DLSFs)定义为拓扑设计变量,并提出三种双向演化准则,建立基于离散变量的BESO(DV-BESO)算法,解决了拓扑优化问题。通过用离散变量代替两端点变量,DV-BESO算法改进了软杀BESO方法的灵敏度精度和收敛稳定性。 然后,在多位移约束优化中,针对DSV-BESO算法在拉格朗日乘子法中采用经验公式可能导致无法求得局优解的问题,提出DV-BESO改进算法,通过将经验公式替换为Powell-Hestenes-Rochafellar增广拉氏乘子法(简称PHR算法)。在全局位移控制优化中,进一步改进了PHR算法的收敛振荡问题。 通过用PHR算法代替启发式算法,DV-BESO改进算法改进了软杀BESO方法不能用结构体积以外的目标函数以及最终位移约束与位移限值相差较大等问题。第三,为将DV-BESO改进算法推广到应力约束优化问题,首先引入放松策略和聚合策略对每个聚合区域构造放松应力函数;然后构造应力约束优化问题的拉格朗日函数,求其关于连续单元密度的灵敏度精确值,并引入离散单元密度求得近似灵
第三周读书笔记 1. 牛顿法 Pure Newton's Method 在上一章中具体讨论了梯度方法，该类方法只应用了一阶最优条件的信息，即梯度。此外，在讨论标度梯度法时还简单地讨论到Newton方法，该类方法进一步地应用到二阶最优条件地信息，即Hessian矩阵。该章重点介绍牛顿法，与梯度方法利用梯度进行新点迭代的方法不同，牛顿法的点更新方法如下：若假设函数在处的Hessian矩阵是正定矩阵，即。那上面的最小化问题有唯一的稳定点，也是全局最小点： 其中，向量也被称作牛顿方向，利用以上更新公式进行迭代的方法也被称作纯粹牛顿方法。算法流程图如下： 牛顿法要求在每次更新处的Hessian矩阵为正定矩阵。或者我们可以放宽一点条件——即在定义域内的任意点处的Hessian矩阵均为正定，这说明了存在一个唯一的最优解。但是，这并不能保证算法的收敛性。 事实上，牛顿法在某些假设下具备很好的收敛性能（称局部二次收敛）——令在上二阶连续可导，假设： 存在，对任意有 存在，对任意，有 令是牛顿方法得到的序列，是在上唯一最小值。那么对任意，以下不等式成立： 此外，如果，那么
证明如下： 事实上，对于某些不满足上述条件（正定、李普希兹连续）的优化问题，牛顿方法也能表现出收敛性。但是，总的来说，当缺少这些严格假设时收敛性无法得到保障。为了解决即使在Hessian矩阵正定也无法保障牛顿法的收敛性问题下，进一步地提出一种步长解决方案，即阻尼牛顿法。 阻尼牛顿法 在纯粹牛顿法的基础上，我们在进行迭代更新时，重新加入步长选择机制，如利用回溯法进行步长选择的阻尼牛顿法，算法流程如下：
cholesky分解 这一小节是针对前部分的补充知识——在利用牛顿法解决相关优化问题的时候，我们会遇到判断Hessian矩阵是否正定，以及求解线性系统的问题，这两个问题都可以通过cholesky分解来解决。 给定一个的正定矩阵，cholesky分解的形式为，其中是一个的下三角矩阵且其对角元素为正数。一般利用cholesky分解去解决线性系统分为以下两步： 1. 找到的解 2. 找到的解 可以通过一个简单的递推公式计算cholesky因子。如下：
B5: 全局优化应用 西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2010 优化介绍 优化（optimization）的目标是从一组可能的答案中发现问题的最佳解。答案通过使用一个或多个问题变量的实际值目标函数（objective function）进行对比。可能的集合（feasible set ）由约束条件（constraints）决定，约束条件通常是关于问题变量的不等式或方程（组）。数学意义上，目的是发现目标函数的最大值（maximizes）或最小值（minimizes ）、同时满足（ satisfying）约束条件的点，这个点称为极值（extremum）。优化问题定义如下。 的最大值（或最小值 约束条件 , , 和 , 这里， 优化模型由, , 和 的结构分类。如果所有的函数是 x 线性函数，这个模型是一个线性规划（linear program）。如果 是 x 的二次函数，以及 和 是 x 的线性函数，这个模型是一个二次规划（quadratic program）。如果 是一个平方和函数，这个模型是一个非线性规划（least-squares problem）。对于其他任意结构，模型称为非线性回归（NLP）。Maple 9.5中的优化程序包（Optimization）提供了一系列算法分别求解这些类型的问题。 传统上，优化研究集中在局部搜索算法（local）。局部搜索的目的是发现 f(x) 在可行区域内的局部极值。