数学_2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷(含答案)

2010年江苏省盐城市某校高考数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 计算2i 1+i=________．2. 函数y ＝sinxcosx 的最小正周期是________．3. 命题p:a ∈M ={x|x 2−x <0}；命题q:a ∈N ={x||x|<2}，p 是q 的________条件．4. 圆x 2+y 2−2x −2y +1＝0上的动点Q 到直线3x +4y +8＝0距离的最小值为________．5. 已知向量a →、b →的夹角为60∘，|a →|=2，|b →|=1，且(ka →+b →)⊥(2a →−b →)，则实数k =________．6. 已知样本a ，b ，5，6，7的平均数是5，方差是2，则ab 的值为________．7. 一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是________．8. 已知点A(4, 16)，点P 是双曲线C:x 2−y 215=1上的一个动点，点F 是双曲线C 的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值为________．9. 设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n =(a n −1)(a n +3)，则数列{a n }的通项公式a n =________．10. 函数y =f(x)的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[−1, 0)∪(0, 1]，则不等式f(x)−f(−x)>−1的解集为________．11. 执行如图所示的程序框图，则输出的S =________．12. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −2≤0x +y ≥0y ≤2目标函数z =4x +3y 的最小值为________．13. 给出以下四个命题：①函数y =f(x)在R 上是增函数的充分不必要条件是f ′(x)>0对x ∈R 恒成立； ②等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=16，则a 3=±4；③把函数y =sin(2−2x)的图象向左平移1个单位，则得到的图象对应的函数解析式为y =−sin2x ；④若数列{a n}是等比数列，则a1+a2+a3+a4，a5+a6+a7+a8，a9+a10+a11+a12也一定成等比数列．其中正确的是________．14. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数，当n∈N∗时，f(n)∈N∗，若f[f(n)]=3n，则f(5)的值等于________．二、解答题（共9小题，满分90分）15. 已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m→=(√3,cos(π−A)−1)，n→=(cos(π2−A)，1)，m→⊥n→．（1）求角A的大小；（2）若a=2,cosB=√33，求b的长．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4√3，AB=2CD=8．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA // 平面MBD？17. 某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．（1）若a=9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？18. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A(0, 3)，左、右焦点分别为B、C，离心率为12．（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β−α=2π3时，求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；②PA=PB+PC．19. 对于各项均为整数的数列{a n}，如果满足a i+i(i=1, 2, 3,…)为完全平方数，则称数列{a n}具有“P性质”；不论数列{a n}是否具有“P性质”，如果存在与{a n}不是同一数列的{b n}，且{b n}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…，b n是a1，a2，a3，…，a n的一个排列；②数列{b n}具有“P性质”，则称数列{a n}具有“变换P性质”．（1）设数列{a n}的前n项和S n=n3(n2−1)，证明数列{a n}具有“P性质”；（2）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{b n}，不具此性质的说明理由；（3）对于有限项数列A:1，2，3，…，n，某人已经验证当n∈[12, m2](m≥5)时，数列A 具有“变换P性质”，试证明：当n∈[m2+1, (m+1)2]时，数列A也具有“变换P性质”．20. 设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1, 4)．(1)求f(x)=x3+ax2+bx在区间(0, 4]上的最大值与最小值；(2)是否存在两个不等正数s，t(s<t)，当x∈[s, t]时，函数f(x)=x3+ax2+bx的值域也是[s, t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由；(3)设存在两个不等正数s，t(s<t)，当x∈[s, t]时，函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[ks, kt]，求正数k的取值范围．21. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交于AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60∘，PD=1，BD=8，求线段CE的长．22. 甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13．现已完成一局比赛，乙暂时以1:0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．23. 已知a n=A n1+A n2+A n3+...+A n n(n∈N∗)，当n≥2时，求证：（1）a n−1+1=a nn；(2)(1+1a1)(1+1a2)(1+1a3)…(1+1a n)≤3−1n．2010年江苏省盐城市某校高考数学模拟试卷答案1. 1+i2. π3. 充分不必要4. 25. −176. 127. 388. 169. 2n+110. [−1,−12)∪(0,1] 11. 7512. −2 13. ①③ 14. 815. 解：(1)m →=(√3,cos(π−A)−1)=(√3，−cosA −1) n →=(cos(π2−A)，1)=(sinA, 1)∵ m →⊥n →∴ √3sinA −cosA −1=0 ∴ sin(A −π6)=12∵ 0<A <π，∴ −π6<A −π6<5π6，∴ A −π6=π6，∴ A =π3（2）在△ABC 中，A =π3，a =2，cosB =√33∴ sinB =√1−cos 2B =√1−13=√63由正弦定理知：a sinA=b sinB，∴ b =asinB sinA =2×√63√32=4√23． ∴ b =4√2316. 证明：（1）在△ABD 中，∵ AD =4，BD =4√3，AB =8，∴ AD 2+BD 2=AB 2．∴ AD ⊥BD ．又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ BD ⊥平面PAD ．又BD ⊂平面MBD ， ∴ 平面MBD ⊥平面PAD ．（2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA // 平面MBD ． 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ． ∵ AB // DC ，所以四边形ABCD 是梯形． ∵ AB =2CD ，∴ CN:NA =1:2． 又∵ CM:MP =1:2，∴ CN:NA =CM:MP ，∴ PA // MN ． ∵ MN ⊂平面MBD ，∴ PA // 平面MBD ． 17. 解：（1）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y =2000+60x 800+ax(x ∈N ∗,1≤x ≤10)；由题意，有2000+60x 800+9x≥3，解得，x ≥40033>10．所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． （2）设1≤x 1<x 2≤10，则f(x 2)−f(x 1)=2000+60x 2800+ax 2−2000+60x 1800+ax 1=(60×800−2000a)(x 2−x 1)(800+ax 2)(800+ax 1)>0，所以，60×800−2000a >0，得a <24．所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． 18. 解：（1）因为b =3，ca=12，b 2+c 2=a 2，解得a 2=12，b 2=9，c 2=3，所以椭圆的标准方程为x 212+y 29=1．（2）①因为B(−√3, 0)，C(√3, 0)，A(0, 3)，所以△ABC 为等边三角形． 经过A ，B ，C 三点的圆M 的方程为x 2+(y −1)2=4，即x 2+y 2−2y =3． 设点P(x, y)，则k PC =tanα=x−√3，k PB =tanβ=x+√3．因为β−α=2π3，所以tan(β−α)=−√3．因为tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=−2√3yx 2+y 2−3， 所以−2√3yx 2+y 2−3=−√3．化简得x 2+y 2−2y =3．所以点P 一定在经过A ，B ，C 三点的圆M 上．②PA 2=x 2+(y −3)2=x 2+y 2−6y +9，因为x 2+y 2=3+2y ，所以PA 2=12−4y ． PB 2=(x −√3)2+y 2=2y +6−2√3x ，PC 2=(x +√3)2+y 2=2y +6+2√3x ， 2PB ×PC =2√4(y +3)2−12x 2=4√(y +3)2−3x 2，因为3x 2=9−3y 2+6y ， 所以2PB ×PC =4√4y 2，由于y <0，所以2PB ×PC =−8y ，从而(PB +PC)2=PB 2+2PB ×PC +PC 2=4y +12−8y =12−4y =PA 2． 所以PA =PB +PC ．19. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n3(n 2−1)−n−13[(n −1)2−1]=n 2−n ，又a 1=0，所以a n =n 2−n(n ∈N ∗)．所以a i +i =i 2(i =1, 2, 3,)是完全平方数，数列{a n }具有“P 性质”． （2）数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”， 数列{b n }为3，2，1，5，4． 数列1，2，3，，11不具有“变换P 性质”．因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数， 所以数列1，2，3，，11不具有“变换P 性质”． （3）设n =m 2+j ，1≤j ≤2m +1， 注意到(m +2)2−(m 2+j)=4m +4−j ， 令ℎ=4m +4−j −1，由于1≤j ≤2m +1，m ≥5，所以ℎ=4m +4−j −1≥2m +2≥12，又m 2−ℎ=m 2−4m −4+j +1≥m 2−4m −2，m 2−4m −2=(m −2)2−6>0， 所以ℎ<m 2， 即ℎ∈[12, m 2]．因为当n ∈[12, m 2](m ≥5)时，数列{a n }具有“变换P 性质”， 所以1，2，，4m +4−j −1可以排列成a 1，a 2，a 3，，a ℎ，使得a i +i(i =1, 2,,ℎ)都是平方数；另外，4m +4−j ，4m +4−j +1，，m 2+j 可以按相反顺序排列，即排列为m 2+j ，，4m +4−j +1，4m +4−j ，使得(4m +4−j)+(m 2+j)=(m +2)2，(4m +4−j +1)+(m 2+j −1)=(m +2)2，， 所以1，2，，4m +4−j −1，4m +4−j ，，m 2−1+j ，m 2+j 可以排成a 1，a 2，a 3，，a ℎ，m 2+j ，，4m +4−j 满足a i +i(i =1, 2,,m 2+j)都是平方数． 20. 解：(I)f(x)=3x 2+2ax +b ．依题意则有：{f(1)=4f ′(1)=0，所以{1+a +b =43+2a +b =0，解得{a =−6b =9，所以f(x)=x 3−6x 2+9x ； f′(x)=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)，由f′(x)=0可得x =1或x =3． f′(x)，f(x)在区间(0, 4]上的变化情况为：所以函数f(x)=x 3−6x 2+9x 在区间[0, 4]上的最大值是4，最小值是0． (II)由函数的定义域是正数知，s >0，故极值点(3, 0)不在区间[s, t]上；(1)若极值点M(1, 4)在区间[s, t]，此时0<s ≤1≤t <3，在此区间上f(x)的最大值是4，不可能等于t ；故在区间[s, t]上没有极值点；(2)若f(x)=x 3−6x 2+9x 在[s, t]上单调增，即0<s <t ≤1或3<s <t ，则{f(s)=s f(t)=t ，即{s 3−6s 2+9s =s t 3−6t 2+9t =t，解得{s =2t =4不合要求； (3)若f(x)=x 3−6x 2+9x 在[s, t]上单调减，即1<s <t <3，则{f(s)=t f(t)=s ，两式相减并除s −t 得：(s +t)2−6(s +t)−st +10=0，① 两式相除并开方可得[s(s −3)]2=[t(t −3)]2，即s(3−s)=t(3−t)，整理并除以s −t 得：s +t =3，② 代入①有st =1，与1<s <t <3矛盾．