2020届江苏省淮安市高三下学期5月调研测试数学试题(wd无答案)

江苏省扬州市2020届高三数学下学期5月调研测试试题（含解析）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______.【答案】{}|02x x << 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以AB ={}|02x x <<.故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题. 2.已知()12i z i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为_______.【答案】2【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出213122i z i i +==+-，再根据复数模的运算z =即可求解.【详解】()()()()()212131312111222i i i i i z i z i i i i ++++-=+⇒====+--+，所以2z ==.故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取_______名学生. 【答案】30 【解析】 【分析】首先算出高三年级学生人数在总学生人数中占的比例，然后将比例与抽取的学生人数相乘即可求解.【详解】高三年级在总学生人数中占的比例：600110008006004=++，所以高三年级需抽取人数为：1120304⨯=. 故答案为：30【点睛】本题考查了分层抽样的特征，掌握分层抽样的概念以及特征是解题的关键，属于基础题.4.如图伪代码的输出结果为_______.【答案】15 【解析】 【分析】分析程序语言，得出该程序运行后是计算并输出S 的值，写出运行结果即可. 【详解】该程序运行后是计算并输出：1234515S =++++=. 故答案为：15【点睛】本题考查了程序语言的问题，考查了学生的推理能力，难度较小，属于基础题.5.若实数x ，y 满足0110x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则2x y -的最小值为_______.【答案】-1【分析】作出约束条件的可行域，令2z x y =-，平移直线2y x =，转化为2y x z =-截距的最大值即可求解.【详解】作出约束条件0110x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）：令2z x y =-，转化为2y x z =-截距的最大值作出直线2y x =，平移该直线，当直线经过点A 时，直线2y x z =-的截距最大，10x x y =⎧⎨+-=⎩， 解得0x =，1y =，即()0,1A ， 所以min 2011z =⨯-=-. 故答案为：-1【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.6.已知{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，则直线10ax by 不经过第二象限的概率为_______. 【答案】16【分析】(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10axby 不经过第二象限，从而0a ≥，0b ≤，由此利用列举法能求出直线不经过第二象限的概率.【详解】直线：10ax by ，若{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，∴(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10ax by 不经过第二象限，∴0a ≥，0b ≤，∴满足直线10ax by 不经过第二象限的(),a b 有：()1,3-，共1种情况. ∴直线10ax by 不经过第二象限的概率为16P =. 故答案为：16【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，列举法求基本事件个数，属于基础题.7.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为_______.【答案】【解析】 【分析】求出抛物线的焦点()3,0F ，从而求出b ，进而求出虚轴长2b 即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点()3,0F ，双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，2249b c ∴+==，解得b =所以2b =故答案为：【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的简单几何性质，需掌握双曲线的虚轴以及双曲线、抛物线的焦点，属于基础题. 8.已知α为锐角，且1cos()63πα+=，则cos α=_______.【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系可得sin()63πα+=，由cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式展开即可求解. 【详解】由α为锐角，且1cos()63πα+=，所以sin()63πα+==， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=+【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，则5S =_______.【答案】121 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】由题意， 1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，设等比数列{}n a 的公比为q ，所以25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =， 所以55181********S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 故答案为：121【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.10.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面ABCD 的中心，设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S 、2S ，则12S S =_______.【解析】 【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积即可求解. 【详解】如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为：142324S =⨯⨯=， 正四棱锥1111O A B C D -=∴正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为：21422S =⨯⨯=∴123105410S S ==. 故答案为：3105【点睛】本题考查了多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题.11.已知曲线C ：()3f x x x =-，直线l ：y ax a =-，则“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】由已知可得，曲线C 与直线l 均过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确a 的取值，再结合充分必要性作出判断【详解】()231f x x '=-，直线l ：y ax a =-过点()1,0，曲线C 也过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ， 则切线为()2300312y x x x =--，则2030312x a x a ⎧-=⎨=⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩或01214x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要【点睛】本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题. 12.已知0x >，0y >，则16y x x xy++的最小值为_______.【答案】【解析】 【分析】由21616y y x x x xy xy+++=+，两次利用基本不等式即可求解.【详解】由0x >，0y >，21616248y y y y x x x x x xy xy xy xy +⋅⋅++=+≥+=+≥=，当且仅当x =4y =时取等号，故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.13.已知点D 为圆O ：224x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为()1,0，且1AM AN →→⋅=，则OA OD →→⋅的最小值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】设(),D x y ，222222441AM AN AD DN AD OD AD OD →→→→→→→→⎛⎫⋅=-=--=+-= ⎪⎝⎭，利用向量模的坐标运算求出点D 的轨迹方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由OA OD x →→⋅=，根据点D 的轨迹方程即可求解.【详解】设(),D x y ，AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222441AD DN AD OD AD OD →→→→→→⎛⎫=-=--=+-= ⎪⎝⎭，()1,AD x y →=-，(),OD x y →= ，()222215x y x y ∴-+++=，即222x x y -+=，221924x y ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，13122OA OD x →→⋅=≥-=-.则OA OD →→⋅的最小值为-1. 故答案为：-1【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积的坐标运算，考查了转化与化归的思想，属于中档题.14.数列{}n a 中，11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，设{}n a 的前n 项和为n S ，若142n n S λ-≤⋅恒成立，则实数λ的取值范围是_______. 【答案】332λ≥ 【解析】 【分析】11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+，可得43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =，可得()4311332n a n n -=+-⨯=-，()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n-=+++264n n =+， 由142n n S λ-≤⋅恒成立，只需21max642n n n λ-⎧⎫+≥⎨⎬⎩⎭即可，通过作差可得其单调性，即可得出最大值.【详解】由11a =，*1*1,4,4n n nn a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+， 所以43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =所以()4311332n a n n -=+-⨯=-， 所以()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n -=+++()213246642n n n n n +-=⨯+=+，由142n n S λ-≤⋅恒成立，即21642n n n λ-+≤⋅恒成立21max642n n n λ-⎧⎫+∴≥⎨⎬⎩⎭， 设21642n n n nc -+=， 则()()222116141646810222n n n n nn n n n n n c c +-++++-++-=-=， 当1n =时，26810120n n -++=>，即210c c ->， 当2n =时，2681020n n -++=>，即320c c ->， 当3n =时，26810200n n -++=-<，即430c c -<， 由二次函数的性质可知当4n ≥时，10n n C C +-<可得345n c c c c >>>>，且123c c c <<，所以{}3max 332n c c ==， 332λ∴≥. 故答案为：332λ≥【点睛】本题考查了数列的恒成立问题、等差数列的前n 项和公式，数列的单调性，考查了转化与划归的思想，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.（1）求角A 的值；（2）若6tan 5B =，求sin 2C 的值. 【答案】（1）4A π=.（2）1161【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式化简可得sin cos A A =，从而可得tan 1A =，即可求得A 的值.