从一个初始点出发，局部搜索算法迭代（iteratively）搜索当前点领域中的一个点，提高目标函数值，同时维持或逼近可行性、使用当前点上关于 , , 和 的迭代信息。理想情况下，搜索会终止于一个可行的局部极值。优化算法的不同决定它们如何衡量逼近可行，以及它们如何搜索。 当在可行区域内有唯一的局部极值时，局部搜索是有效的，这是因为搜索发现的局部解是问题的全局解。如果, 都是凸函数（convex），并且所有的是仿射函数（affine）时，极值是唯一的。 当 在可行区域内有许多局部极值，局部搜索难以完成。在这种情况下，局部极值的发现依赖于起始点，但可能并不是全局解。当任一个, 是非凸函数，或者任一个 是非线性函数时，存在多个局部最小值。非凸性经常存在于现实问题中，可能是求解优化问题最大的障碍。全局优化（Global）是最新的和最成功方法，能够克服这个障碍。
数学建模案例之 多变量有约束最优化 问题2[1]（续问题1）：在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现在我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白电视记得生产。这样装配厂就有了额外的生产能力。这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每年可以生产10000台电视（约每周200台）。公司有充足的19英寸、21英寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？ 清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？ 1．问题分析、假设与符号说明 这里涉及的变量和问题１相同： s：19英寸彩电的售出数量（台）； t：21英寸彩电的售出数量（台）； p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）； q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）； C：生产彩电的成本（美元）； R：彩电销售的收入（美元）； P：彩电销售的利润（美元） 这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元； 每种彩电的生产成本分别为：195美元和225美元； 每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元； 固定成本400000美元。 变量之间的相互关系确定：
B5: 全局优化应用 莎益博工程系统开发（上海）有限公司，2010 优化介绍 优化（optimization）的目标是从一组可能的答案中发现问题的最佳解。答案通过使用一个或多个问题变量的实际值目标函数（objective function）进行对比。可能的集合（feasible set ）由约束条件（constraints）决定，约束条件通常是关于问题变量的不等式或方程（组）。数学意义上，目的是发现目标函数的最大值（maximizes）或最小值（minimizes ）、同时满足（ satisfying）约束条件的点，这个点称为极值（extremum）。优化问题定义如下。 的最大值（或最小值 约束条件 , , 和 , 这里， 优化模型由, , 和 的结构分类。如果所有的函数是 x 线性函数，这个模型是一个线性规划（linear program）。如果 是 x 的二次函数，以及 和 是 x 的线性函数，这个模型是一个二次规划（quadratic program）。如果 是一个平方和函数，这个模型是一个非线性规划（least-squares problem）。对于其他任意结构，模型称为非线性回归（NLP）。Maple 9.5中的优化程序包（Optimization）提供了一系列算法分别求解这些类型的问题。 传统上，优化研究集中在局部搜索算法（local）。局部搜索的目的是发现 f(x) 在可行区域内的局部极值。从一个初始点出发，局部搜索算法迭代（iteratively）搜索当前点领域中的一个点，提高目标函数值，同时维持或逼近可行性、使用当前点上关于 , , 和 的迭代信息。理想情况下，搜索会终止于一个可行的局部极值。优化算法的不同决定它们如何衡量逼近可行，以及它们如何搜索。 当在可行区域内有唯一的局部极值时，局部搜索是有效的，这是因为搜索发现的局部解是问题的全局解。如果, 都是凸函数（convex），并且所有的是仿射函数（affine）时，极值是唯一的。 当 在可行区域内有许多局部极值，局部搜索难以完成。在这种情况下，局部极值的发现依赖于起始点，但可能并不是全局解。当任一个, 是非凸函数，或者任一个 是非线性函数时，存在多个局部最小值。非凸性经常存在于现实问题中，可能是求解优化问题最大的障碍。全局优化（Global）是最新的和最成功方法，能够克服这个障碍。