(III)同(II)，极值点(3, 0)不可能在区间[s, t]上；(1)若极值点M(1, 4)在区间[s, t]，此时0<s ≤1≤t <3， 故有①{0<s ≤1≤t <3kt =4ks =f(s)f(s)≤f(t)或②{0<s ≤1≤t <3kt =4ks =f(t)f(s)≥f(t)①由k =4t ，1≤t <3知，k ∈(43, 4]，当且仅当t =1时，k =4； 再由k =(s −3)2，0<s ≤1知，k ∈[4, 9)，当且仅当s =1时，k =4由于s ≠t ，故不存在满足要求的k 值． ②由s =1k f(t)=t4f(t)=[t(3−t)2]2，及0<s ≤1可解得2≤t <3，所以k =4t ，2≤t <3知，k ∈(43, 2]；即当k ∈(43, 2]时，存在t =4k ∈[2, 3), s =1k f(t)=t4f(t)=[t(3−t)2]2∈(0, 1]，且f(s)≥4s =4k f(t)>f(t)，满足要求．(2)若函数f(x)在区间[s, t]单调递增，则0<s <t ≤1或3<s <t ， 且{f(s)=ks f(t)=kt，故s ，t 是方程x 2−6x +9=k 的两根， 由于此方程两根之和为3，故[s, t]不可能同在一个单调增区间； (3)若函数f(x)在区间[s, t]单调递减，则1<s <t <3，{f(s)=ksf(t)=kt，两式相除并整理得s 2(s −3)2=t 2(t −3)2，由1<s <t <3知s(s −3)=t(t −3)，即s +t =3，再将两式相减并除以s −t 得，−k =(s 2+st +t 2)−6(s +t)+9=(s +t)2−6(s +t)+9−st =−st ，即k =st ，所以s ，t 是方程x 2−3x +k =0的两根，令g(x)=x 2−3x +k ， 则{△=9−4k >0g(1)>0g(3)>0，解得2<k <94，即存在s =3−√9−4k 2，s =3+√9−4k2满足要求． 综上可得，当43<k <94时，存在两个不等正数s ，t(s <t)，使x ∈[s, t]时，函数f(x)=x 3−6x 2+9x 的值域恰好是[ks, kt]． 21. 解：∵ PA 是圆O 的切线，PDB 是圆O 的割线， ∴ PA 2=PD ⋅PB ，又PD =1，BD =8， ∴ PA =3，又PE =PA ，∴ PE =3．∵ PA 是圆O 的切线，∴ ∠PAE =∠ABC =60o ， 又PE =PA ，∴ △PAE 是等边三角形，∴ PE =3． ∴ DE =PE −PD =2，∴ BE =BD −DE =6． 由相交弦定理，得AE ⋅CE =BE ⋅DE ，∴ CE =4． 22. 甲获得这次比赛胜利的概率为1627． （2）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5， 随机变量的分布列为 P(X =3)=(13)2=19，P(X =4)=827+C 21×13×23×13=49，P(X =5)=3×(23)2×13×23+3×(23)2×13×13=49． ∴ 随机变量X 的数学期望为E(X)=3×19+4×49+5×49=133．23. 证明：（1）∵ A n k =n!(n−k)!=n ⋅(n−1)![(n−1)−(k−1)]!=nA n−1k−1(2≤k ≤n)，所以当n ≥2时，an n =1n (A n 1+A n 2+...+A n n)=1n [n +(nA n−11++nA n−1n−1)]=1+(A n−11+...+A n−1n−1)=1+a n−1．∴ a n−1+1=a n n．（2）由（1）得a n−1+1a n−1=a nna n−1，即1+1a n−1=a nna n−1，∴ (1+1a1)⋅(1+1a2)⋅(1+1a3)⋅⋅(1+1a n)=a22a1⋅a33a2⋅a44a3...a n+1(n+1)a n=a n+1(n+1)!=1(n+1)!(A n+11+An+12+...+An+1n+1)=1n!+1(n−1)!+...+12!+11!+1≤1n(n−1)+1(n−1)(n−2)+...+11×2+2=(1n−1−1n)+(1n−1+1n−2)+...+(1−12)+2=3−1n．∴ 原不等式成立．。

2010年江苏高考数学试题及参考答案一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________ 答案：1；2、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______答案：63；3、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____答案：21；解答题15、（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值（1）(3,5),(1,1)AB AC ==-求两条对角线长即为求||AB AC + 与||AB AC - ，由(2,6)AB AC +=，得||AB AC +=由(4,4)AB AC -=，得||AB AC -=（2）(2,1)O C =-- ，∵(OC t AB -)·OC 2AB OC tOC =- ，易求11AB OC =- ，25OC = ， 所以由(OC t AB -)·OC =0得115t =-。

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900(1)求证：PC⊥BC(2)求点A 到平面PBC 的距离D CB APE（1）∵PD⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥，又BC C D ⊥，∴B C ⊥面P C D ，∴BC PC ⊥。

（2）设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵A PBC P ABC V V --=,∴1133PBC ABC S h S PD ⋅=容易求出h =17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大（1）∵tan AE AB α=，tan AE AD β=，∴tan 31tan 30A D A B αβ== （2）。

盐城市高三数学试卷 第页(共6页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2010．4一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，若a ∥b ，则x ＝__________.2. 已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N ＝____________.3. 设复数z 1＝1－i ，z 2＝－4－3i ，则z 1·z 2在复平面内对应的点位于第__________象限．4. 为了解高三女生的身高情况，从高三女生中选取容量为60的样本(60名女生身高，5. 若a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则α∥β的充分而不必要条件是__________．(将正确的序号全部填上)① a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，且b ∥β； ② a ⊂α，b ⊂β，且a ∥b ； ③ a ⊥α，b ⊥β，且a ∥b ； ④ a ∥α，b ∥β，且a ∥b .6. 与直线y ＝x －2平行且与曲线y ＝x 2－ln x 相切的直线方程为________________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集为____________．8. 设sin(α＋β)＝35，cos(α－β)＝310，则(sin α－cos α)(sin β－cos β)的值为____________．(第9题)9. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S ＝____________.10. 设P 是直线l ：y ＝2x 且在第一象限上的一点，点Q (2,2)，则直线PQ 与直线l 及x 轴在第一象限围成的三角形面积最小值为____________．11. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上存在点P ，使得|PF 1→＋PF 2→|＝|F 1F 2→|成立，则离心率的取值范围为____________．12. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n －1＝(12)n (n ≥2)，S n ＝a 1·2＋a 2·22＋…＋a n ·2n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得3S n －a n ·2n ＋1＝____________.13. 对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．这个函数[x ]叫做“取整函数”，那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝____________.14. 连续两次掷骰子得到的点数依次为m 、n ，则以点(0,0)、(1，－1)、(m ，n )为顶点能构成直角三角形的概率为______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝1，D 是BC 的中点，点P 在平面BCC 1B 1内，PB 1＝PC 1＝ 2.(1) 求证：P A 1⊥BC ；(2) 求证：PB 1∥平面AC 1D .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a 2－c 2＝3ab －b 2，S △ABC ＝2.(1) 求CA →·CB →的值；(2) 设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中φ∈[0，π2]，ω＞0)，最小正周期为π，当x 等于角C 时函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x 的集合．游泳池中相邻的两条泳道A1B1和A2B2(看成两条互相平行的线段)分别长90 m，甲在泳道A1B1上从A1处出发，以3 m/s的速度到达B1后以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在泳道A2B2上从B2处出发，以2 m/s的速度到达A2后以同样的速度游回B2处，然后重复上述过程．(不考虑每次折返时的减速和转向时间)．两人同时开始运动．(1) 设甲离开池边B1B2处的距离为y m，当时间t∈[0,60](单位：s)时，写出y关于t的函数解析式；(2) 请判断从开始运动起到3 min为止，甲乙的相遇次数．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，直线x＋2y－4＝0与圆C1相交于M、N两点，以MN为直径作圆C2.(1) 求圆C2的方程；(2) 过原点O的直线l与圆C1、圆C2都相切，求直线l的方程．已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m是首项为10，公差为－2的等差数列；a m＋1，a m＋2，…，a2m是首项为12，公比为12的等比数列(m≥3，m∈N*)，并对任意n∈N*，均有an＋2m＝a n成立．(1) 当m＝12时，求a2 010；(2) 若a52＝1128，试求m的值；(3) 判断是否存在m，使S128m＋3≥2 010成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．已知关于x的函数f(x)＝x2＋2ax＋b(其中a、b∈R)．(1) 求函数|f(x)|的单调区间；(2) 令t＝a2－b.若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m＋1)|≤14同时成立，求t的最大值.盐城市高三数学附加题试卷 第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)一、 选做题：在四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. (选修4-1：几何证明选讲)自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为P A 中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB .2. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，记C ＝AB.(1) 求C －1；(2) 若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．3. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知A 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B 是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求AB 的最大值．4. (选修4-5：不等式选讲)设P 是△ABC 内的一点，x 、y 、z 是P 到三边a 、b 、c 的距离，R 是△ABC 外接圆的半径，证明x ＋y ＋z ≤12Ra 2＋b 2＋c 2.二、 必做题：每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．5. 一袋中有x (x ∈N *)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球． (1) 当x ＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；(2) 当x ＝3时，设ξ表示取出的2个球中红球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；(3) 如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于23，求x 的最小值．