2010年江苏高考数学压轴题留出的思维空间

再谈2010江苏高考数学的“难”XXXXX2010年江苏省高考数学试卷从整体上看，更加突出数学学科特点，涉及考试说明中的五种能力和两种意识，特别注意从多种不同角度进行分析研究，引发多种不同的解法，展示考生的各种能力，试卷题型虽然常规，但梯度明显，区分度高，难度大，很多题目都有陷阱。

因此，考生们对2010年江苏高考数学考题普遍的评价和03年一样，又是一个字：难！1．今年江苏卷从知识与能力角度看真正地“难”在哪里？1．1．部分试题注重知识交汇点命题，综合性较强例1．（01江苏8）函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________解析：在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：时，解得，所以 数列是以为公比、16为首项的等比数列，因此，。

点评：本题考查抛物线的切线方程、数列的通项，是函数、导数、数列等三个知识点的结合。

它的难度至少达到B 级。

例2．（01江苏10）定义在区间上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为___________。

解析:线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且6cosx=5tanx ，结合，解得sinx=。

线段P 1P 2的长为。

点评：本题考查三角函数的图象、同角三角函数关系、图形的交点计算等三个知识点，全面地考察了正弦、余弦、正切函数的图像的把握情况。

平时这类题目仅仅考到直线被两个函数图像截得的线段的长度大小等，现在更深入，增加了第三个函数。

1.2部分试题立意新颖，设问灵活，创新层次高例3．（01江苏12）设实数x,y 满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是________解析一（后面还有两一种解法）：设，，解得，， 则，其中，当，时，的最大值是27.点评：本题从表面上给人的第一感觉，它应该是线性规划问题，再仔细地想，这个题目类似如：已知，求的最大值。

是非功过江苏卷——悲情江苏卷给我们带来什么？虽然今年的高考早已尘埃落定，可是江苏的考生及其家长对其数学卷的激烈反应，至今还让我们记忆犹新.高考数学结束的当天，一份“一个人（指数学考卷的命题人）…秒杀江苏52万考生”的帖子迅速窜红，一天的点击量突破15万；一批考生哭诉：“数学卷秒杀了我们12年寒窗”；一些人哀叹：“考得实在惨不忍睹”；还有人恨恨地写道：“数学啊，你这杀人不见血的神！”…一份考卷使那么多考生，家长群情激昂，甚至悲痛欲绝，在数学高考史上实属罕见.考试的结果，人们不仅迁怒于试卷的命题人，甚至迁怒到数学本身，这又是数学教学的悲哀.事后的阅卷表明，在总分为160的必做题中，江苏今年高考的数学均值（必做题）为83.5分，比去年低了14.5分. 作为率先实行教改，且是苏教版教材策源地的教育大省，却收获到这种考察结果，无奈！（一）江苏卷真是“秒杀”考生的罪魁祸首？稍有常识的人都知道，高考试卷的产生，绝非某个人的独创，而是一个命题组经过长期艰苦劳动的集体创作的成果.它的产生，是要遵循该省高考的命题思想的，即使出现问题，也绝不是一两个人的责任.考试结果不佳，到底该怨谁？没有理由认为江苏的考生比全国其他地区的考生都差，也没有理由认定江苏的考卷比全国其他地区都难.江苏的题型结构（即废除选择题）也值得商榷，但是自2008年以来，江苏连续3年都是采用目前这种命题模式，为什么唯独今年最差？以下，让我们重新走进这份试卷，考察江苏卷真是“秒杀”考生的元凶试卷是由试题组成的.一份试卷的好坏，取决于其试题的构成与优劣.如果一道试题只考察一，两个知识点，或只需要基本能力就可以解决，则我们称其为容易题；如果一道试题考察两个或两个以上的知识点，或需要较强能力才能解决，则我们称其为中等题；如果一道试题考察多个知识点，且需要很强能力才能解决，则我们称其为难题.正常的试卷都由容易题，中等题和难题构成.一份试卷要能为多数人所接受，则它必须保证中等和中等水平以上的考生获得及格以上成绩，那么它的难题分量至多占30％.此外，我们将有较大区分度的题定义为好题；具有新创意，能使人耳目一新的试题定义为新题；考试后还有重大研究与保留价值的新题更称为既新且妙的上好题.例如，本届江苏卷的第2题：设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________ 只考察复数与复数的模，正常情况下一般考生都能解决，所以它是一道容易题.此外，解这道题至少有两种以上的解法一般解法是先解方程求复数z，而后再求z的模.而能力较强的聪明的考生会利用两复数积的模等于模的积，去做，解法如下：【解析】()z 23i 64i 2z z -=+⇒=∴=所以这道题能够体现考生的能力差别，具有良好的区分度，它又是一道好题.从考察内容来看，它没有多少新意，不可能有长期的研究与保存价值，难以进入上好题之列. 什么样的试题又可以称之为新题中的上好题呢？题2（2010.全国2卷.11题）.正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个本题只不过是考察空间几何中的点线距离，试题的载体又是大家再熟悉不过的正方体.但在考前，相信绝大多数师生都没有想到会考这样的题，所以它既有出其不意的效果，又使人感到解之不易，弃之可惜.考后至少在华中师大等网站上引起热烈的讨论，可以预见这道题一定能够作为经典题被长期保存下来，所以它当之无愧地可以称为新题和妙题.这道题的基本解法是： 【解析】正方体有8个顶点.3条两两异面的棱占用其中6个 顶点，所以我们优先考察其他两个顶点.如图，设正方体棱长为1.显然点D,与B 1到直线AB, 1C C 、11A D 所在直线的距离相等（都是1）.因而我们猜测：直线D B 1上任意一点到这3条直线的距离都相等.以下给出证明：建立如图的空间直角坐标系，则直线D B 1上任意一点可记为 P （a,a,a ）.依次作PE ⊥AB 于E,PF ⊥CC 1于F,PG ⊥A 1D 1于G.则有 E （1,a,0）,F （0,1,a ）,G （a,0,1）.那么PE PF PG ====可见点P 符合条件.所以符合题设条件的点有无穷多. 故选D.注：根据这个分析，我们还可知道，当且仅当12a =时，这个距离的最小值为2d =.此时点P 位于正方体的中心.据上分析，如果一张试卷的结构合理，容易题，中等题，难题搭配恰当，它就是一张可以为多数考生接受的合格试卷；如果该试卷中有半数左右的好题，它就堪称为一份好的试卷；如果这份试卷还有一个乃至多个新题，妙题或亮点，它就有不同程度的流传价值.那么，江苏卷应该划归哪种类型呢？先从这份考卷的内容与结构分析，这份试卷分两大部分共20题.其中填空题14道计70分，解答题前3道每题14共计42分，后3道每题16分计48分，满分160分.一个中等水平的考生主要通过解前17—18题获取成绩. 这18题的难度究竟如何，以下我们逐题进行评析1.设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_______【分析】本题只考察集合激情交集运算.3A ∈ ∴为使A ∩B={3}，要么23,a +=要么24 3.a +=显然，这是一道容易题.xa )【解析】若23,a +=则1a =.此时{}{}{}1,1,33,53A B =-= ,符合题意;显然，这是一道容易题. 若243,a +=则21a =-,无解,舍去.综上, 则实数a =1. 2.（前已举例，这里从略）.3.盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是__ ______▲__【分析】只要具备概率基本知识的考生都能解出，所以本题还是容易题【解析】不受限制的取法有246C =种.其中两只球不同色的取法有11313C C =种.所以其概率是3162p ==.4.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区中，其频率分布直方图如图所示，则在其抽样的100根中，有_▲___花纤维的长度小于20mm 。