精心整理 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3 4 1.2 2. 2.1 1 2 3 2.2 3. 3.1 1 2 3 3.2 4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降
方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t.g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。 6.1遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象（一般就是问题的解）的一种称呼。 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体,它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 6.2遗传算法基本流程 遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作,最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T；
基于MATLAB 的多变量 优化问题 小组成员：刘浩李莲喜骆开荣刘晓康学号：S1402W011、7 S1402W014、3 S1402M0005、S1402W0246
MATLAB 在多变量优化问题的应用 【摘要】实际生活中我们有许多地方需要用到数学中的一些最值运算，而有些问题我们无法进行计算，因此就有了优化设计理论这门学科，优化理论是一门实践 性很强的学科，广泛应用于生产管理、军事指挥和科学试验等各种领域，为了更好的学习这门课程，为我们所用，MATLAB 优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案，可用于解决工程中的最优化问题，包括非线性方程求解、极小值问题、最小二乘问题等。 一、问题的提出 MATLAB 具有强大的科学计算与视化功能、简单易用、开放式的可扩展环境，编写简单，编程效率高，易学易懂，将MATLAB 应用到解决最优化问题的模块中学习，利用客观、视图、计算等功能对最优化问题模块做出最简洁有效的解答。 二、在多变量优化问题的应用 1.问题一：运用MATLAB 软件编写多变量优化问题求解 采用的算法：牛顿法 程序框图： 目标函数图形： MATLAB 程序： clear x=-10:0.5:10; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X-4)A2+(Y+2)A2+1; surf(X,Y,Z) syms t s; f=(t-4)A2+(s+2)A2+1; [x,mf]=minNT(f,[-1 5],[t s]) function [x,minf]=minNT(f,x0,var,eps) format long; if nargin==3 eps=1.0e-6; end tol=1; x0=transpose(x0); while tol>eps
五种最优化方法 1. 最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2 原理和步骤
3. 最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2 最速下降法算法原理和步骤
4. 模式搜索法(步长加速法) 4.1 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤
5.评价函数法 5.1 简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有
本科毕业设计论文题目：随机优化技术研究 专业名称： 学生姓名： 指导教师： 毕业时间：