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 满足OF →＝(1,0)，OT →＝(－1，t )，FM →＝MT →，PM →⊥FT →，PT →∥OF →.(1) 当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；(2) 若过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两点，求证：直线TA 、TF 、TB 的斜率依次成等差数列．盐城市高三数学参考答案 第页(共3页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. －92. (2,3)3. 二4. 0.455. ③6. x －y ＝07. [－1,1]8. －3109. 162 10.4 11. [22，1) 12. n ＋1 13. 857 14. 81515. 证明：(1) 连结PD 交B 1C 1于H ，连结BH .(1分) ∵ BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴ BC ⊥平面ADP A 1.(3分) ∵ P A 1⊂平面ADP A 1. ∴ BC ⊥P A 1.(6分)(2) ∵ PH ∥BB 1，且PH ＝BB 1，∴ 四边形B 1PHB 为平行四边形．(8分) ∴ PB 1∥BH .而BH ∥C 1D ，∴ PB 1∥DC 1.(10分)又∵ PB 1⊄平面AC 1D ，C 1D ⊂平面AC 1D ，∴ PB 1∥平面AC 1D .(14分)16. 解：(1) cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，(2分)∵ 0＜C ＜π，∴ C ＝π6.(3分)∵ S △ABC ＝2， ∴ 12ab sin30°＝2， ∴ ab ＝8，(5分)∴ CA →·CB →＝ab cos30°＝8×32＝4 3.(7分)(2) ω＝2.(8分)当且仅当2x ＋φ＝π2＋2k π，即π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，(9分)此时φ＝π6＋2k π.又∵ φ∈[0，π2]，∴ φ＝π6.(10分)∴ 当2x ＋π6＝－π2＋2k π时函数取最小值．(12分)即函数取最小值时的x 的集合为{x |x ＝－π3＋k π，k ∈Z }．(14分)17. 解：(1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧90－3t ，t ∈[0，30]，3t －90，t ∈(30，60].(8分)(2) 如下图．(说明：若写出乙的函数解析式，则给予相应的得分) 五次 90(15分)18. 解：(1) 设圆C 2的圆心坐标为(x ，y )，(1分)过圆心C 1(1,2)且与直线x ＋2y －4＝0垂直的直线方程为y ＝2x ，(3分)∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝85.(5分)又因为圆C 2的半径为r ＝(45)2＋(85)2＝455，(6分) ∴ 圆C 2的方程为(x －45)2＋(y －85)2＝165.(8分)(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ，圆C 1的半径为r 1，圆C 2的半径为r 2.(9分) C 1到直线y ＝kx 的距离为d 1，C 2到y ＝kx 的距离为d 2.则d 1＝r 1，d 2＝r 2.由图形知，r 21＝r 22＋(C 1C 2)2，∴ d 21＝d 22＋15. ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －2|k 2＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4k 5－85|k 2＋12＋15，解得k ＝9±522.(13分) ∴ 直线l 的方程为y ＝9±522x .(15分)19. 解：(1) a n ＋24＝a n ，所以a 2 010＝a 18.(2分)a 18是以12为首项，以12为公比的等比数列的第6项，所以a 2 010＝164.(4分)(2) 1128＝(12)7，所以m ≥7.(5分)因为a 52＝1128，所以2km ＋m ＋7＝(2k ＋1)m ＋7＝52，其中m ≥7，m ∈N *，k ∈N *，(6分)即(2k ＋1)m ＝45，当k ＝0时，m ＝45，成立；当k ＝1时，m ＝15，成立；当k ＝2时，m ＝9成立；(9分)当k ≥3时，m ≤457＜7.所以m 可取9、15、45.(10分)(3) S 128m ＋3＝64S 2m ＋a 1＋a 2＋a 3＝64⎩⎨⎧⎭⎬⎫10m ＋m (m －1)2(－2)＋12⎣⎡⎦⎤1－(12)m 1－12＋10＋8＋6 ＝704m －64m 2＋88－64(12)m ≥2 010，(12分)704m －64m 2≥2 010－88＋64(12)m ＝1 922＋64(12)m ，设f (m )＝704m －64m 2，g (m )＝1 922＋64(12)m ，(14分)g (m )＞1 922；f (m )＝－64(m 2－11m )，对称轴m ＝112∉N *，所以f (m )在m ＝5或6时取最大值f (x )max ＝f (5)＝f (6)＝1 920.因为1 922＞1 920，所以不存在这样的m .(16分)20. 解：(1) ① 当a 2－b ≤0时，单调区间为(－∞，－a )减，[－a ，＋∞)增；(2分) ② 当a 2－b ＞0时，单调区间为(－∞，－a －a 2－b )减，(－a －a 2－b ，－a )增，(－a ，－a ＋a 2－b )减，(－a ＋a 2－b ，＋∞)增．(5分)(2) ① 当－14≤a 2－b ≤0时，由方程x 2＋2ax ＋b ＝14，解得x 1,2＝－a ±a 2－b ＋14，此时|x 2－x 1|＝2a 2－b ＋14≤1，不满足．(8分)② 当14＞a 2－b ＞0时，由方程x 2＋2ax ＋b ＝14，解得x 1,2＝－a ±a 2－b ＋14.此时|x 2－x 1|＝2a 2－b ＋14∈(1，2)，满足题意．(11分) ③ 当a 2－b ≥14时，由方程x 2＋2ax ＋b ＝14和方程x 2＋2ax ＋b ＝－14，解得x 1,2＝－a ±a 2－b ＋14，x 3,4＝－a ±a 2－b －14， 此时由于|x 2－x 1|＝2a 2－b ＋14∈[2，＋∞)， |x 3－x 1|＝a 2－b ＋14－a 2－b －14＝12a 2－b ＋14＋a 2－b －14≤24＜1， 所以只要|x 3－x 4|＝2a 2－b －14≤1即可，此时a 2－b ≤12，综上所述t 的最大值为12.(16分)盐城市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准1. (选修4-1：几何证明选讲)证明：∵ P A 与圆相切于A ，∴ MA 2＝MB ·MC .(1分)∵ M 为P A 中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB ·MC ，(3分)∴ PM MC ＝MB PM.(5分) ∵ ∠BMP ＝∠PMC ，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB .(10分)2. (选修4-2：矩阵与变换)解：(1) C ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4，(2分) C －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4.(5分) (2) 任取直线l 上一点P (x ，y )经矩阵B 变换后为点P ′(x ′，y ′)，(6分)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y ，(7分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －2y ，y ′＝y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，(8分) 代入x ＋y ＋2＝0，得x ′＋2y ′＋y ′＋2＝0，∴ x ′＋3y ′＋2＝0，(9分)∴ 直线l ′的方程为x ＋3y ＋2＝0.(10分)3. (选修4-4：坐标系与参数方程)解：两圆的普通方程为x 2＋(y －6)2＝36和(x －33)2＋(y －3)2＝36，(5分) 所以AB 的最大值为(0－33)2＋(6－3)2＋12＝18.(10分)4. (选修4-5：不等式选讲)证明：由柯西不等式得，x ＋y ＋z ＝ax 1a ＋by 1b ＋cz 1c ≤ax ＋by ＋cz ·1a ＋1b ＋1c，(3分) 记S 为△ABC 的面积，则ax ＋by ＋cz ＝2S ＝2·abc 4R ＝abc 2R，(6分) x ＋y ＋z ≤abc 2R ab ＋bc ＋ca abc ＝12R ab ＋bc ＋ca ≤12Ra 2＋b 2＋c 2，(9分) 故不等式成立．(10分)5. 解：(1) 当x ＝3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A ，P (A )＝C 23＋C 23＋C 22C 28＝14.(2分) 答：取出的2球颜色都相同的事件概率为14.(3分) (2) 当x ＝3时，ξ可取0、1、2， ∵ P (ξ＝0)＝C 25C 28＝514，P (ξ＝1)＝C 13C 15C 28＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 28＝328， ∴ ξ的概率分布为(5分)ξ的数学期望为Eξ＝0×514＋1×1528＋2×328＝34.(7分) (3) 设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B ，则P (B )＝C 1x C 13＋C 1x C 12＋C 13C 12C 2x ＋5＜23， ∴ x 2－6x ＋2＞0，∴ x ＞3＋7或x ＜3－7，∴ x 的最小值为6.(10分)6. (1) 解：设点P 的坐标为(x ，y )，由FM →＝MT →，得点M 是线段FT 的中点，则M (0，t 2)，PM →＝(－x ，t 2－y )． 又FT →＝OT →－OF →＝(－2，t )，PT →＝(－1－x ，t －y )，由PM →⊥FT →，得2x ＋t (t 2－y )＝0， ① 由PT →∥OF →，得(－1－x )×0＋(t －y )×1＝0，∴ t ＝y .②(3分)由①②消去t ，得y 2＝4x 即为所求点P 的轨迹C 的方程．(5分)(2) 证明：设直线TA ，TF ，TB 的斜率依次为k 1，k ，k 2，并记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k ＝－t 2.(6分) 设直线AB 方程为x ＝my ＋1，⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4， ∴ y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋8，(7分)∴ k 1＋k 2＝y 1－t x 1＋1＋y 2－t x 2＋1＝(y 1－t )(y 224＋1)＋(y 2－t )(y 214＋1)(y 214＋1)(y 224＋1) ＝4y 1y 2(y 1＋y 2)－4t (y 21＋y 22)＋16(y 1＋y 2)－32t y 21y 22＋4(y 21＋y 22)＋16＝－t ＝2k .(9分)∴ k 1，k ，k 2成等差数列．(10分)。

第6题江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数 学 试 题(总分160分, 考试时间120分钟) 2011-1-20一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则P Q = ▲ . 2．若复数1234,12(z i z i i =+=+是虚数单位),则12-z z = ▲ . 3．命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ▲ .4．某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人, 50岁及以上的有30人.现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查, 则35岁到49岁的应抽取 ▲ 人．5．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲ . 6．运行如图所示的程序框图,则输出的结果S= ▲ . 7．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为 ▲ . 8．观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan5tan100tan100tan(15)+- tan(15)tan51+-=； ③tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=.一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ . 9．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ .10．设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35,则a b +的最小值为 ▲ .11．已知平面,,αβγ,直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥ m l l m ,那么①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥.可由上述条件可推出的结论有 ▲ (请将你认为正确的结论的序号都填上).12．在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ .第15题C 1ABCDEF A 1B 1 第16题第17题13．