2010年江苏高考数学试题一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲________ 简析：由集合中元素的互异性有a+2=3或a 2+4=3，⇒a=1或a 2=－1(舍) ⇒a=1 2z 的模为______▲_________▲__ 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

简析：观察频率分布直方图，知有0.06×5×100=30根长度小于20mm 5、设函数f(x)=x(e x +ae -x ),(x ∈R )是偶函数，则实数a =_______▲_________简析：由偶函数⇒f(－x)=f(x) ⇒x(e x +ae -x )=－x(e -x +ae x ) ⇒x(e x +e -x )(1+a)=0 ⇒x ∈R a=－16、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212=1上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______简析：读图知这是计算S=1+21+22+…+2n 的一个算法，由S=2n －1≥33且n 为正整数知n=5时跳出循环，此时，输出S=1+21+22+…+25=638、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____ 简析：对原函数求导得y '=2x (x>0)，据题意，由a 1=16=24依次求得a 2=8，a 3=4，a 4=2，a 5=1，所以a 1+a 3+a 5=219、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4四个点到直线12x －5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范10、定义在区间(0,π2)上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP与y=sinx 的图像交于点P ,则线段P P 的长为_______▲_____ 11、已知函数f(x)=⎩⎨1 ，x<0,则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的范围是____▲____12、设实数x,y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是_____▲____13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b +a =6cosC ，则tanC +tanC=__▲14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积,二、解答题15、（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t 满足(AB →－t ·OC →)·OC →=0=0，求t 的值简析：⑴据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D ，然后运用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量AB →与AC →和、差的模；16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC ，∠BCD=900 (1)求证：PC ⊥BC(2)求点A 到平面PBC 的距离16题图17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α－β最大解析：⑴⑵18.（16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 25=1的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，设过点T(t,m)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，其中m>0,y 1>0,y 2<0.⑴设动点P 满足PF 2－PB 2=4,求点P 的轨迹 ⑵设x 1=2,x 2=13，求点T 的坐标⑶设t=9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)19．（16分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a 1+a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列.⑴求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）⑵设c 为实数，对满足m+n=3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m +S n >cS k 都成立。