毕业 任务书 一、题目 随机优化技术研究 二、指导思想和目的要求 1.随机优化技术 优化是人类在生产和社会活动中所追求的目标，也是人们在工程技术、科学 研究等诸多领域中经常遇到的问题。在人类的生产和社会活动中，要办好一件事（指规划、设计等），都期望能够得到最满意、最好的结果或效果。为了实现这种期望，必须有好的预测和决策方法。 优化是以数学为基础，用于求解各种工程问题优化解的一种应用技术。作为 一个重要的科学分支，最优化理论和方法一直受到人们的广泛重视，它对多个学科都产生了重大影响，优化算法是一种搜索过程或规则，它基于某种思想和机制，通过一定的途径或规则来得到满足用户问题要求的优化解。 2.蚁群优化算法 20世纪50年代中期创立了仿生学，人们从生物进化的机理中受到启发。提出 了许多用以解决复杂优化问题的新方法，如进化规划、进化策略、遗传算法等，这些算法成功地解决了一些实际问题。 20世纪90年代意大利学者M ．Dorigo ，V ．Maniezzo ，A ．Colorni 等从生物 进化的机制中受到启发，通过模拟自然界蚂蚁搜索路径的行为，提出来一种新型的模拟进化算法——蚁群算法，是群智能理论研究领域的一种主要算法。用该方法求解TSP 问题、分配问题、job-shop 调度问题，取得了较好的试验结果．虽然研究时间不长，但是现在的研究显示出，蚁群算法在求解复杂优化问题（特别是离散优化问题）方面有一定优势，表明它是一种有发展前景的算法。 3.粒子群优化算法 Kennedy 在他的书中描述了粒子群算法思想的起源。 自 20 世纪30 年代以来，社会心理学的发展揭示：我们都是鱼群或鸟群聚 集行为的遵循者。在人们的不断交互过程中，由于相互的影响和模仿，他们总会 设计 论文
第7章 多维约束优化方法 Chapter 7 Constrained Several Variables Technique 7-1 概述 Summarize 工程中的优化设计问题绝大多数是约束优化问题，即 n R X X f ∈) (m in n p v X h m u X g t s v u <===≥,,2,10 )(,,2,10 )(.. 约束最优点不仅与目标函数的性质有关，也与约束函数的性质有关。因此，约束优化问题比无约束优化问题情况更复杂，求解困难也更大。 根据对约束条件处理方法的不同，解决约束优化问题的方法分成二类: 1) 直接法 Direct Method 寻优过程直接在设计空间的可行域D 内进行，但对每一个迭代点)(k X 必须进行可行性 ()(()01,2,,)k u g X u m ≤= 和下降性))()(()1()(+>k k X f X f 检查。直接算法简单，直观性 强，对目标函数和约束函数的函数性态没有特殊的要求。但是它的计算量大、收敛速度慢，因此效率低，比较适用于解决低维数的、具有不等式约束的优化问题。这类算法包括随机方向法、复合形法等。 2) 间接法 Indirect Method 间接法的主要思路是，首先将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后再用无约束 优化方法来进行求解。间接解法分很多类，其中比较有代表性的、用的比较广泛的是惩罚函数法。 7-2 惩罚函数法 Penalty Method 在将约束优化问题转换成无约束优化问题时,惩罚函数法的处理思路与拉格朗日法很相似, 都是把目标函数与约束条件合并形成新的函数,而后求其最优解。但惩罚函数法得到的新函数不是一个而是一个系列。因此，用无约束优化算法求解得的最优解也是一个系列，即 * *2*1,,k X X X ，当k →∞时，* * k X X →。因此，惩罚函数法又称序列无约束最小化技术 Sequential Unconstrained Minimization Technique ， 即SUMT 法。 7-2-1惩罚函数法的基本原理 Principle 根据约束优化问题 n R X X f ∈) (m in ..()0 1,2,,()0 1,2,,u v s t g X u m h X v p n ≤===< 构造新的函数 --- 惩罚函数 ∑ ∑==++=m u p v v k u k k k X h H r X g G r X f r r X 1 1 ) (2) (1)(2)(1)]([)]([)() ,,(? 其中，)]([X g G u ，)]([X h H v 是)(X g u 和)(X h v 的复合函数；)(2)(1,k k r r 是在迭代过程中随迭代次数k 的增大而不断调整的参数，称为惩罚因子Penalty Factor ，它们是单调增monotone increasing (decreasing) 或者单调减的正实数数列positive real number ； )]([)(1X g G r u k 和