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ .14．已知函数2342011()12342011=+-+-+⋅⋅⋅+x x x x f x x ,2342011()12342011=-+-+-⋅⋅⋅-x x x x g x x , 设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ,且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内, 则-b a 的最小值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分) 如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在⊙O 上,点A 34(,)55, 点B 在第二象限,点C (1,0).（Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°,E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1.17．(本小题满分16分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切． 过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==. （Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x .若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到0.1,参考数据1.4).19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.（Ⅰ）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ； （Ⅱ）若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由； （Ⅲ）当12p =时,问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值； 若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-,()||22ln 2,0g x x x a a =-+->. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；（Ⅱ）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立,求a 的取值范围； （Ⅲ）对任意1[1,)x ∈+∞,总存在惟一．．的．2[2,)x ∈+∞,使得12()()f xg x =成立, 求a 的取值范围.数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点,⊥OC AB ,过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.D.（选修4—5：不等式选讲）已知0>m , a , b ∈R ，求证：()22211a mba mb mm++≤++.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分） 设,m n N ∈,()(12)(1)m nf x x x =+++.（Ⅰ）当m n ==2011时,记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-； （Ⅱ）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．23．（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；（Ⅱ）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．AD 第21-A 题江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}0,22.22+i3.,sin 2∃∈≥x R x4.55.346.617.π8.90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++= 当时9. 22(2)(2)10-+-=x y 10.8 11.②④ 12.71313.4 14.9 二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．解：（Ⅰ）因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==………………………………6分 （Ⅱ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+ BOC AOC310-=10分同理, 4sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为34(,1010-+………………………………14分16．（Ⅰ）证明:因为E 、F 分别为11AC 、11B C 的中点,所以11////EF AB AB ………………………4分 而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,所以直线EF ∥平面ABD ………………………………………7分 （Ⅱ）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥,而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B = ,所以AB ⊥面11BCC B ………… 11分 又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………………………14分17．解：（Ⅰ）因为1cos 602122p OA =⋅=⨯= ,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =……… 2分 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅= ,所以M 的方程为22(2)4x y -+=……………… 5分 （Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=---- =222322x x y x x -++=++……8分所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2 ……………………………………………………………10分（Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦………………… 11分 设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+…13分 从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)………………………………………………………………14分因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)3 ……………16分 18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………………………………… 3分 当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分 综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………………… 6分 （Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414ax a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,所以[4,8],故当且仅当14x -=,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得244a -≤,所以a的最小值为24 1.6-≈ ………………14分 19．解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =--……………4分 （Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列……………………5分 理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+, 所以12(12)n n nc n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列； 当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列 ………………………………………………………………… 9分 （Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---………………………………10分因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) ……………………………………………12分212(10)1n n S c +-= ，244164n n n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484x g x f x x '==--，2()(ln 4)480xg x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠，∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立……………………………………………………16分20．解：（Ⅰ）当1a =,[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+,1()2(1)1f x x f x''=-≥=,所以()f x 在[1,]e 递增,所以2max ()()f x f e e ==………………………………………………………4分 （Ⅱ）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立, )(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y ==…………………………………………5分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='， （i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数, 故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e ……………………………………………7分(ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数, 所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数,故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=， 且此时)()2(e f af <2=e ………………………………………………………………………8分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数， 故当e x =时，2min )(e e f y ==………………………………………………………………9分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min 2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y ……………………………10分所以当312a a +≥时,得02a <≤；当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解；当232e a ≥（22a e ≥）时,得a ≤不成立. 综上,所求a 的取值范围是02a <≤…………………………………………11分（Ⅲ）①当02a <≤时,()g x 在[2,)+∞单调递增,由(2622ln 21g a a =--≤+）, 得52ln 2233a -≤≤………………………………………………………………………………………12分 ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增,由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a ag a , 得ln 22ln 20222a a a +--<, 设()ln 22ln 2()2ah t t t t t =+--=,()2ln 0(12)h t t t '=+><<, 所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()0h t <恒成立得24a <<……………………………………14分③当222a e <<时,()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2aa 递减， 在[,)a +∞递增,所以由()2a g 3ln 222a a a<-, 得23ln 22ln 204222a a a a-++-<,设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-, 则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈,所以()m t 递增，且(2)0m =, 所以()0m t >恒成立，无解.④当22a e >时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由(2a g e <得2222ln 204a e -+-<无解. 综上,所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-………………………16分数学附加题部分21．