数学：必做题难题占两成语文：取消选考题，考试难度增加英语：听力难度减小刚刚面世的2010年高考江苏卷数学科考试说明，比对2009年数学科（江苏卷）的考试说明，改变的有四处：1.去除A级考点“统计案例”；2.去除A级考点“三视图、直观图”；3.将选修B级考点“平面变换”降为A级；4.把A级考点“算法的概念”变为“算法的含义”，使表达更科学。

2010年数学江苏高考对知识的考查要求分为了解(A)、理解(B)、掌握(C)三个层次。

了解层次只要求对知识的含义有最基本的认识，能解决相关的简单问题；理解层次要求对知识有深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题，中等题是考查、覆盖这部分知识点的主要题型，由于对综合性提出了要求，因此对这部分知识的考查也有可能出难题；掌握层次要求系统掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。

对这部分知识的考查，出难题的可能性较大。

必做题部分A级考点30个，B级考点36个，C级考点8个。

必做题部分由容易题、中等题和难题组成。

容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为：4：4：2；试卷的必做部分全卷满分为160分，试题由填空题和解答题两部分组成，其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题占90分，考试时间为120分钟；附加题全卷满分为40分，由4个解答题组成。

附加题部分由容易题、中等题和难题构成，其比例大致为5：4：1。

考试时间为30分钟。

数学考试总的考试时间为150分钟。

试卷结构预计不变数学一向被大多数高考生视为畏途，但2010年，这种现象有望改观。

记者从权威专家处了解到，2010年的数学高考命题特点可能将淡化竞赛背景，命题会考虑到学生的心理，不会出现偏题怪题，但最后几道题要能完全答对需要考生有足够的数学素养。

对于教材新增加的部分，内容虽多，但其意图主要是介绍一些思想方法，除微积分外，要求层次都不高。

但因是新增，师生了解都不多、不深，仍是值得研究的领域。

首选考试题型基本定了权威专家透露，通过对2009年试卷进行分析，发现理科考生在不等式和平面几何方面的得分偏低，这要引起广大考生的重视，对选做题要合理选择。

左晓明老师分析的话说今年的江苏省数学卷的关注度那是非同一般地高，难度也不是一般地难，以至于网络上出现了一个新的词汇“数学哥”，诸如“数学哥秒杀了江苏52万考生”“众优生走出考场痛哭流涕”之类的报道一时喧嚣尘上。

笔者也在第一时间完成了江苏高考卷，现在将自己的一点感想写出，以期抛砖引玉。

数学哥是谁？此人乃中国数学界大名鼎鼎的数学教育与奥数培训专家，南京师大的葛军副教授。

在新世纪的最初几年，我曾经在每一期的《数学通讯》的问题征解栏目上面看到他的名字，他是此栏目的主持人。

后来主持人换成了熊斌、冯志刚、田延彦等人，也都是国内数学教育界的一时翘楚。

南京师大数学系的老师们长期关注数学普及工作，从单墫、纪春岗至葛军以降，在国内初等数学教育界享有盛名。

葛军，现任江苏数学普委会主任。

这是一个很重要的职位，承担一个省的数学竞赛的组织与命题工作，一般由各省市竞赛界最德高望重的前辈担任，例如湖北就是由曾任国家队副领队的陈传理教授担任。

那么，由葛军担任命题组组长的2010年江苏数学高考卷，其中必然渗透不少新的理念，包括一些竞赛的思想。

首先来看看江苏数学卷的整体特点。

江苏卷是个很特别的试卷，其特别之处首先在于与其它省市都不一样的，它没有选择题！全卷由14道填空题、6道大题组成试题的主体部分，时长两个小时，总分160分；然后是半个小时的附加题部分，总分40分，其中包括21：选做题，给出四道，分别是几何证明、矩阵变换、坐标系与参数方程、不等式四大选修模块，任选其中两道即可；22题：概率统计问题；23题：竞赛题。