（2）利用两角和的正切公式可得tan()tan 114A B B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，再有A B C π++=，求出()tan tan 11C A B =-+=，再利用二倍角公式sin 22sin cos C C C =，利用弦化切齐次式即可求解.【详解】解：（1）因为2cos S bc A =，所以12sin cos 2bc A bc A ⨯=， 则sin cos A A =，因为在ABC 中，()0,A π∈，所以sin cos 0A A =>， 所以tan 1A =， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，又因为6tan 5B =，所以611tan5 tan()tan11641tan15BA B BBπ++⎛⎫+=+===-⎪-⎝⎭-，因为在ABC中，A B Cπ++=，所以()tan tan11C A B=-+=，所以222sin cossin22sin cossin cosC CC C CC C==+222tan21122111tan11112261CC⨯====++.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的正切公式、二倍角公式以及齐次式求三角函数值，属于基础题.16.如图，三棱柱111ABC A B C-中，1BC B C=，O为四边形11ACC A对角线交点，F为棱1BB 的中点，且AF⊥平面11BCC B.（1）证明：//OF平面ABC；（2）证明：四边形11ACC A为矩形.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AC中点D，连结,OD BD，由题意111////BB CC AA且11BB AA=，证出//OD BF，且OD BF=，进而可得//OF BD，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）首先证出1CF BB⊥，利用线面垂直的性质定理证出1AF BB⊥，再利用线面垂直的判定定理证出1BB⊥平面AFC，从而可证出1BB AC⊥，根据11//BB CC，即证1AC CC⊥. 【详解】证明：（1）取AC中点D，连结,OD BD.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形，111////BB CC AA 且11BB AA =.因为O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点，所以O 为1A C 中点， 又D 为AC 中点，所以1//OD AA ，且112OD AA =. 又11//BB AA ，11BB AA =，所以1//OD BB ，且112OD BB =.又F 为1BB 中点，所以//OD BF ，且OD BF =， 所以ODBF 为平行四边形， 所以//OF BD ，又因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以//OF 平面ABC ：（2）因为1BC B C =，F 为1BB 中点，所以1CF BB ⊥，又因为AF ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以1AF BB ⊥.因为1CF BB ⊥，1AF BB ⊥，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF AF F ⋂=， 所以1BB ⊥平面AFC .又AC ⊂平面AFC ，所以1BB AC ⊥， 又由（1）知11//BB CC ，所以1AC CC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形， 所以四边形11ACC A 为矩形.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及性质定理，属于基础题. 17.某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为63ππθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；②架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形111A B C 均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2:3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形111A B C 的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.（1）当3πθ=时，求“支架高度”；（2）求“支架需要空间”的最大值. 【答案】（1）32米.（2）950立方米.【解析】 【分析】（1）根据题意1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米，从而31sin 3h π=⨯=. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O ，且1111113cos 5O A O C O B θ===，表示出111A B C △S ，进而2273sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin t θ=，利用导数即可求解. 【详解】解：（1）因为架面与架底平行，且1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米， 所以“支架高度”31sin3h π=⨯=（米）. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O .又11O A ⊂平面111A B C ，所以111OO O A ⊥， 又1AA 与地面所成的角为θ，所以113cos 5O A θ=， 同理11113cos 5O C O B θ==， 所以1O 为等边三角形111A B C 外心，也为其重心，所以11113333cos 3cos 2553B C AO θθ=⋅⋅=⨯=， 11122333273cos cos A B C S θθ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 记“支架需要空间”为V ，则2273cos sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令sin t θ=，则13,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以()()232732731V t t t t =-=-，13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 又()222738131'131001003V t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭8133310033t t ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则当13,23t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V >，V 单调递增；当33,32t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V <，V 单调递减. 所以当33t =时，3max 27333273329350V ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（立方米）.答：（1）当3πθ=时，“支架高度”为3米； （2）“支架需要空间”的最大值为950立方米. 【点睛】本题考查了导数在研究函数最值中的应用，解题的关键是列出函数表达式，考查了分析解题的能力，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且椭圆的离心率为22，直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C 、D 两点.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）求线段CD 长的最大值； （3）求AC AD →→⋅的值.【答案】（1）2212x y +=（2）max 433CD =（3）0 【解析】 【分析】（1）由离心率2222ca b e aa -===，解得222a b =，再将点21,2⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，可得221112a b+=，解出a 、b 即可求解. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB 的中点(),M M M x y ，求出直线CD 的方程为13y x t =--，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为()20c c >，则2c e a a ===，可知222a b =. 又因为椭圆E过点1,2⎛ ⎝⎭，所以221112a b +=， 解得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由2222y x t x y =+⎧⎨+=⎩得2234220x tx t ++-=， 又直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以1221243223x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，且()22(4)43220t t ∆=-⨯⨯->，则t <<设AB 的中点(),M M M x y ，则12223M x x x t +==-，13M M y x t t =+=， 所以AB 的中垂线的方程为13y x t =--，即直线CD 的方程为13y x t =--，由221322y x t x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩得2227122180x tx t ++-=，则342344921827x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 所以CD ====又(t ∈，所以当0t=时，max CD ==（3）由（2）知，()()31314141,,AC AD x x y y x x y y →→⋅=--⋅--()()()()31413141x x x x y y y y =--+--()()314131414433x x x x x x t x x t ⎛⎫⎛⎫=--+------ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22234341134134114816339x x x x x x x x x t x x x tx t ⎛⎫=-+++++++++ ⎪⎝⎭()22343411481622339x x t x x x tx t =+++++，由（2）知342342211492182734220x x t t x x x tx t ⎧+=-⎪⎪-⎪=⎨⎪++-=⎪⎪⎩，所以()()223434114216234339AC AD x x t x x x tx t →→⋅=+++++ ()22221844216222273939t t t t t -⎛⎫=⨯+⨯-+-+ ⎪⎝⎭24163648027272727t ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及向量的数量积的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于难题. 19.已知函数()()1f x a x a R x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()ln g x x =. （1）当1a =吋，解不等式()()0f x g x -≤； （2）设()()()u x xf x g x =-.①当0a <时，若存在()(),0,m n m n ∈+∞≠，使得()()0u m u n +=，证明：1mn <； ②当0a >时，讨论()u x 的零点个数. 【答案】（1）(]0,1（2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】（1）将1a =代入，不妨设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--，利用导数判断函数单调递增，由()10h =，即可求解.（2）①由()()0u m u n +=，代入解析式整理可得()222ln ln 0a m n m n +---=，由0a <，利用基本不等式可得()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--，方法一：设mn t =，利用导数即可证出；方法二：利用反证法，假设1mn ≥，找出()()22ln 0a mn mn --≤，与已知矛盾即可. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，求导函数2121'()2ax u x ax x x-=-=，求出函数的单调区间以及最值，且()10u =，讨论1=1<1>即可得出零点个数. 