A.证明：连结OF ,因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°,所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ,又因为CO ⊥AB 于O ， 所以∠OCF +∠CEO =90°………………………………………………………………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ,因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ……………………………………………………………………………………10分B. 解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量………………………………………8分同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量． 综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………………10分C. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--………………………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC 分所以1MN MC r +≤……………………………………………………………………………10分D. 因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mb a mb m m++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++…10分 22.解：（Ⅰ）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-………………………4分（Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m nC C + 2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+ ……………7分 所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85…………………………10分23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A =⋅= ……………………4分 （Ⅱ）由题意得, ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4p ξ==, 9(1)64p ξ==,(2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=, (3)p ξ==313841664⋅⋅39512=,即随机变量ξ的概率分布列为:分所以,19273397350123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (10)。

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. 2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____.3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______▲_________6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设集合{1,1,3}A =-，{}4,22++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为____▲____.1.【答案】1.【命题意图】本题考查交集的定义，对求得的集合中的元素要进行检验. 【解析】由题意得1,32==+a a .又由342=+a 不符合题意.经检验得1=a . 2.设复数z 满足(23)64z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为____▲____. 2.【答案】2.【命题意图】本题考查复数有关运算及复数模的计算. 【解析】由i i z 46)32(+=-得,2)32)(32()32)(46(3246i i i i i i i z =+-++=-+=即2,2=∴=z i z . 3.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ ▲__.3.【答案】21. 【命题意图】本题考查古典概型知识. 【解析】31.62p == 4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_ ▲__ 根棉花纤维的长度小于20mm. 4.【答案】30.【命题意图】本题考查概率统计中频率分布直方图的有关运用,注意纵坐标是频率/组距.【解析】由频率分布直方图得棉花纤维长度小于mm 20的根数为(0.01+0.01+0.04)301005=⨯⨯. 5.设函数()()xxf x x e ae -=+(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为____▲____. 5.【答案】1-.【命题意图】本题考查函数的奇偶性.【解析】设R x ae e x g xx∈+=-,)(,由题意分析)(x g 应为奇函数(奇函数⨯奇函数=偶函数), 又R x ∈ ，0)0(=∴g ，则,01=+a 所以1-=a .6.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为____▲____.6.【答案】4.【命题意图】本题考查求曲线上点的坐标、双曲线的焦点坐标、两点间距离公式的运用. 【解析】由题意得点15,3(±M ),双曲线的右焦点的坐标为(4,0)，2MF 22)015()43(-±+-==4.或用第二定义：2MFe d==，2d =，4MF =. 7.右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是____▲____.7.【答案】63.【命题意图】本题考查算法流程图,由流程图得出S 的关系式,比较得出S 的值. 【解析】由流程图得12345122222S =+++++=1+2+48+16+32=6333≥,即.63=S8.函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中k ∈N *.若116a =，则123a a a ++的值是____▲____.8.【答案】21.【命题意图】考查函数的切线方程、数列的通项.【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =，所以 1135,1641212kk a a a a a +=++=++=. 9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是____▲____. 9.【答案】(13,13)-.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.【解析】如图,圆422=+y x 的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线的距离为1,问题转化为原点(0,0)到直线于1,即1313,13,151222<<-∴<<+c c c .10.设定义在区间(0,)2π上的函数y=6cosx 的图象与y=5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y=sinx 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____▲____. 10.【答案】.32【命题意图】本题考查三角函数问题,由图象相交,即三角函数值相等,建立关系式,求出,32sin =x 结合图象,0=数形结合分析P 1P 2的值.【解析】由题意得x x tan 5cos 6=，即x x xxx sin 5cos 6,cos sin 5cos 62==， 226(1sin )5sin ,6sin 5sin 60x x x x -=+-=得,32sin =x 结合图象分析得32sin 21==P P x .11.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是____▲____.11.【答案】).12,1(--【命题意图】本题考查分段函数的单调性.【解析】2212,10,x x x ⎧->⎪⎨->⎪⎩解得11x -<<-，所以x 的取值范围是).12,1(-- 12.设x,y 为实数，满足3≤2xy ≤8，4≤2x y≤9，则34x y 的最大值是____▲____.12.【答案】27.【命题意图】考查不等式的基本性质，等价转化思想.【解析】22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43yx 的最大值是27.13.在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+的值是 ▲ . 【答案】4.【解析】考查三角函数知识，三角形中的正、余弦定理的应用，等价转化思想. （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性. 当A=B 或a=b 时满足题意，此时有1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan 22C =.等腰三角形中，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+=4. （方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=.2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅, 由正弦定理，得上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅. 14.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(s =梯形的周长）梯形的面积,则s 的最小值是____▲____.【答案. 【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想. 设剪成的小正三角形的边长为x，则222(3)(01)122x s x x -==<<-. （方法一）利用导数求函数最小值.22(3)()1x S x x -=-，2222(26)(1)(3)(2)()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=-222(31)(3)(1)x x x ---=- 1()0,01,3S x x x '=<<=.当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增.故当13x =时，S取最小值3.（方法二）利用函数的方法求最小值.令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则222186681t S t t t t==-+--+-.故当131,83x t ==时，S. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A --，(2,3)B ，(2,1).C -- (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值.【解析】本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.满分14分. 解：（1）由题设知(3,5)AB =，(1,1)AC =-，则(2,6)A B A C+=，(4,4).AB AC -=所以||AB AC +=，||AB AC -= 故所求的两条对角线长分别为42，210.（2）由题设知 (2,1)OC =--，(32,5).AB tOC t t -=++由()0AB tOC OC -=，得(32,5)(2,1)0t t ++--=， 从而511t =-，所以11.5t =- 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满分14分.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得BC ⊥DC.又PD DC D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC. （2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF.则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 由（1）知BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD.因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F.易知又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍，故点A 到平面PBC . （方法二）连结AC.设点A 到平面PBC 的距离h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而由AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积11.33ABC V S PD ∆== 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC.又PD=DC=1，所以PC ==由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积PBC S ∆=由11213323PBC V S h h ∆===，得h =因此，点A 到平面PBC . 17.（本小题满分14分）某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（1）该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？