2005年7月系统工程理论与实践第7期 文章编号:100026788(2005)0720113204 一种混合整数双层线性规划的全局优化方法 赵茂先1,2,高自友1 (11北京交通大学系统科学研究所,北京100044;21山东科技大学应用数学系,山东泰安271019) 摘要: 通过求得下层问题的对偶问题可行域上的极点,将上层所有变量为021型变量和下层所有变量 为连续型变量的双层线性规划转化为有限个混合整数线性规划问题,从而用求解混合整数线性规划的 方法获得问题的全局最优解.由于下层问题的对偶问题可行域只有有限个极点,所提出的方法具有全局 收敛性. 关键词: 混合整数双层线性规划;混合整数线性规划;对偶问题;极点 中图分类号: O221.1;O221.4 文献标识码: A A G lobal C onvergent Alg orithm for S olving the M ixed Integer Bilevel Linear Programming Problem ZHAO Mao2xian,G AO Z i2y ou (11Institute of System Sciences,Beijing Jiaotong University,Beijing100044,China;21Department of Applied Mathematics,Shandong University of Science and T echnology,T ai’an271019,China) Abstract: The mixed integer bilevel linear programming problem(MI BLPP),where the upper2level decision maker controls all zero2one variable and the lower2level decision maker controls all continuous variables,is discussed.By s olving the extreme points of the follower’s dual problem,the MI BLPP is decomposed into a series of mixed integer linear program https://www.doczj.com/doc/e215751348.html,ing mixed integer linear program methods,a global optimal s olution to the MI BLPP can be obtained. K ey w ords: mixed integer bilevel linear programming;mixed integer linear program;dual problem;extreme point 对于大系统和复杂系统,层次性是系统的主要特征之一.多层规划正是为了研究系统层次性而产生的,并正逐渐形成一个新的运筹学分支.在多层规划应用中,以双层规划最为常见,这是因为现实中的决策系统大都可看作双层决策系统,并且任何多层决策系统都是一系列双层决策系统的复合. 双层规划问题是由非合作且有序的两个优化问题组成,上层首先给下层一定信息,下层在这些信息下按自己的利益做出反应,上层再根据下层的反应作出符合全局利益的决策.在许多双层优化问题中,要求某些变量只能取整数,例如企业人力资源规划问题、生产设备分配问题以及城市交通网络设计问题等.变量的离散性使得问题变得复杂,即使对较简单的混合整数双层线性规划,也可能导致问题无解.M oore和Bard[1]对上、下层都有离散变量的混合整数双层线性规划问题进行了讨论,并给出了一种分支定界求解算法,该算法只有在上层无连续变量的情况下,才能保证收敛.Bard和M oore[2]对上、下层所有变量都为021型变量的混合整数双层线性规划问题加以了研究,通过对构造出的参数整数规划不断进行求解,提出了一种分支定界方法.本文将讨论上层所有变量为021型变量和下层所有变量为连续型变量的双层线性规划问题,通过求得下层问题的对偶问题可行域上的极点,将问题转化为有限个含021型变量的混合整数线性规划问题,从而用混合整数线性规划的方法求得问题的全局最优解. 1 模型与定义 设x为021型变量组成的n维列向量,y为连续变量组成的m维列向量,本文讨论的混合整数双层 收稿日期:2004206201 资助项目:国家杰出青年科学基金(70225005);教育部高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划(2001) 作者简介:赵茂先(1966-),男,江苏江都人,副教授,在职博士,主研方向为最优化理论与算法.