【详解】解：（1）设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--， 则()22222131114'210x h x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭+-===>， 所以()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，所以01x <≤， 所以()()0f x g x -≤的解集为(]0,1.（2）①证明：由()()0u m u n +=得()()221ln 1ln 0a m m a n n --+--=，即()222ln ln 0a m n m n +---=，又0a <，所以()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--， 因为m n ≠，所以“=”不成立. 思路一：设mn t =，()(22)ln (0)v t a t t t =-->，则1'()20v t a t=-<， 所以()v t 在()0,∞+单调递减， 又()10v =，所以1t <，即1mn <. 思路二：假设1mn ≥，则220mn -≥，()ln 0mn ≥，所以()()22ln 0a mn mn --≤，这与(22)ln()0a mn mn -->矛盾，故1mn <. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，当0a >时，2121'()2ax u x ax x x-=-=，令()'0u x =得x =（负值舍去）.所以当x ⎛∈ ⎝时，()'0u x <，()u x 为减函数，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0u x >，()u x 为增函数.又()10u =.1︒1=，即12a =时，()u x 有一个零点.2︒1<，即12a >时，由()10u =可知(1)0u u <=， 又()0au e->，且1ae-<，所以，()u x 在()0,1有一个零点，故此时()u x 有两个零点；31>，即102a <<时，由()10u =可知(1)0u u <=，令()()ln 1x x x ϕ=--，则()11'1xx x xϕ-=-=， 所以当()0,1x ∈时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减，所以()()max 10x ϕϕ==， 故ln 1x x ≤-，则()ln 1x x -≥--. 所以()()()211u x a x x >---，所以110u a ⎛⎫->⎪⎝⎭，且111a ->，所以，()u x 在()1,+∞有一个零点，故此时()u x 有两个零点.综上，当12a =时，()u x 有1个零点； 当0a >且12a ≠时，()u x 有2个零点.【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用、导数在研究函数零点中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.20.对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n N +∆=-∈，规定{}2n a ∆为{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1n n n a a a n N+∆=∆-∆∈.（1）数列{}n a 的通项公式()2*n a n n =∈N ，试判断{}n a ∆，{}2na ∆是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}n b 是公比为q正项等比数列，且2q ≥，对于任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，求q 所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且20n c ∆=，对满足2m n k +=，m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，都有m n c c ≠，且不等式m n k S S tS +>恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）{}n a ∆，{}2n a ∆是等差数列，见解析（2）⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据题干中的定义，结合等差数列的定义即可判断. （2）根据等比数列的通项公式可得11n n b b q -=，结合题干可得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，从而可得2(1)m nq q --=，且0m n -≥；分类讨论0-=m n 、1m n -=或2m n -≥即可求出q .（3）根据题中对数列的定义可得2n c ∆2120n n n c c c ++=-+=，从而可得211n n n n c c c c +++-=-，即{}n c 是等差数列，根据数列为正项等差数列可得0d >，代入等差数列前n 项和公式，由222()24m n m n ++>，可得m n k S S tS +>，当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立；当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥，代入等差数列的前n 项和公式，作差()()21(2)2k m n d tS S S t d k k t c k d ⎛⎫-+=--+-- ⎪⎝⎭，由02d t d ->，20k k -≥，即可求解.【详解】解：（1）因为2n a n =，所以221(1)21n n n a a a n n n +∆=-=+-=+，则12n n a a +∆-∆=，又13a ∆=，所以{}n a ∆是首项为3，公差为2的等差数列.因为212n n n a a a +∆=∆-∆=，则{}2n a ∆是首项为2，公差为0的等差数列.（2）因为数列{}n b 是公比为q 的正项等比数列，所以11n nb b q -=.又()21211212n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++∆=∆-∆=---=-+，且对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，所以对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，即2(1)m nq q--=，因为2q ≥，所以0m n -≥.1︒ 若0-=m n ，则2211q q -+=，解得0q =（舍）或2q，即当2q时，对任意的*n N ∈，都有2n n b b ∆=.2︒ 若1m n -=，则2310q q -+=，解得32q =（舍）或32q +=，即当32q +=时，对任意的*n N ∈，都有21n n b b +∆=. 3若2m n -≥，则22(1)m nqq q -≥>-， 故对任意的*n N ∈，不存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=.综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为32,2⎧+⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）因为20n c ∆=，所以()21211n n n n n n n c c c c c c c ++++∆=∆-∆=---2120n n n c c c ++=-+=，则211n n n n c c c c +++-=-，所以{}n c 是等差数列. 设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-. 若0d =，则m n c c =；若0d <，则当11c n d>-时，0n c <， 与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，故0d >. 由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以22112222n m d d d d S S n c n m c m ⎛⎫⎛⎫+=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221()22d d n m c m n ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 212222k d m n d m n S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又m n ≠，222()24m n m n ++>， 所以()221()22n m d d S S n m c m n ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭21()()2222k d m n d c m n S +⎛⎫>⋅+-+= ⎪⎝⎭， 则当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立.另一方面，当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥， 则()()22111222m n d d S S k k c k ⎛⎫⎡⎤+=++-+-⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭()2122222d d k k c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 2122k d d S k c k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()22112222222k m n d d d d tS S S tk c tk k k c ⎛⎫⎛⎫-+=+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21(2)2d t d k k t c k d ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭， 因为02dt d ->，20k k -≥， 所以当1(2)dk t c >-时，()0k n m tS S S -+>，即m n k S S tS +<.不满足任意性.所以2t ≤ .综上，t 的最大值为2.【点睛】本题考查了数列的新定义、等差数列的定义以及等差数列的前n 项和公式，属于难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.已知矩阵22a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1223N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且1001MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线30x y +=，求直线l 的方程.【答案】（1）3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）30x y -=.【解析】 【分析】（1）利用待定系数或公式即可求解.（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，代入直线即可求解. 【详解】解：（1）用待定系数或公式42622212102014323a a a MN b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢+++⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎣⎦， 解得3a =-，1b =-，可求得3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，即3232'212'x x y x y x y y --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在30x y +=上，则32630x y x y -++-=，即30x y -=，所以直线l 的方程为30x y -=. 【点睛】本题考查了矩阵的变换，需掌握矩阵的运算公式，属于基础题.22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为313x t y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：)4πρθ=-，求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】 【分析】将直线的参数方程消去参数t 化为普通方程，将圆的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：把直线方程l ：313x ty t=⎧⎨=-⎩化为普通方程为1x y +=.圆2sin 2cos 4πρθρθθ⎛⎫=-⇒=- ⎪⎝⎭， 即22sin 2cos ρρθρθ=-，化为普通方程为22220x x y y ++-=， 即()()22112x y ++-=，圆心C 到直线l 的距离d ==所以直线l 被圆C 截得的弦长为=.