【解析】本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.满分14分. 解：（1）由tan HAB α=，tan h BD β=，tan H AD β=及AB BD AD +=，得tan tan tan H h H αββ+=， 解得tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--.因此，算出的电视塔的高度H 是124m. （2）由题设知d AB =，得tan .H dα= 由tan tan H h AB AD BD ββ=-=-，得tan H hdβ-=，所以tan tan tan()()1tan tan h H H h d dαβαβαβ--==≤-+⋅+，当且仅当()H H h d d-=，即d ==.所以当d =tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当d =时，αβ-最大.故所求的d是18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0，0,021<>y y . （1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关).【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.满分16分.解：由题设得(3,0)A -，(3,0)B ，(2,0).F（1）设点(,)P x y ，则222(2)PF x y =-+，222(3).PB x y =-+ 由422=-PB PF ，得2222(2)(3)4x y x y -+---=，化简得92x =. 故所求点P 的轨迹为直线92x =. （2）由12x =，2211195x y +=及10y >，得153y =，则点5(2,)3M ， 从而直线AM 的方程为113y x =+； 由213x =，2222195x y +=及20y <，得2109y =-，则点110(,)39N -， 从而直线BN 的方程为5562y x =-. 由11,355,62y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得7,10.3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点T 的坐标为10(7,)3.（3）由题设知，直线AT 的方程为(3)12m y x =+，直线BT 的方程为(3)6my x =-. 点11(,)M x y 满足112211(3),121,95m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22111(3)(3)(3)9125x x x m -++=-，因为13x ≠-，则211339125x x m -+=-，解得212240380m x m -=+，从而124080my m=+. 点22(,)N x y 满足2222222(3),61,953,m y x x y x ⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪≠⎪⎪⎩解得22236020m x m -=+，222020m y m -=+.若12x x =，则由222224033608020m m m m--=++及0m >，得m = 此时直线MN 的方程为1x =，过点(1,0).D若12x x ≠，则m ≠MD 的斜率2222401080240340180MDmm m k m m m +==---+， 直线ND 的斜率222220102036040120NDmm m k m mm -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点. 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1,0). 19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29. 【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力.满分16分. 解：（1(1)(1)n d n d =-=-，则当2n ≥时，221232.n n n a S S d d n -=-=-=+由2132a a a =+，得2212(2)23d a d =++.d = 故当2n ≥时，222.n a nd d =-又21a d =，所以数列{}n a 的通项公式为2(21)n a n d =-. （2d =(1)n d =-，得0d >，22n S n d =.于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有2222222()99()222m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==.所以c 的最大值max 92c ≥.另一方面，任取实数92a >.设k 为偶数，令331,122m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，且22222222331()((1)(1))(94).222m n S S d m n d k k d k +=+=++-=+于是，只要22942k ak +<，即当k >时，就有22122m n k S S d ak aS +<⋅=.所以满足条件的92c ≤，从而max 92c ≤. 因此c 的最大值为92. 20.（本小题满分16分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数2()ln (1)1b f x x x x +=+>+，其中b 为实数. (i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ；(ii)求函数)(x f 的单调区间.(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P .给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数,21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.满分16分.解：(1)(i)由2()ln 1b f x x x +=++，得'()f x 221.(1)x bx x x -+=+ 因为1x >时，21()0(1)h x x x =>+，所以函数)(x f 具有性质)(b P . (ii)当2b ≤时，由1x >得222121(1)0x bx x x x -+≥-+=->， 所以)('x f 0>，从而函数)(x f 在区间),1(+∞上单调递增.当2b >时，解方程210x bx -+=得12b x -=，22b x +=因为12b x -=21b=<<，212b x +=>， 所以当2(1,)x x ∈时，)('x f 0<；当2(,)x x ∈+∞时，)('x f 0>；当2x x =时，)('x f =0. 从而函数)(x f 在区间2(1,)x 上单调递减，在区间2(,)x +∞上单调递增. 综上所述，当2b ≤时，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞；当2b >时，函数)(x f 的单调减区间为，单调增区间为)+∞. (2)（方法一）由题意，得22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=-. 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增.当1m =时，1x α=，2x β=，不合题意.1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--. 当1,12m m >≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-， 221212()()(1)()0x x m x x αβ∴--=---<，12x x αβ∴<<<或12x x αβ<<<，若12x x αβ<<<,则12()()()()f f x f x f αβ<<<,12|()()||()()|g g g x g x αβ∴->-,不合题意. 12x x αβ∴<<<，即112122(1),(1),x mx m x m x mx x <+-⎧⎨-+<⎩解得1m <，11.2m ∴<<当12m =时，αβ=，120|()()||()()|g g g x g x αβ=-<-，符合题意. 当12m <时，αβ>，且212112(),()x m x x x m x x αβ-=--=--，同理有12x x βα<<<，112122(1),(1),x m x mx mx m x x <-+⎧⎨+-<⎩解得0m >，10.2m ∴<<综合以上讨论，得所求的m 的取值范围是(0，1).（方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立，所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增. ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，222(1)mx m x x α<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调性知()g α，()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设.②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ>>及()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符. 因此，综合①、②、③得所求的m 的取值范围为(0，1).数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C.若DA=DC ，求证：AB=2BC.【解析】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.满分10分.证明：（方法一）连OD ，则OD ⊥DC.又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ，所以∠DCO=300，所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC.（方法二）连结OD 、BD.因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB.因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900.又因为DA=DC ，所以∠A=∠C ，于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO.即2OB=OB+BC ，得OB=BC.故AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(2,0),(2,1)A B C --.设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值.【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.满分10分. 解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由0001000k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，0201002k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，021012k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 可知1(0,0)A ，1(0,2)B -，1(,2)C k -.计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知||212k =⨯=.所以k 的值为2-或2.C.选修4-4：参数方程与极坐标（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值.【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.满分10分.解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为22222,(1)1x y x x y +=-+=即，直线的方程为340x y a ++=.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为11,=解得8a =-，或2a =. 故a 的值为8-或2.D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a ，b 是非负实数，求证：3322)a b a b +≥+.【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力.满分10分.证明：由a ，b 是非负实数，作差得3322)a b a b a b ++=+55]=-.当a b ≥≥55≥，得55]0-≥；当a b <<55<，得55]0->.所以3322)a b a b +≥+.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力.满分10分.解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18，P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02.由此得X 的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件.由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =. 所以3344440.80.20.80.8192P C C =+=. 