1.遗传算法 遗传算法（Genetic Algorithms, GA）是由美国密歇根大学的John H.Holland教授及其学生于20世纪60年代末到70年代初提出的。在1975年出版的《自然与人工系统的自适应性》一书中，Holland系统地阐述了遗传算法的基本原理和方法，提出了对遗传算法的理论发展极为重要的模板理论。 遗传算法基本思想： 遗传算法是根据问题的目标函数构造一个适值函数，对于有多个解构成的种群进行评估、遗传运算、选择，经多代繁殖，获得适应值最好的个体作为问题的最优解。具体描述如下。 1)产生初始种群 遗传算法是一种基于群体寻优的方法，算法运行时是以一个种群在搜索空间进行搜索。一般是采用随机方法产生一个初始种群。也可以采用其他方法构造一个初始种群。 2)根据问题的目标函数构造适值函数 在遗传算法中使用适值函数来表征种群中每个个体对其生存环境的适应能力，每个个体具有一定的适应值。适应值是种群中个体生存机会的唯一确定值。适值函数直接决定着群体的进化行为。适值函数基本上依据优化的目标函数来确定。为了能够直接将适值函数与群体中的个体优劣相联系，在遗传算法中适应值规定为非负，并且在任何情况下总是希望越大越好。 3)根据适应值的好坏不断选择和繁殖 在遗传算法中自然选择规律的体现就是以适应值的大小决定的概率分布来进行计算选择。个体的适应值越大，该个体被遗传到下一代的概率越大；反之，个体适应值越小，该个体被遗传到下一代的概率越小。被选择的个体两两进行繁殖，繁殖产生的个体组成新的种群。这样的选择和繁殖的过程不断重复。 4)若干代后得到适应值最好的个体即为最优解 在若干代后，得到适应值最好的个体所对应的解即被认为是问题的最优解。 遗传算法构成要素： a)种群和种群大小 种群是有染色体构成的。每个个体就是一个染色体，每个染色体对应着问题的一个解。种群中个体的数量称为种群大小或种群规模。种群规模通常采用一个不变的常数。一般来说种群规模越大越好，但是种群规模增大也将导致运算时间的增大。在一些特殊情况下，群体规模也可能采用与遗传代数相关的变量，以获取更好的优化效果。 b)编码方法（Encoding Scheme） 编码方法也称为基因的表达方法。在遗传算法中，种群中每个个体，即染色体是由基因构成的。所以染色体与要优化的问题的解如何进行对应，就需要通过基因来进行表示，即染色体进行正确的编码(一般用二进制编码)。正确地对染色体进行编码来表示问题的解是遗传算法的基础工作，也是最重要的工作。 c)遗传算子（Genetic Operator） 遗传算子包括交叉（Crossover）和（Mutation）。遗传算子模拟了每一代中创造后代的繁殖过程，是遗传算法的精髓。 交叉是最重要的遗传算子，它同时对两个染色体进行操作，组合二者的特性产生新的后代。交叉最简单的方式是在双亲的染色体上随机地选择一个断点，将断点的右段相互交换，从而形成两个新的后代。这种方式对于二进制编码最适合。遗传算法的性能很大程度上取决于采用的交叉运算的方式。 交叉率定义为各代中交叉产生后代数与种群中个体数的比。显然，较高的交叉率将达到更大的解空间，从而减小停止在非最优解上的机会；但交叉率过高，会因过多搜索不必要的
多维无约束优化算法 多维无约束优化问题的一般数学表达式为： 求n 维设计变量 使目标函数 多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法，它是优化技术中最重要最基础的内容之一。因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题，有时也是通过对约束条件的适当处理，转化为无约束优化问题来求解的。所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 （1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。 （2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n ≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。 各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向，因此，搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。 下面介绍几种经典的无约束优化方法。 1、梯度法 基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。 搜索方向s 取该点的负梯度方向 (最速下降方向) ，使函数值在该点附近的范围内下降最快 。 为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值，其步长因子应取一维搜索的最佳步长。即有 12[]T n x x x = x ()min f →x ()k f -?x k αmin ()n f R ∈x x 1(0,1,2,)k k k k s k α+=+= x x 1(0,1,2,) k k k k s k α+=+= x x 1()(0,1,2,) k k k k a f k +=-?= x x x 1()[()]min [()]min ()k k k k k k k a a f f a f f a f ?α+=-?=-?=x x x x x
第六章 最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题 第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设