【点睛】本题考查了直线参数方程化为普通方程、曲线的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相交几何法求弦长，属于基础题.23.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元（m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励1002200⨯=元）. （1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率； （2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 概率分布与期望()E X .【答案】（1）35（2）见解析，期望是150元. 【解析】 【分析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数：31560n A ==；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解.【详解】解：（1）因为总的基本事件个数31560n A ==，摸到三位数是奇数的事件数1223436n A A ==，所以1363605P ==； 所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，3(50)5P X ==，1321(100)6010P X ⨯⨯===，1311(200)6020P X ⨯⨯===，1321(300)6010P X ⨯⨯===，1311(400)6020P X ⨯⨯===，1321(500)6010P X ⨯⨯===，获奖金额X 的概率分布为均值311111()5010020030040050015051020102010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 所以期望是150元.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.24.（1）证明：()1*111,11k k n n C C n N k N k n ++=∈∈++； （2）计算：001122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++-；（3）计算：2020202002(1)2k kk C k =-+∑. 【答案】（1）见解析（2）12021（3）12043231【解析】 【分析】（1）利用组合数的运算即可求证.（2）利用组合数的运算与性质即可证出. （3）方法一：设02(1)2nk kn n k a C k ==-+∑，可得()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)kkk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑，根据组合数的运算即可求解.【详解】解：（1）1111!1(1)!111!()!1(1)!()!1k k n n n n C C k k k n k n k n k n +++=⋅=⋅=++-++-+； （2）01122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++- 2020202012020202100111(1)(1)120212021kk k k k k C C k +===-=-=+∑∑. （3）设02(1)2nkkn nk a Ck ==-+∑， 则()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑ 11111122(1)(1)22nn kk k kn n n n k k k a Ca C k n k ----===+-=+-++∑∑ ()1100222(1)(1)02n nk k k kn n n n n k k a C C a a n k n --==⎧⎫=+---=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑. 所以121221n n n n n n n a a a a n n n ---=⇒=⋅+++1(1)32(2)(1)54n n a n n -⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅⋅， 又113a =，所以2!2!1(2)!n nn n a n C +==+. 所以20202020202020202020222022211(1)2kkk Ca k C C =-===+∑ 11101120212043231==⨯.（结果没化简，不扣分）方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)k kk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑ 20202022!2(1)(1)(2)!(2020)!20222021k k k k k =+=-⋅⋅+-⨯∑20202202202(1)(1)20222021k k k k C +==⋅-⋅+⋅⨯∑ 20202202202(1)(21)20222021k k k k C +==⋅-⋅+-⋅⨯∑ 202020202220222022002(1)(2)(1)20222021k k k k k k k C C ++==⎡⎤=⋅-⋅+⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ 2020202012220212022002(1)2022(1)20222021k k k k k k C C +++==⎡⎤=⋅-⋅⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ ()20201120221120212022022022(1)(11)1(1)20222021k k k C C ++=⎡⎤=⋅--⋅-----⎢⎥⨯⎣⎦∑ ()202122022(11)11202220222021⎡⎤=⋅-⋅--+-⎣⎦⨯ 21120222021101120212043231===⨯⨯. 【点睛】本题考查了组合数的运算与性质，掌握组合数的运算性质是解题的关键，属于难题.。

江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题一、填空题1. 已知集合{}2|20,{|1}A x x x B x x =-<=<，则AB =______________.【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法求得集合A ，根据并集定义可求得结果. 【详解】(){}()200,2A x x x =-<=，{}()1,1B x x =<=-∞，(),2A B ∴=-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2. 已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z =_____________.【答案】4i - 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得a ，进而根据共轭复数定义得到结果. 【详解】()()()()2122z a i i a a i =++=-++的实部为0，20a ∴-=，解得：2a =，4z i ∴=，4z i ∴=-.故答案为：4i -.【点睛】本题考查共轭复数的求解问题，涉及到复数的乘法运算和复数实部的定义，属于基础题.3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．【答案】143【解析】试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为2222(2)(1)(3)1492,33x s -+-+===考点：方差4. 运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_____________.【答案】25 【解析】 【分析】运行代码，根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码，输入0S =，1I =，满足10I <，循环； 则011S =+=，123I =+=，满足10I <，循环； 则134S =+=，325I =+=，满足10I <，循环； 则459S =+=，527I =+=，满足10I <，循环；则9716S =+=，729I =+=，满足10I <，循环；则16925S =+=，9211I =+=，不满足10I <，结束循环，输出25S =. 故答案为：25.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________. 【答案】710【解析】 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中任选2名学生，共有2510C =种选法，至多有一名男生的情况有211223167C C C +=+=种选法，∴至多有一名男生的概率710p =. 故答案为：710. 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题. 6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=-_____________.【答案】8- 【解析】 【分析】由等比数列片段和性质可得到5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，根据等比数列性质可推导得到15534S S =，代入所求式子可整理得到结果. 【详解】由5102S S =得：()5510510552222S S S S S S S -=-=-=-，此时由等比数列性质知：5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，设其公比为q ，105512S S q S -∴==-， ()151010551124S S S S S ∴-=--=，1510551344S S S S ∴=+=，515551055543812S S S S S S S S ++∴==---. 故答案为：8-.【点睛】本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题.7. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.【答案】3 【解析】 【分析】由抽象函数关系式可确定()f x 关于1x =对称，结合函数为奇函数可知()f x 是周期为4的周期函数，由此可确定各个函数值，代入可求得结果. 【详解】()()2f x f x =-，()f x ∴关于1x =对称，又()f x 为奇函数，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()()159493f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，()()()()024500f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()()113f f -=-=-，()()()()()13711473f f f f f ∴-====⋅⋅⋅==-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()()1250012123f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=∴.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点.8. 将函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为_____________. 【答案】12π【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得ϕ. 【详解】()2sin sin 2sin cos 63623f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin cos sin 2663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴向左平移ϕ个单位得：()sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()f x ϕ+为偶函数，()232k k Z ππϕπ∴+=+∈，解得：()122k k Z ππϕ=+∈， 又0ϕ>，ϕ∴的最小值为12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求解参数值的问题，涉及到利用诱导公式和二倍角公式化简三角函数、三角函数的平移变换等知识，属于三角函数部分知识的综合应用问题.9. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F ，，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A B ，两点，若1232F F =，则双曲线的渐近线方程为_____________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】利用通径长和焦距的关系可构造,a c 齐次方程，从而求得离心率e ，利用2221be a-=可求得渐近线斜率，进而得到结果.