故所求概率为0.8192. 23.（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长都是有理数.（1）求证：cos A 是有理数； (2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数.【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.满分10分.证法一：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数.当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cos A 是有理数，∴cos2A 也是有理数；②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数.当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，1cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+， 11cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22k A kA A k A k A +=--++， 解得cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--. ∵cos A ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数，∴cos(1)k A +是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 也是有理数.证法二：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)用数学归纳法证明cos nA 和sin sin A nA 都是有理数.①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A =-也是有理数.②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA 都是有理数.当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A kA A A kA +=-，sin sin(1)sin (sin cos cos sin )A k A A A kA A kA +=+(sin sin )cos (sin sin )cos A A kA A kA A =+，及①和归纳假设，知cos(1)k A +与sin sin(1)A k A +都是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综合①、②可知，对任意正整数n ，cos nA 也是有理数.。

2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. sin(−300∘)=________．2. 已知复数z =−i(1+2i)，其中i 是虚线单位，则|z|=________．3. 已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x +1>0}，则集合A ∩∁U B =________．4. 某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为________．5. 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x −2y −4=0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为________．6. 下图是一个算法的流程图，若输入x =6，则输出k 的值是________．7. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1，2a +5，则数列{a n }的通项公式a n =________．8. 同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是________．9. 若向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=1，a →⋅(a →+b →)=1，则向量a →，b →的夹角的大小为________．10. 若方程lnx +2x −10=0的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是________． 11. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是________． 12. △ABC 中，若A =2B ，则ab 的取值范围是________．13. 某同学在研究函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)时，分别给出下面几个结论：①f(−x)+f(x)=0在x ∈R 时恒成立； ②函数f(x)的值域为(−1, 1)；③若x 1≠x 2，则一定有f(x 1)≠f(x 2)； ④函数g(x)=f(x)−x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有________．14. 在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m+T =a m 对任意正整数m 均成立，那么就称{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n+1=|x n −x n−1|(n ≥2, n ∈N ∗)，且x 1=1，x 2=a(a ≤1, a ≠0)，当数列{x n }周期为3时，则该数列的前2007项的和为________二、解答题（共12小题，满分0分）15. 已知a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)，且f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f(x)的最大值；（2）求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间．16.如图，在四棱锥O −ABCD 中，AD // BC ，AB =AD =2BC ，OB =OD ，M 是OD 的中点． 求证：(I)直线MC // 平面OAB ； (II)直线BD ⊥直线OA ．17.某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC =120∘，按照设计要求，其横截面面积为6√3平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周 长（梯形的底BC 与两腰长的和）必须最小，设水渠深ℎ米． （1）当ℎ为多少米时，用料最省？（2）如果水渠的深度设计在[3,2√3]的范围内，求横截面周长的最小值． 18. 已知⊙C 1:x 2+(y +5)2=5，点A(1, −3) （1）求过点A 与⊙C 1相切的直线l 的方程；（2）设⊙C 2为⊙C 1关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切线长之比为√2？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 19. 已知函数f(x)＝x 4+ax 3+2x 2+b(x ∈R)，其中a ，b ∈R ． (Ⅰ)当a =−103时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(Ⅲ)若对于任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立，求b 的取值范围． 20. 设{a n }是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6）（I ）记S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =a 12+a 22+...+a n 2，已知S n ≤n 2+n −1，T n ≥4n 3−n 3(n ∈N ∗)，试求此等差数列的首项a 1及公差d ；（II ）若{a n }的首项a 1及公差d 都是正整数，问在数列{a n }中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′m }？若存在，请写出{a′m }的构造过程；若不存在，说明理由．21. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交于AC于点E ，交⊙O 于点D ，若PE =PA ，∠ABC =60∘，PD =1，BD =8，求线段CE 的长． 22. 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1, 2)变成了点A′(4, 5)，点B(3, −1)变成了点B′(5, 1)，求矩阵M ．23. 自极点O 作射线与直线ρcosθ=3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得OM ⋅OP =12，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线l ：{x =t +2y =2t +1（t 是参数）的位置关系．24. 设a ∈R 且a ≠−√2，试比较√2+a√2−a 的大小．25. 回答下列问题：（1）设f(x)=(1+x)n ，f(x)展开式中x 2的系数是10，求n 的值；（2）利用二项式定理证明：∑(n k=1−1)k+1kC n k=0． 26. 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．(I)求一次抽奖中奖的概率；(II)若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X （元）的概率分布和期望E(X)．2010年江苏省某校高考数学模拟试卷（1）答案1. √322. √53. {x|−2≤x ≤−1}4. 205. √326. 47. 3n−18. 599. 3π4 10. 5 11. π412. (1, 2) 13. ①②③ 14. 133815. 解：（1）因为a →=(sinx +2cosx, 3cosx)，b →=(sinx, cosx)， 所以，f(x)=(sinx +2cosx)sinx +3cosx ⋅cosx =1+sin2x +1+cos2x =√2sin(2x +π4)+2，所以，当2x +π4=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π8+kπ，k ∈Z 时， f(x)取得最大值√2+2；（2）由（1）由知f(x)的最小正周期是π， 由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2，得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8，k ∈Z ，所以f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]∴ f(x)的最大值为√2+2；f(x)在[0, π]上的递增区间为[0,π8]和[5π8，π]． 16. 证明：(1)设N 是OA 的中点，连接MN ，NB ， 因为M 是OD 的中点，所以MN // AD ，且2MN =AD ， 又AD // BC ，AD =2BC ， 所以MNBC 是平行四边形， 所以MC // NB ，又MC 不在平面OAB 上，NB ⊂平面OAB ， 所以直线MC // 平面OAB ；(2)设H 是BD 的中点，连接AH ， 因为AB =AD ，所以AH ⊥BD ， 又因为OB =OD ，所以OH ⊥BD 所以BD ⊥面OAH 所以BD ⊥OA 、17. 解：（1）6√3=12(AD +BC)ℎ，AD =BC +2×ℎcot60∘=BC +2√33ℎ，6√3=12(2BC +2√33ℎ)ℎ， 使得BC =6√3ℎ−√33ℎ=√3ℎ+6√3ℎ≥6√2．设外周长为l ，则l =2AB +BC =2ℎsin60∘+6√3ℎ−√33ℎ， 当√3ℎ=6√3ℎ，即ℎ=√6时等号成立，外周长的最小值为6√2，此时堤高ℎ为√6米；（2）√3ℎ+6√3ℎ=√3(ℎ+6ℎ)，设3≤ℎ1<ℎ2≤2√3．解ℎ2+6ℎ2−ℎ1−6ℎ1=(ℎ2−ℎ1)(1−6ℎ1ℎ2)>0，l 是ℎ的增函数，所以l min =√3×3+6√33=5√3（米），（当ℎ=3时取得最小值）．18. 解：（1）C 1(0,−5)，r 1=√5，因为点A 恰在⊙C 1上，所以点A 即是切点，K C 1A =−3+51=2，所以k 1=−12，所以，直线l 的方程为y +3=−12(x −1)，即x +2y +5=0； （2）因为点A 恰为C 1C 2中点，所以，C 2(2, −1)，所以，⊙C 2：(x −2)2+(y +1)2=5， 设P(a,0),PC 12−5PC 22−5=2①，或PC 22−5PC 12−5=2②，由①得，a 2+20(a−2)2−4=2，解得a =−2或10，所以，P(−2,0)或(10,0)，由②得，a 2−4aa 2+20=2，求此方程无解．综上，存在两点P(−2, 0)或P(10, 0)适合题意．19. （1）f ′(x)＝4x 3+3ax 2+4x ＝x(4x 2+3ax +4)． 当a =−103时，f ′(x)＝x(4x 2−10x +4)＝2x(2x −1)(x −2)．令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2=12，x 3＝（2）当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,12)，(2, +∞)内是增函数，在(−∞, 0)，(12,2)内是减函数．（2）f ′(x)＝x(4x 2+3ax +4)，显然x ＝0不是方程4x 2+3ax +4＝0的根．为使f(x)仅在x ＝0处有极值，必须4x 2+3ax +4≥0成立，即有△＝9a 2−64≤(0) 解些不等式，得−83≤a ≤83．这时，f(0)＝b 是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是[−83,83]．