优化 英文optimization，从本质上来讲，是数学问题，为了严谨起见，我们也要先从数学定义说起，只是我的数学描述是根据我的理解来的，相当粗略，有些符号还打不出来： 定义： 如果有一个函数，它是变量x或者一个变量集{x1, x2, ... xn}(这个我们也可以称为矢量，或者向量X）的函数，我们可以把它写为f(x)或者f(X),通过改变变量，来找到函数的最大值或者最小值 注意： 1。这里对函数没有明确的限制（比如品优，连续之类的） 2。这里的函数f必须是many to one function，而不能是one to many function。也就是说同样的x必须给出同样的f值。 3。最小化f(x)相当于最大化－f(x)，对于X是矢量的情况，也是一样 对我们量化来说，这个f值通常就是能量，而变量基本上不会是单一的，而是会有一系列的变量，对于能量优化（单点计算）而言，这一系列的变量就是LCAO 的MO轨道的系数值 对于几何优化，就是一系列的键长，键角之类的。对于一般的程序几何优化，那就是转化为一系列的体系的坐标，guassian默认几何优化是用冗余内坐标。 我们也经常碰到“势能面”这个概念，它就是能量关于坐标的函数。这里的坐标是广义的。 量化中的优化就是找极值点，平衡构型搜索是找势能面极小点，而过渡态的则是找势能面的鞍点。 之所以叫做“优化”，主要原因就在于无法（或者很难）找到“最”，而是很快找到“可接受”。这是优化的含义所在。如果是得到“最”，那叫做“解”，而不能叫做“优化”。 什么是全局优化？什么是局域优化？ 我们讲最小化，从数学上来说，就是 在其定义域内，我们能找到这样的x* 使得f(x)>f(x*) 这就是全局优化（最小化），最大化可以同样定义。 局域优化，就是 在一个小的范围内，即x属于[-d,d],d是个实数，一般这个数都比较小 能找到这样的x* 使得f(x)>f(x*) 我们在文献中常常看到全局最小，局部最大之类，那就是local minima，global maxima
第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题
第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)( 第6章 多变量无约束优化算法 Chapter6 Unconstrained Several Variables Technique 6-1 概述 在求解目标函极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加任何限制，则这类优化问题就称为无约束优化问题，其数学模型如下 n R X X f ∈) (m in 在实际问题中，没有约束条件的优化问题是很少的，但尽管如此，人们仍然花大量的时间和精力来研究这类算法，其主要原因是 1) 有些实际问题可以近似地处理成无约束优化问题； 2) 通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础； 3) 约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 从第4章优化问题的经典解法知，无约束优化问题的求解可以直接利用极值条件来 确定极值点的位置，即 0)(*=?X f 对于n 维问题而言，这是一个含有n 个未知量、n 个方程的方程组，并且一般是非线性的方程组。除了特殊情况外，非线性方程组的求解也是一个非常困难的问题，一般很难用解析方法求解。因此，无约束优化问题求极值的通常作法就是用数值解法。数值解法最常用的方法是下降迭代法step-down iteration ，其基本思想是从给定的初始点 )0(X initial point 出发，沿某一搜索方向)0(S searching direction 进行搜索，确定最佳 步长optimal increment 0α，使函数值沿)0(S 方向下降最大，形成的迭代下降算法 iteration formula )()()()1(k k k k S X X α+=+ 要求requiring )()()()1(k k X f X f <+ 如何产生这些下降的搜索方向，就成为各种无约束优化方法的主要区别和特征。根据构成搜索方向所使用的信息不同，无约束优化方法可以分成二类，一类是只利用（计算）目标函数值就能构成搜索的无约束优化方法，如坐标轮换法、Powell 法等，统称直接法direct method ；另一类是利用目标函数一阶或二阶导数构成搜索的无约束优化方法，如梯度法、牛顿法等，称为间接法indirect method 。前者简单，且对目标函数要求不高（不要求一、二阶导数存在），适用范围较广，但收敛速度比较慢。而后者，虽计算量大，但收敛速度很快。 Key: How to construct search direction Two groups: by objective function values; by first and second order derivatives of objective function. 6-2 梯度法 Gradient Method 梯度法属于利用函数的一阶偏导来构造搜索方向的间接优化算法的一种。 6-2-1基本思想 Principle 根据目标函数)(X f 在它的负梯度方向)()(k X f ?-具有函数值下降最快的局部特性，梯度法是将n 维无约束优化问题转化为一系列按照函数值下降最快方向的一维搜索问题，即按照下面迭代公式搜索 Iteration Formula多变量无约束优化算法
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