【详解】AB x ⊥轴且直线AB 过焦点2F ，AB ∴为通径，则22b AB a=，1232F F =，)222332c a b c a-∴==223230c ac a --=，23230e e∴--=，解得：3e=，又2221bea-=，222ba∴=，2ba∴=，∴双曲线渐近线方程为2by x xa=±=±.故答案为：2y x=±.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线通径长、离心率的应用，考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，ABE△是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_____________.3【解析】【分析】利用圆锥圆柱侧面积相等可构造方程3h r=，代入圆锥和圆柱体积公式即可求得结果. 【详解】设正方形BCDE的边长为r，AB长为h，则圆锥的侧面积221S r r hπ=+222S rπ=，由12S S得：2222r r h rππ+=，解得：3h r=，∴圆锥和圆柱的体积之比为23133r hrππ⋅=3【点睛】本题考查圆锥和圆柱的侧面积与体积的相关问题的求解，关键是能够利用圆锥和圆柱侧面积相等构造方程求得圆锥的高与底面半径之间的关系.11. 在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________.【答案】21 【解析】 【分析】根据图示和平面向量基本定理，得到BD AD AB =-，5799=+AD AG AB ，然后得出22752999⋅=-⋅-AG BD A B AD B A AD ，代入数据即可. 【详解】如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 故答案为：21【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.12. 已知在锐角ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若3cos a b C =，则111tan tan tan A B C++的最小值为_____________. 27【解析】 【分析】利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得tan 2tan C B =，利用()tan tan A B C =-+和两角和差正切公式可得到23tan tan 12tan BA B=--，代入所求式子后可化简为关于tan B 的函数，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】3cos a b C =，由正弦定理可得：sin 3sin cos A B C =，()sin sin sin cos cos sin 3sin cos A B C B C B C B C ∴=+=+=，cos sin 2sin cos B C B C ∴=，tan 2tan C B ∴=， A B C π++=，()()()2tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B C Bπ+∴=-+=-+=-=---，221112tan 1114tan 7tan tan tan 3tan tan 2tan 6tan B B A B C B B B B-+∴++=++=2tan 736tan BB =+，ABC 为锐角三角形，0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()tan 0,B ∴∈+∞，2tan 72tan 727236tan 36tan 3B B B B ∴+≥⋅=（当且仅当2tan 736tan B B =，即7tan 2B =时取等号）， 111tan tan tan A B C ∴++27. 27. 【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解，涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.13. 已知圆22:4O x y+=点()2,2A，直线l与圆O交于P Q，两点，点E在直线l上且满足2PQ QE→→=.若22248AE AP+=，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_____________. 【答案】1717---+⎝⎭【解析】【分析】①当直线l斜率不存在时，易求得0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为y kx m=+，利用直线与圆有交点可求得2244m k<+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE→→=和22248AE AP+=可整理得到12x x+，12x x，12y y+，12y y满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m=-；当0m=时，知0Mx=；当0m≠时，可将Mx 表示为关于k的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M MM x y，①当直线l斜率不存在时，直线方程为:0l x=，此时()0,2P-，()0,2Q，2PQ QE→→=，()0,4E∴，2448AE∴=+=，241620AP=+=，满足22248AE AP+=，此时0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为：y kx m=+，l与圆O有两个不同交点，221mk<+，即2244m k<+()*，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-， 当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，4747k -+<<， 212222441442111M x x km k k kx k k k +-+∴==-==-+⨯+++， 4713->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+， 4747k -+<<时，()211y k k =+++单调递增，∴()442121y k k=-+++-+在474733⎛ ⎝⎭上单调递减， 1717,22M x ⎛--+∴∈ ⎝⎭， 综上所述：弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为1717---+⎝⎭. 故答案：1717---+⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.14. 函数()()32()321xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)(]1,00,1-⋃ 【解析】 【分析】先分析得当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，记()3232g x x a x a =-+，利用导数分析()g x 的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<；且()00=f ， 记()3232g x x a x a =-+，则()22'33g x x a =-，①当0a =时，0g x恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以当0x >时，()0gx >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >.所以()f x 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当0a >时，令0g x，得x a =±.当(),x a ∈-∞-和(),+∞a 时，0g x ，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，0g x，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极大值为()3220g a a a -=+>，则该函数的极小值为()()32 22210g a a a a a =-+=-≥，解得11a -≤≤，此时，01a <≤；③当0a <时，令()'0g x =，得x a =±. 当(),x a ∈-∞和(),a -+∞时，0g x，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，()'0g x <，()g x 单调递减. 因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极小值()3220g a a a -=+<，则该函数的极大值为()()3222210g a a a a a -=+=-≤，0a <，解得10a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 故答案为：[)(]1,00,1-⋃.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象，综合性较强，属于难题. 二、解答题15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值. 【答案】（1）3π （2）53【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可得tan B ，进而得到结果； （2）利用余弦定理和正弦定理解三角形求得b 和sin A ，由大边对大角的特点可知A 为锐角，得到cos A ，根据二倍角公式得到sin 2,cos 2A A ，利用()2sin sin 23A C A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 31sin sin 22B B B ∴=+，即31cos sin 22B B =，tan 3B ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，7b ∴=，由正弦定理得：sin 21sin 7a B A b ==，a c <，A ∴为锐角，27cos A ∴=， 43sin 22sin cos 7A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭431135327⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换知识的综合应用问题，涉及到正弦定理边化角、正余弦定理解三角形、两角和差公式和二倍角公式的应用等知识，考查了学生的运算求解能力.16. 如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，由线面垂直性质可证得结论； （2）连接1A B 交1AB 于点H ，可知112NH BB =且1//NH BB ，根据平行关系可知,CM NH 共面，利用线面平行的性质可证得//CN MH ，从而得到四边形CNHM 为平行四边形，由长度关系可证得结论. 【详解】（1）侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥面11ACC A ，又AM ⊂面11ACC A ，BC AM ⊥∴.（2）连接1A B 交1AB 于点H ，连接,MH NH ，四边形11ABB A 为平行四边形，H ∴为1AB 中点，又N 为AB 中点，1//NH BB ∴且112NH BB =，11//BB CC ，//NH CM ∴，,CM NH ∴共面，//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM 平面1AB MMH =，//CN MH ∴，∴四边形CNHM 为平行四边形，111122CM NH BB CC ∴===，即M 是棱1CC 中点. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、由线面平行关系证明其他结论的问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质、线面平行的性质定理的应用，属于常考题型. 17. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上.设FOC θ∠=.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值. 【答案】（1）()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，3tan 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）34【解析】 【分析】（1）分别求得扇形EOC 和四边形OCBF 的面积，加和得到()S θ，根据矩形长和宽可确定tan θ最小值，进而确定tan θ的范围；（2）设()925tan h θθθ=+，利用导数可求得()h θ的单调性，通过求得()min h θ可求得()max S θ，并确定所求的θ的正切值.【详解】（1）扇形EOC 的面积为211250501250233ππθθ⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 四边形OCBF 的面积为13045030503015002tan tan θθ⨯-⨯⨯=-,∴阴影部分的面积为()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. 