(Ⅲ)由条件a ∈[−2, 2]，可知△＝9a 2−64<0，从而4x 2+3ax +4>0恒成立． 当x <0时，f ′(x)<0；当x >0时，f ′(x)>(0)因此函数f(x)在[−1, 1]上的最大值是f(1)与f(−1)两者中的较大者． 为使对任意的a ∈[−2, 2]，不等式f(x)≤1在[−1, 1]上恒成立， 当且仅当{f(1)≤1f(−1)≤1 ，即{b ≤−2−ab ≤−2+a ，在a ∈[−2, 2]上恒成立．所以b ≤−4，因此满足条件的b 的取值范围是(−∞, −4]．20. 解：(I)依题意：S n =na 1+n(n−1)2d ，a n =a 1+(n −1)d ，所以a n 2=a 12+2a 1(n −1)d +(n −1)2d 2，T n =na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2，则{na 1+n(n−1)2d ≤n 2+n −1na 12+n(n −1)a 1d +16(n −1)n(2n −1)d 2≥4n 3−n 3即{(2−d)n 2+n(2−a 1−d)−2≥0(1)2(d 2−4)n 2+3d(2a 1−d)n +6a 12−6a 1d +d 2+2≥0(2)则n ∈N ∗恒成立， 所以{2−d ≥0d 2−4≥0因为数列为无穷项，所以d ≥0，所以d =2， 代入（1）（2）得{(2−a)n −1≥0(3)2(a 1−1)n +(a 1−1)2≥0(4)当n =1代入（3），得2−a 1−1≥0，所以a 1≤1， 由（4），当a 1<1时，对充分大的n ，（4）不成立，所以，a 1=1 经检验，a 1=1，d =2满足题意； (II){a n }为a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，取a 1′=a 1，a 2′=a 1+da 1′=(1+d)a 1，a 3′=a 1′+d(a 1′+a 2′)=a 1′+da 1+da 2′=a 2′+da 2′=(1+d)a 2′a m ′=a 1′+d(a 1′+a 2′+...+a m−1′)=a m−1′+da m−1′=(1+d)a m−1′=(1+d)m−1a 1 故数列{a n }是以a 1为首项，1+d （大于1）为公比的非常数等比数列； 又由{a n }的取法可知，a 1′+a 2′+...+a m−1′是正整数之和，记做k ． 所以，a m ′=a 1+dk ，从而a m ′是a 1，a 1+d ，a 1+2d ，…，中的项， 所以，存在这样的非常数列的无穷项等比数列，它包含在{a n }中． 21. 解：∵ PA 是圆O 的切线，PDB 是圆O 的割线， ∴ PA 2=PD ⋅PB ，又PD =1，BD =8， ∴ PA =3，又PE =PA ，∴ PE =3．∵ PA 是圆O 的切线，∴ ∠PAE =∠ABC =60o ， 又PE =PA ，∴ △PAE 是等边三角形，∴ PE =3． ∴ DE =PE −PD =2，∴ BE =BD −DE =6． 由相交弦定理，得AE ⋅CE =BE ⋅DE ，∴ CE =4． 22. 解：设M =[ac ，即[a +2b c +2d ， 所以{a +2b =43a −b =5c +2d =53c −d =1，解得M =[2123. C 、解：P(ρ, θ)，则M(ρ′, θ)，因为OM ⋅OP =12，所以ρρ′=12， 又ρ′cosθ=3，所以ρ3cosθ=12，即点P 的轨迹方程为ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，直线l 的普通方程为：2x −y −3=0， 则圆心(2, 0)到直线l 的距离为：d =√5=√55<2，所以直线l 与点P 的轨迹相交． 24. 解：√2+a−(√2−a)=2√2+a ，当a >−√2且a ≠0时，∵2√2+a>0，∴√2+a>√2−a ；当a =0时，∵2√2+a=0，∴√2+a=√2−a ；当a <−√2时，∵2√2+a<0，∴√2+a<√2−a .综上，当a >−√2且a ≠0时，√2+a>√2−a ，当a =0时，√2+a=√2−a ，当a <−√2时，√2+a<√2−a .25. 解(1)(1+x)n 展开式中的x 2的系数是C n 2=10，即n(n−1)2=10，得n =5（2）由(1−x)n =C n 0−C n 1x ++(−1)2C n 1x 2+(−1)n C n n x n两边求导得−n(1−x)n−1=−C n 1+2C n 2x ++(−1)r kC n r x n−r ++(−1)n nC n n x n−1两边同时乘以−1，再令x =1得∑(n n=1−1)k+1kC n k=0． 26. 解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C 63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C 21C 42+C 22C 41设“一次抽奖中奖”为事件A ，∴ P(A)=C 21C 42+C 22C 41C 63=1620=45即一次抽奖中奖的概率为45； (2)X 可取0，10，20，P(X =0)=(0.2)2=0.04，P(X =10)=C 21×0.8×0.2=0.32， P(X =20)=(0.8)2=0.64，∴ X 的概率分布列为∴ E(X)=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．。

盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学试题2010.04审核：王斌 编校：王思亮A .必做题部分一、填空题(每小题5分，共70分)1.已知平面向量a = (3,1),b = (x,-3),若a//b,则x 等于 ▲ . -2.已知集合 M ='x|x ：：3l , N - ;x|log 2x 1，则 M 一 N =▲3.设复数 乙=1 -i, Z 2 =-4 -3i ，则w Z 2在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限.4.为了解高三女生的身高情况，从高三女生中选取容量为 60的样本(60名女生身高，单位:cm ),分组情况如下:分组 [51.5,158.5 j158.5,165.5)165.5,172.5) 172.5,179.5)频数621频率a0.1贝 y a = ▲.5 .若a,b 是两条不重合的直线， :是两个不重合的平面，则 :/<■的充分而不必要条件是▲.(将正确的序号全部填上)① a -卅，b 二：匚 a//『；，且 b // :;④ a//： ,b// ：，且 a//b .7.已知函数f (x)=[x +2, x 兰0,则不等式f (x)Zx 2的解集为▲—x + 2, x 〉033&设 sin(-：i ■■ ■■-'),cos(：--) ,则(sin ：-cos ： )(sin :-cos ：)的值为 ▲ 5109.如果执行右面的程序框图，那么输出的S 二 ▲10 •设P 是直线l: y = 2x 且在第一象限上的一点，点Q(2, 2),则直线PQ 与直线l 及x 轴在第一象限围成的三 角形面积最小值为 ▲.2 211.已知椭圆-y ^ = 1(a b 0)的两个焦点分别为a b② a 二：f,b 二],且 a//b ; 6•与直线y = x - 2平行且与曲线2y = x - ln x 相切的直线方程为S=0F I,F2 ,若椭圆上存在点P ,使得| PF i •PF2|=|F I F2〔成立，则离心率的取值范围为▲_____ .-12•已知数列｛a n｝满足a =1, a n a n丄=（1）n（n _2）, S n=a1 2 - a2 22山-a n-2n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3S n _a n-2n d= ▲.13. 对于任意实数x ,符号lx 1表示x的整数部分，即X1是不超过x的最大整数.这个函数1x1叫做“取整函数”，那么[log 31] [log 3 2] [log 3 3] [log 3 4] [log 3 243] = .14. 连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n,则以点0,0、1,T、m, n为顶点能构成直角三角形的概率为▲、解答题（第15、16题14分，第17、18题15分，第19、20题16分）15. 如图，正三棱柱ABC—A1B1G 中，AB=2, AA1=1, D 是BC的中点，点P在平面BCGB1内，PB1=PG=J2“（I）求证：PA丄BC;…网（H）求证：PB1//平面AGD.高考…16 .在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,a - c = - 3ab - b , S ABC = 2 .I IT T（I）求CA CB的值；（n）设函数y二sin（「x「:）,（其中）0,—「・0），最小正周期为二，当x等于角G时IL 2函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x的集合.17•游泳池中相邻的两条泳道AB1和A2B2 （看成两条互相平行的线段）分别长90米,甲在泳道A1B1上从A1处出发，以3米/秒的速度到达B1以同样的速度返回A处，然后重复上述过程；乙在泳道A2B2上从B2处出发，以2米/秒的速度到达A2以同样的速度游回B2处，然后重复上述过程.（不考虑每次折返时的减速和转向时间）.两人同时开始运动（I）设甲离开池边B1B2处的距离为y米,当时间0,60】（单位:秒）时,写出y关于t的函数解析式；（n ）请判断从开始运动起到3分钟为止，甲乙B1的相遇次数2 218.已知圆G : x y -2x -4y • m二0 ,直线x 2^-4 = 0与圆C1相交于M , N两点，以MN为直径作圆C2 .-(I)求圆C2的圆心C2坐标；(n)过原点0的直线I与圆G、圆C2都相切，求直线I的方程•-19 .已知无穷数列；a鳥中，a「a2,…，a m是首项为10 ,公差为-2的等差数列；1 1 」a m i,a m 2/' a2m是首项为一，公比为一的等比数列m — 3, m • N ”，并对任意N ,均2 2有a n 2m二a n成立，-(I)当m =12 时，求a 2010 ；1(n)若a52，试求m的值；128(川)判断是否存在m，使S128m・3 -2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.220.已知关于x的函数f(x)=x 2ax b(其中a,b・R)(I)求函数f(x)的单调区间；1 1(n)令t=a2—b.若存在实数m，使得f (m)|兰一与f(m+1)兰—同时成立，求t的最大4 4值.—12cos （ §上的动点，试求 AB 的最大值.4.（选修4— 5:不等式选讲）设p 是 ABC 内的一点，x,y,z 是p 到三边a,b,c 的距离，R 1二、必做题：本大题共 2小题，每小题10分，共20分.5. 一袋中有x （x ，N ）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取 2个球. （I ）当x =3时,求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学试题B.附加题部分、选做题：本大题共 4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记 分.每小题10分，共20分. 1.（选修4—1 :几何证明选讲） 圆切于点A , M 为PA 中点，过 点.求证：.MCP =/MPB .2.（选修4— 2:矩阵与变换）已知矩阵A =^2IL-1-211，记 C = AB . - （I ）求c 」；（n ）若矩阵B 把直线I : X y ^0变为直线「，求直线「的方程.3 .（选修4—4 :坐标系与参数方程）已知A 是曲线 ? =12sinr 上的动点， B 是曲线是 ABC 外接圆的半径，证明X •、y r Z 乞 —.a 2 b 2 c 2 .V2R（n）当x=3时，设•表示取出的2个球中红球的个数，求'的概率分布及数学期望;(川)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于1，求x的最小值.36.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点F、T、M、P满足OF ,0T t , —I —I —H —I T TFM =MT,PM _ FT, PT//OF .-(I)当t变化时，求点P的轨迹C的方程；(n)若过点F的直线交曲线C于A, B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列.…名姓级班号证考准盐城中学2010届高三第一次模拟考试数学答题纸(2010.04 )1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、二、解答题(共90分)、填空题(14 X 5= 70分)15、（14分）16、（14分）17、（15分）B i218、（15分）19、（16分）20、（16 分）附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）1.选做（本小题满分10分）2.选做（本小题满分10分）3.（本小题满分10分）4.（本小题满分10分）一模参考答案1. -92.2,3 3.二4.0.45 5.③ 6.X - y = 0 7.[-1,1] 3.288.9.162 10. 4[,1)12. n 113. 857 14.10215 15. (1) 连接P D交B1C1于H，连接BHTBC _ AD, BC _ AA,,AD “AA 二A,.BC _ 平面ADPA,.:PA 平面ADPA,.BC _ PA,.⑵ TPH l_BB!,且；PH =BB!, •四边形RPHB为平行四边形.• PB丄BH .而BH L C,D16. (1)PB1 L DC 1.又T PB1 ■-平面AC1D ，G D —平面AC1D . ■ PB iL 平面AC1D .=2=22 . 2 2a b -c cosC2abV 0 : C :::二f S ABC = 21absin 30° = 2 2 .ab =8CA.CB.abcos300 .8 乜2 = 4.3(2) • =2.当且仅当2x2k 二，即. 2 3+ <P JI2 k二此时2k 二.又；[0,—],・「 6 2JI JI•当2x2k 二时取最小值。