全卷总分200分。

数学考试中只出现填空题和大题的命题风格这两年逐渐开始流传开来。

从去年开始全国高中数学联赛卷就取消了选择题。

江苏卷从去年开始也没有选择题。

应该说，就数学题目的特点来说，取消选择题有助于更真实地了解学生实际水平，杜绝蒙的可能性，唯一的弊端就是稍微增加了阅卷工作量，不过这个弊端显然不值一提。

所以未来的几年可能会有越来越多的省份取消选择题。

注重思维深化能力——2010年江苏省高考数学试题分析2010年高考既是江苏省高中实施新课程改革后的第三次高考，又是江苏省实施"五严"背景下的第一次高考。

今年高考数学试题从整体看体现"注重思维，深化能力"的特点，试卷难度的起点和梯度设置恰当；考查的内容面广，题目不偏不怪，回归基础，注重课本．侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法，侧重于初等数学和高等数学衔接内容和方法的考查,本次数学试卷运算量较大,并且数值计算量有所提高，同时考查代数式化简和变形的能力以及思维方法和计算方法．从试卷所涉及到的数学知识和方法以及数学思想来看，命题坚持以中学数学的主体内容为考查的重点，以测试考生基本数学素质为目的．函数与方程、数形结合、分类讨论以及转化与化归的思想方法等内容均蕴含在各试题中，可以看出高考命题不回避主流知识和方法的考查．较好地处理了考查内容与呈现形式的关系；试卷的整体难度较2009年有所提高，具有较高的效度、区分度和信度．整张试卷以常规题为主，由浅入深，层次分明，既有利于广大考生得到基本分，稳定考生情绪，也有利于为高校选拔优秀学生。

二、2010年江苏高考数学试卷的分析2010年江苏省《高考说明（数学）》必做题部分共有76个考查点，其中A级要求的30个，B级要求的36个，C级要求的8个。

（一）填空题部分。

[解析1]考查解三角形中的正弦、余弦定理知识，属于B级要求，两角和正弦公式的逆向使用，属于C级要求，同角三角函数间的关系，属于B级要求。

对a/b+b/a=6cosC,先用余弦定理化角为边，得出a,b,c关系，再将所求的式子先化切为弦，用两角和正弦公式的逆向，再运用正、余弦定理化角为边，最后将a,b,c代入得出结论.[解析2]考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

填空题中从第八题开始，每道题所涉及到的知识点和思想方法都很多，题目出得都非常好，对学生灵活运用所学的知识和方法解决问题的能力要求较高，部分学生招架不住，尤其是文科学生㈡解答题部分题型稳定，突出对基本知识的考查。

2010年高考数学江苏卷第20题的解法探究与教学启示
郝志刚
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2010(000)011
【摘要】"新定义"类试题在近几年的解决实际问题的高考试题中屡见不鲜,已成为考查学生独立获取、理解和应用新知识的能力的重要题型之一.2010年高考数学江苏卷第20题就是一道典型的在"新定义"的背景下的压轴题.探究本题的解题思路对今后的高中数学教学工作有重要的指导意义.
【总页数】2页(P32-33)
【作者】郝志刚
【作者单位】江苏省连云港外国语学校
【正文语种】中文
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由2010年江苏高考数学看小学数学教学陈荣随着一声清脆的收卷铃声,莘莘学子陆陆续续地走出考场,2010年江苏高考结束了。

回顾今年的数学考试,众多考生反映难度大,有的考生甚至哭着走出考场。

大家在网上发帖子,抱怨“题目太难,毁了考生的数学梦”。

有的甚至对出卷的老师进行人肉搜索……确实2010年的高考数学试题难度比往年大,但试卷的难度对每个考生都是相同的,尤其是今年,文理科分开划线,大家的机会是均等的。

我们大家没有必要伤感、激动,愤怒。

我们需要的是静下心总结成与败,得与失。

今年的江苏高考数学试卷知识覆盖面宽,也体现考纲要求,试题结构,品种与往年基本一致,考查基础与考查能力并重,运算量大,今年的试卷还出现了很多“创新题”体现了对考生数学能力的要求,与培养创新型人才的目标一致。

高考是选拨考试,试题有可难度也很正常。

如何在有难度的考试中让学生脱颖而出,成为最后的成功者,值得每一个老师深思。

有的小学老师会感到奇怪,提高学生的高考成绩不是高中老师才应该考虑的事,和我们有什么关系。

其实不然。

小学教育是基础,对孩子有着深远的影响,可以改变孩子的一生。

小学数学老师在教学的过程中加强学生思想品德教育,爱祖国、爱社会主义、爱科学的教育,辨证唯物主义的启蒙教育;对学生进行学习目的教育,培养学生良好的学习习惯和独立思考能力;鼓励学生克服困难,提高学生的耐挫力。

现在社会竞争激烈、就业压力大,家长对孩子的要求高,平时考试时家长注重孩子的分数,考好给予奖励,没有达到预期目标,对孩子贬斥、讽刺挖苦或实施棍棒。

沉重的学习负担和强大的思想压力,使得孩子精神十分紧张、唯恐落后,一旦考不好就忧心忡忡。

所以作为一名小学数学老师,我希望以后能够淡化考试分数,多用等级进行评价。

老师要多同家长沟通、交流,通过找出分析,测验找到每个同学不足之处,督促学生加以弥补。

让学生能做到不畏惧考试,做到胜不骄,败不馁。

加强计算能力培养。

数学离不开计算,提高计算速度,准确性十分重要。