0,3πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中03tan 5θ=，3tan ,35θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.（2）设()925tan h θθθ=+，则()22229sin 9cos 92525sin sin h θθθθθ--'=+=-， 令()0h θ'=，解得：3sin 5θ=，33tan ,345θ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦， 设其解为1θ，即13tan 4θ=，则()h θ在[)01,θθ上单调递减，在1,3πθ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()()1min h h θθ∴=，()()1max 12501500503S h πθθ∴=+-，此时13tan 4θ=∴监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34. 【点睛】本题考查建立合适的函数模型求解实际问题，涉及到利用导数求解函数的最值的问题，关键是能够通过导数求得函数的单调性和最值点，考查学生对于函数和导数知识的实际应用的能力.18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点,A B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线1PF 的倾斜角为4π，12=PF ，已知椭圆的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设,M N 为椭圆上异于,A B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）163【解析】 【分析】（1）根据离心率可求得2a c =，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得c ，进而确定b ，由此得到椭圆方程；（2）设AM 方程为()2y k x =+，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得M 点坐标，同理可得N 点坐标，由()12142S y y =⨯⨯-整理可得关于k 的函数的形式，利用对号函数可求得S 的最大值. 【详解】（1）椭圆C 的离心率2c e a ==，2a c ∴=， 设椭圆右焦点为2F ，连接2PF ，则21222PF a PF a =-=-，在12F PF △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，即()22224442a c c -=+-，又2a c =()22442222c c c ∴+-=- 解得：2c =2a ∴=，222b a c =-=∴椭圆C 的方程为22142x y+=. （2）由（1）知：()2,0A -，()2,0B ，设直线AM 斜率为k ，则直线AM 方程为()2y k x =+，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128840k x k x k +++-=，则()()4226441284160k kk∆=-+-=>，设()11,M x y ，则21284212k x k --=+，2122412k x k-∴=+，12412k y k ∴=+，222244,1212k kM k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭， 由2BN AM k k =可得直线BN 方程为()22y k x =-，同理可求得：2221628,1818k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由对称性，不妨设0k >，则四边形AMBN 的面积：()()()()312222224414842212181218k k kk S y y k k k k +⎛⎫=⨯⨯-=+= ⎪++++⎝⎭2221112442442442411112116108244214k k k k k k k k k k k k k k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+， 令14t k k=+，则1244t k k≥⋅=（当且仅当14k k =，即12k =时取等号）， 24241621342S t t ∴=≤=++，S ∴的最大值为163. 【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用的问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积最值的求解问题；求解面积最值的关键是能够将面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用对号函数求得四边形面积的最大值.19. 已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，()xg x e =.（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程；（2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间； （3）若2b a =，2c =且对任意0x ≥，()()22f x x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）210x ey --=；（2）当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；（3）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求得()1h 和()1h '后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；（2）根据极值点的定义可确定23c b =--，由此可得()()()31x m x x b x e '=++-⋅，分别在4b <-和4b >-两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；（3）将恒成立的不等式化为()()222220x sx ax ax x e =++-+≤，①当0a ≤时，由()0s x '≤恒成立可知()()00s x s ≤=，满足题意；②当0a >时，由02a <≤时()0s x '≤可知()()00sx s ≤=，满足题意；由零点存在定理可验证出23a <≤和3a >时存在()()00s x s >=的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1a b ==，1c =-时，()21xx x h x e+-=， 则()11h e =，()()()2212x x x x x x h x e e--+-++'==，()21h e '∴=， ()h x ∴在1x =处的切线方程为()121y x e e-=-，即210x ey --=.（2）当1a =时，()()2xm x x bx c e =++⋅，()()()()22xm x x b x b c e '∴=++++⋅，1x =是()m x 的一个极值点，()()1230m b c e '∴=++=，23c b ∴=--， ()()()()()()22331x x m x x b x b e x b x e '∴=++-+⋅=++-⋅，令()0m x '=，解得：11x =，23x b =--，1x =是一个极值点，31b ∴--≠，即4b ≠-，①当31b -->，即4b <-时，若(),1x ∈-∞和()3,b --+∞，()0m x '>；若()1,3x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；②当31b --<，即4b >-时， 若(),3x b ∈-∞--和()1,+∞，()0m x '>；若()3,1x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；综上所述：当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --.（3）当2b a =，2c =时，()()22222xf x ax ax xg x e++=≤+对任意0x ≥恒成立， 即()222220x ax ax x e ++-+≤对任意0x ≥恒成立.令()()22222x sx ax ax x e =++-+，则()()()()222222124x x x s x ax a e x e a x x e '=+--+=+-+，()()()2224226x x x s x a e x e a x e ''=--+=-+，()()()22628x x x s x e x e x e '''=--+=-+，①当0a ≤时，对任意0x ≥，()0s x '≤恒成立，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；②当0a >时， 当0x ≥时，()0s x '''<，()s x ''∴在[)0,+∞上单调递减，()()026s x s a ''''∴≤=-，⑴当03a <≤时，()0s x ''≤，()s x '∴在[)0,+∞上单调递减，()()024s x s a ''∴≤=-，i.当02a <≤时，()0s x '≤，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；ii.当23a <≤时，由()00s '>，()1461260s a e e '=-≤-<，()00,1x ∴∃∈，使得()00s x '=，则()s x 在()00,x 上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()()00s x s >=，不满足题意；⑵当3a >时，由()0260s a ''=->，当x →+∞时，()s x ''→-∞，()10,x ∴∃∈+∞，使得()10s x ''=，()0s x ''∴>在()10,x 上恒成立，()s x '∴在()10,x 上单调递增，()()0240s x s a ''∴>=->， ()s x ∴在()10,x 上单调递增，()()00s x s ∴>=，不满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过分类讨论的方式，结合零点存在定理，确定函数的单调性，进而得到参数的取值范围.20. 设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意n *∈N ，满足12n n n a a S +⋅=. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在(),,k m n Nk m n *∈<<使得,,kmn a aa 成等比数列，且4216,,k m n a a a 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}b ，()1,21,,2,0n n n a n k k N b q n k k N q *-*⎧=-∈⎪=⎨=∈>⎪⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值. 【答案】（1）()n a n n N *=∈；（2）存在，7k m n ++=；（3）8 【解析】【分析】（1）代入1n =求得2a ，利用1n n n a S S -=-可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到21n a -和2n a ，进而得到n a ； （2）假设存在(),,k m n N k m n *∈<<满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到221621kn k =-，由28n >可求得k 的范围，结合k *∈N 得到k ，进而求出,m n ；（3）将问题转化为当n 为偶数时，()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，构造函数()ln xf x x =和()()()ln 21x g x x x+=≥，可利用导数说明()f x 与()g x 的单调性，进而确定q 的取值，同时得到n 的范围，从而求得结果. 【详解】（1）数列{}n a 是非零数列，0n a ∴≠.当1n =时，12112a a a S ==，22a ∴=； 当2n ≥且n *∈N 时，11122n n n nn n n a a a a a S S +--=-=-，112n n a a +-∴-=，{}21n a -∴是首项为1，公差为2的等差数列，{}2n a 是首项为2，公差为2的等差数列， ()2112121n a a n n -∴=+-=-，()22212n a a n n =+-=， ()n a n n N *∴=∈.（2）设存在(),,k m n Nk m n *∈<<，满足题意，,,k m n a a a 成等比数列，2m kn ∴=；4216,,k m n a a a 成等差数列，42216m k n ∴=+，消去m 可得：222216k n k n =+，221621kn k ∴=-，k m n <<，3n ∴≥，216821k k ∴>-，解得：130k +<< k N *∈，1k ∴=，4n ∴=，2m =，7k m n ∴++=.