基于离散变量的连续体结构拓扑优化算法及应用研究
在结构优化领域,连续体结构拓扑优化越来越多地应用在土木工程结构的优化设计当中。作为一种主流拓扑优化方法,渐进结构优化(ESO)方法从完全启发式算法逐渐发展为成熟的硬杀/软杀双向ESO(BESO)方法。
尽管已提出多种BESO方法及其改进算法,但其设计变量通常仅在两端点取值,不仅容易引起收敛稳定问题,而且在优化应用中需引入启发式准则或算法。为此,本文提出基于离散变量和BESO准则的拓扑优化算法并应用于多种优化问题,以开发其优良特性并扩展其应用范围。
首先,针对基于离散尺寸变量的BESO(DSV-BESO)算法不能用于拓扑优化的问题,分别将离散单元密度和离散水平集函数(DLSFs)定义为拓扑设计变量,并提出三种双向演化准则,建立基于离散变量的BESO(DV-BESO)算法,解决了拓扑优化问题。通过用离散变量代替两端点变量,DV-BESO算法改进了软杀BESO方法的灵敏度精度和收敛稳定性。
然后,在多位移约束优化中,针对DSV-BESO算法在拉格朗日乘子法中采用经验公式可能导致无法求得局优解的问题,提出DV-BESO改进算法,通过将经验公式替换为Powell-Hestenes-Rochafellar增广拉氏乘子法(简称PHR算法)。在全局位移控制优化中,进一步改进了PHR算法的收敛振荡问题。
通过用PHR算法代替启发式算法,DV-BESO改进算法改进了软杀BESO方法不能用结构体积以外的目标函数以及最终位移约束与位移限值相差较大等问题。第三,为将DV-BESO改进算法推广到应力约束优化问题,首先引入放松策略和聚合策略对每个聚合区域构造放松应力函数;然后构造应力约束优化问题的拉格朗日函数,求其关于连续单元密度的灵敏度精确值,并引入离散单元密度求得近似灵
敏度;最后采用DV-BESO改进算法求得局优解。
通过求解应力约束优化问题,验证了DV-BESO改进算法能够解决大规模局部约束优化问题,并为解决其他约束优化问题提供了统一的思路。第四,为了验证DV-BESO算法及其改进算法的合理性,以及算法的各个参数对最终拓扑和目标函数的影响,分别对位移和应力约束优化问题进行参数研究。
对体积目标多位移约束优化问题,首先采用基于经验公式的DV-BESO算法研究离散密度取值、灵敏度修正系数和进化率初始值等三种参数。然后采用
DV-BESO改进算法研究这三种参数以及过滤半径连续策略的系数、预定义位移限值和拉氏乘子法的系数等六种参数。
对柔度目标全局位移控制优化问题,DV-BESO改进算法研究这六种参数;针
对最终柔度相差较小情况,提出最小柔度选取准则,获得一个或三个局优解。对多位移约束和全局位移控制优化问题,分别求得各参数对最终体积分数和最终柔度分数的影响范围,并排列出对应于每种准则的参数影响程度顺序。
对柔度目标应力约束优化问题,采用DV-BESO改进算法研究离散密度取值、灵敏度修正系数、进化率初始值、过滤半径、惩罚系数的初始值及其连续策略的系数和应力约束等八种参数。分别采用三种双向演化准则选取部分参数求其对最终柔度分数的影响范围,并排列出对应于每种准则的参数影响程度顺序。
第五,针对基于DLSFs的DV-BESO算法难以获得局优解、其边界不够光滑和迭代次数较多,以及传统水平集方法(LSMs)不能自行成孔和计算效率较低等问题,通过组合双向演化算法和局部水平集方法(LLSM)提出一种新算法。首先采用基于DLSFs的双向演化算法按照BESO优化准则,得到稳定拓扑解。
然后组合基于局部水平集函数(LLSF)的LLSM进一步演化拓扑和形状的局部
细节。通过迭代求解距离正则化方程(DRE)将最终DLSFs转换为初始LLSF。
双向演化算法将拓扑导数作为灵敏度,Shepard插值函数用于灵敏度过滤策略。用DRE代替重生成步骤提高了LLSM的计算效率。
构造逆扩散约束下DRE的条件稳定差分格式确保了其数值稳定性。在组合算法中,双向演化算法能够避免LLSM的孔洞成核问题,LLSM进一步改进双向演化算法的收敛性并至少获得局优解。