（3）若{}n b 是单调递增数列，则n 为偶数时，111n n qn --<<+恒成立，两边取自然对数化简可得：()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，显然1q >， 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， ∴当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()f x ∴在x e =处取得极大值，∴当4n ≥时，()ln 11n n --是递减数列，又ln1ln313<，ln 33∴是()ln 11n n --的最大值， ln 3ln 3q ∴>； 设()()()ln 21x g x x x+=≥，则()()()222ln 21ln 2220x x x x x g x x x -+--+++'==<， ()ln 11n n +∴-是递减数列，当6n =时，ln 7ln 353>，当8n =时，ln 9ln 373<， ∴当26n ≤≤时，存在133q >，使得111n n q n --<<+恒成立；当8n =时，11n qn -<+不成立，∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21. 求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程. 【答案】221x y += 【解析】 分析】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，根据对应变换原则可求得椭圆C 上的点()1,P x y ''满足42x xy y ''=⎧⎨=⎩，代入椭圆C 方程即可得到结果. 【详解】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，它是椭圆22:1164x y C +=上的点()1,P x y ''在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应变换作用下的对应点，则10441022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，42x x y y '=∴='⎧⎨⎩，代入221164x y +=得：221x y +=. 即曲线C '的方程为221x y +=.【点睛】本题考查根据矩阵对应变换求解曲线方程的问题，属于常考题型. 22. 在极坐标系中,已知圆C 经过点2,4P π⎫⎪⎭，圆心为直线3sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. 【答案】2cos ρθ= 【解析】 【分析】将直线方程和P 点化为直角坐标，由此得到所求圆的直角坐标方程，再化回极坐标方程即可.【详解】由直线3sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：133sin cos 2ρθθ=， ∴330x y +=，∴直线与x 轴交点为()1,0，又P 的直角坐标为()1,1，∴圆C 的半径1r =，∴圆C 的方程为：()2211x y -+=，即2220x y x +-=，22cos 0ρρθ∴-=，0ρ∴=或2cos ρθ=，又0ρ=表示极点，也在圆上，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.23. 已知正数,,a b c 满足1abc =，求()()()222a b c +++的最小值. 【答案】27 【解析】 【分析】根据()()()()()()222111111a b c a b c +++=++++++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】()()()()()()33332221111113332727a b c a b c a b c abc +++=++++++≥⋅⋅==（当且仅当1a b c ===时取等号），()()()222a b c ∴+++的最小值为27.【点睛】本题考查利用基本不等式求积的最小值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合基本不等式的形式.24. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M N ，分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值； （2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值. 【答案】（17342）105【解析】 【分析】（1）根据菱形的特点可证得DE AD ⊥，则以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果； （2）利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，60BAD∠=，E为BC的中点，DE BC∴⊥，又//AD BC，DE AD∴⊥.则以D为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,4A，()3,2M,()13,4C-，()3,0E，()113,2A M→∴=--，()11,0,4C E→=-，111111734cos,2217A M C EA M C EA M C E→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅，∴异面直线1A M与1C E734.（2）由（1）得：()1,0,2N，()2,0,0A，则()10,0,4A A→=-，()13,2A M→=--，()13,2A N→=--，()0,3,0MN→=-，设(),,m x y z→=为平面1A MA的法向量，则1132040m A M x zm A A z⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y=，则3x0z=，)3,1,0m→∴=；设(),,n p q r→=为平面1A MN的法向量，则130320n MN qn A N p q r⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1r=-，则2p=，0q=，()2,0,1n→∴=-；2315cos,25m nm nm n→→→→→→⋅∴<>===⋅∴二面角1A MA N--21510155⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查空间向量法求解立体几何中的异面直线所成角、二面角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.25. 已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.【答案】（1）1m =，12a =；（2）猜想：()2n n N a n *=∈，证明见解析【解析】 【分析】（1）代入2n =可构造方程求得m ，代入1n =得到1a ； （2）根据数列中的项可猜想()2nn N a n *=∈，利用数学归纳法，结合组合数的运算与性质可证得结论.【详解】（1）123123232222n n n n n n n n C C C C a m ++++=++++⋅⋅⋅+，123423424C C a m m ∴=++=+=，解得：1m =，121122C a m m ∴=+=+=.（2）由12a =，24a =，38a =可猜想：()2n n N a n *=∈.证明：①当1n =时，由（1）知结论成立；②假设n k =时，结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋅⋅⋅+=，那么当1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k kC C C C a ++++++++++++=++++⋅⋅⋅+. 由111k k kn n n C C C +++=+得：10213211112233111231122222k k k k k k k k k k k k k k k k kkC C C C C C C C C a -++++++++++++++++++=++++⋅⋅⋅++0121112311231222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++++++=++++⋅⋅⋅++=12110231111211222222k k k k k k k k k k k k C C C C C -++++++++-⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭1211023111111211222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++-+++++-⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭又()()()()()()()()()()11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+，112k k a ++∴=，故1n k =+时结论也成立. 由①②得，()2nn N a n *=∈.【点睛】本题以数列为载体，重点考查了组合数的运算与性质，涉及到利用数学归纳法证明数列通项公式的问题；本题计算量较大，要求学生对于组合数的运算性质有较好的掌握.。

2020届高三11月联合调研测试 2019.11数学I 理科注意事项1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上． 3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则C ()U A B ⋂=________． 2．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 3．函数ln(1)y x =++的定义域为________． 4．已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．5．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项和为________．6．“a b >”是“22a b>”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）7．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则ϕ的值为________．8．在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________． 9．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+，(1)4f =，则(3)(10)f f +=________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则AD AC ⋅=________．12．在ABC中，BC =，tan 3tan A B =，则tan 2C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为________．14．已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足22()b c a bc -=-． （1）求角A 的大小；（2）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值． 17．（本小题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5 V 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6 V 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短． 18．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2xf x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈． 19．（本小题满分16分）已知函数3()3||f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+…，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a -=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n +-=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．数学II （附加题）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知矩阵0123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2018B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A B -． 22．（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 23．（本小题满分10分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB CD ∥，90DAB ︒∠=，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成角的余弦值；（2）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值． 24．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=．（1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60，求实数λ的值．理科参考答案1．{1,2,4,5} 2．1 3．(1,2)- 45．31 6．充要 7．3π8．9．{|1}x x ≤+ 10．4 11．12 12．2+13．3 14．ln 2104ln 216,23--⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．解：（1）∵22()b c a bc -=-，可得：222b c a bc +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a br A bc bc +-==-, 又∵(0,)A π∈，∴3A π=；（2）由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，∵3a =，3A π=，∴由余弦定理可得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，∴解得：b =c =，∴11sin 2222ABCSbc A ==⨯=16．解：（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以,22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=-+ 21(01)22t t ⎛=-+≤≤ ⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +最小值为2． （II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤ 所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，1224m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1-所以m n ⋅的最小值为1-8x π=17．试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AB θ=． 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （2）11()56sin 6T vv vθθθ=++， 22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ'-+-=-==-．记02cos 3θ=，03,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2cos 3θ=时，时间T 最短． 18．解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+， 故()32f x x =+不属于集合M ﹒ （2）由2()lg 2af x x =+，属于集合M ，可得 方程22lglg lg (2)226a a ax x =++++有实解()22(2)262a x x ⎡⎤⇔++=+⎣⎦有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤≤+，故所求a 的取值范围是[12-+．（3）当2()2xf x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔2222(2)24432440x x x b x bx b bx -++=+++⇔⨯+-=，令()3244xg x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点当0b <时，(0)10g =-<，11320b g b ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭，故()g x 在1,0b ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈．19．解：（1）当1x >时，3()33f x x x =+-，(2)11f =．由2()33f x x '=+，得(2)15f '=．所以()y f x =在2x =处的切线方程为15(2)11y x =-+即15190x y --=． （2）①当1a ≤-时，得3()33f x x x a =+-，因为2()330f x x '=+>， 所以()f x 在[1,1]-单调递增，所以min ()(1)43f x f a =-=--． ②当1a ≥时，得3()33f x x x a =-+，因为2()330f x x '=-≤， 所以()f x 在[1,1]-单调递减，所以min ()(1)23f x f a ==-+．③当11a -<<时，3333,1,()33,1,x x a a x f x x x a x a ⎧+-<<=⎨-+-<≤⎩由①②知：函数()f x 在(1,)a -单调递减，(,1)a 单调递增，所以3min ()()f x f a a ==，综上，当1a ≤-，min ()43f x a =--；当11a -<<时，3min ()f x a =；当1a ≥时，min ()23f x a =-+．（3）当0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+≥， 即对任意1x ≥有323()315ln (1)30x a x a x a ++--+-≥． 设323()()315ln (1)3g x x a x a x a =++--+-，则(1)0g =，2215()3()3a g x x a x'=++-．设2215()()3()3a h x g x x a x'==++-，因为0a >，1x ≥，所以2215()6()0a h x x a x'=++>，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，所以()(1)h x h ≥，即22()(1)3(1)315(1)(21)g x g a a a a ''≥=++-=--+， ①当(1)0g '≥即01a <≤时，所以()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[1,)+∞单调递增，此时()(1)0g x g ≥=，满足题意． ②当(1)0g '<即1a >时，因为2()121533(1)(41)0g a a a a a '=-+=-->，且()g x '在[1,)+∞单调递增，所以存在唯一的01x >，使得()00g x '=，因此当01x x <<时()0g x '<；当0x x >时()0g x '>；所以()g x 在()01,x 单调递减，()0,x +∞单调递增． 所以()0(1)0g x g <=，不满足题意． 综上，01a <≤．20．解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m b b b -+==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列” （2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数坚数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列， 11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （III ）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a --+⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（*）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（*）式不成立．数学II （附加题）21．解：∴1312210A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴154220A B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦22．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 解：因为212()5614f λλλλλ--==-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 设521311m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得2,1.m n =⎧⎨=⎩所以55521371221311307A α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 23．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，∴||2AC =，||5PB =，2AC PB ⋅=，∴10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅<>==⋅． （3）设平面AMC 的一个法向量为()111,,n x y z =， 则1n AM ⊥，∴()11111111,,0,1,022n AM x y z y z ⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎝⎭，又1n AC ⊥，∴()111111,,(1,1,0)0n AC x y z x y ⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-． 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵1212122cos ,3||||6n n n n n n ⋅<>===，∴平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23． 24．解：分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)AD =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又111111cos ,||||3DB n DB n DB n ⋅<>=== 所以直线1DB 与11AC D （2）∵BD DC λ=，∴24,,011D λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴11(0,4,0)AC =，124,,211A D λλλ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+．又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2n n <>=，12=，解得1λ=-或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1-．。

苏州市 2020 届高三年级二模模拟试卷 数学Ⅰ
一、填空题
1. 已知集合 A 0,1, 2,3 ， B x 0 x 2 ，则 A B ______.
【答案】1, 2
【解析】 【分析】 根据交集的概念，直接计算，即可得出结果.
【详解】∵ A 0,1, 2,3 ， B x 0 x 2 ；∴ A B 1, 2 .
9. 设周期函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，若 f x 的最小正周期为 3，且满足 f 1 2 ，
【点睛】本题考查了循环语句计算输出结果，只要根据程序图即可计算出结果，较为基础，
-2-
注意等差数列的求和.
5. 某高校数学学院 A, B, C 三个不同专业分别有 800，600，400 名学生，为了解学生的课后
学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取 36 名学生进行调查，则应从 A 专业
抽取的学生人数为______. 【答案】16 【解析】 【分析】 根据分层抽样列式求解即可.
【详解】某高校数学学院 A, B, C 三个不同专业分别有 800，600，400 名学生.
用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取 36 名学生进行调查，
则应从 A 专业抽取的学生人数为：
36
800
800 600
400
16
.
故答案为：16
【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.
6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为 1,2,3,4,5 的五本书，若某同学从中任意选出 2
本书，则选出的 2 本书编号相连的概率为______．
2
【答案】
5
【解析】
【分析】
本题首先可以写出任意选出 2 本书的所有可能情况数目，然后写出 2 本书编号相连的所有可