最新江苏省高考数学试卷及解析

江苏省苏州市（新版）2024高考数学统编版（五四制）真题(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为等差数列的前项和，，则（）A．60B．120C．180D．240第(2)题设表示复数的点在复平面内关于实轴对称,且,则=（）A．0B．C．D．第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A．0.14B．0.36C．0.72D．0.86第(5)题如图，直三棱柱中，，若，则异面直线所成角的大小是（）A．B．C．D．第(6)题把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数.现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到（）A．22B．24.5C．25D．27第(7)题若是一元二次方程的根，则该方程的两根之和为（）A．2B．C．D．1第(8)题已知集合，，则（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（）A．B．四面体的体积的最大值为C．棱的长的最小值为D．四面体的外接球的表面积为第(2)题六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（）A．极差B．众数C．平均数D．第25百分位数第(3)题已知数列的前项和分别为，若，则（）A．B．C．的前10项和为D．的前10项和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.第(2)题抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则面积的最大值为______第(3)题已知椭圆，若存在以点为圆心，为半径的，该圆与椭圆E恰有两个公共点，且圆上其余各点均在椭圆内部，则t的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在三棱锥中，底面为正三角形，平面平面为上一点，为三角形的中心.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.第(2)题某校组织建国75周年知识竞赛，在决赛环节，每名参赛选手从答题箱内随机一次性抽取2个标签.已知答题箱内放着写有类题目的标签4个，类题目的标签4个，类题目的标签2个，每个标签上写有一道不同的题目，且标签的其他特征完全相同. (1)求选手抽取的2个标签上的题目类型不相同的概率；(2)设抽取到写有类题目的标签的个数为，求的分布列和数学期望.第(3)题椭圆的离心率为，且椭圆经过点．直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求（为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程．第(4)题如图，已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于，且分别是线段的中点．(1)若且时，求面积的最小值；(2)若，证明：直线过定点．第(5)题已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.。

江苏省南京市（新版）2024高考数学部编版真题(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下列区间中，函数一定存在零点的区间是（）A．B．C．D．第(2)题已知曲线在点处的切线与直线垂直，若是函数的两个零点，则A．B．C．D．第(3)题下面关于函数的叙述中，不正确的是（）A．的最小正周期为B．的对称中心为C．的单调增区间为D．的对称轴为第(4)题已知直线与平面，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若则D．若，则第(5)题对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（）A．7B．9C．11D．13第(6)题已知等差数列与等比数列的首项均为，且，则数列（）A．既有最大项又有最小项B．只有最大项没有最小项C．只有最小项没有最大项D．没有最大项也没有最小项第(7)题已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（）A．4B．6C．8D．10第(8)题在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（）A．当时，四面体的体积为定值B．当时，存在，使得平面C．对于任意，，总有D ．当时，在侧面内总存在一点P，使得第(2)题为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）A．频率分布直方图中的值为0.04B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20C．这100名学生体重的众数约为52.5D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25第(3)题设为复数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的二项展开式中含项的系数是________．第(2)题已知，若，则__________．第(3)题数列满足，，其中，．①当时，_____；②若存在正整数，当时总有，则的取值范围是_____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答下面两个问题.(1)求角；(2)在中，内角的对边分别是，若已知，求的值.第(2)题已知函数，.（1）若对于任意，都满足，求的值；（2）若存在，使得成立，求的取值范围.第(3)题如图，在梯形中，，为上一点，，.（1）若，求；（2）设，若，求.第(4)题已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.第(5)题如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线的一部分图象．已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处，此时，，．设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．(1)求曲线的方程；(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，已知的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．。

江苏新高考一卷数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2.5B. √2C. 0.33333...D. 1答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. 8D. -4答案：A3. 以下哪个选项是等差数列？A. 2, 4, 6, 8B. 1, 1, 1, 1C. 3, 7, 11, 15D. 5, 7, 9, 11答案：A4. 已知三角形ABC，AB = 5，AC = 7，BC = 6，求三角形ABC的面积。

A. 10B. 12C. 14D. 16答案：B5. 以下哪个表达式是正确的？A. sin^2(x) + cos^2(x) = 1B. tan(x) = sin(x) / cos(x)C. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)D. cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)答案：C6. 已知圆的半径为5，求圆的周长。

A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π答案：C7. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = -3答案：B8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。

A. 10B. 11C. 12D. 13答案：B二、填空题（每题4分，共24分）9. 已知函数g(x) = 3x - 2，求g(1)的值。

答案：110. 一个正六边形的内角和是多少？答案：720°11. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第三项的值。

答案：1812. 一个圆的直径是14，求这个圆的面积。

答案：153.94（保留两位小数）13. 已知向量c = (1, -1)，向量d = (2, 3)，求向量c与向量d的叉积。

答案：-1三、解答题（每题16分，共40分）14. 解不等式：|x - 3| < 2。

解：首先，我们可以将不等式分为两部分来考虑：x - 3 < 2 以及 -(x - 3) < 2解得：x < 5 以及 x > 1因此，不等式的解集为 {x | 1 < x < 5}。

2024年江苏省高考数学试卷及解析2024年江苏省高考数学试卷及解析一、试卷概述2024年江苏省高考数学试卷整体上保持了稳定，但在细节方面有所创新。

试卷结构分为选择题、填空题和解答题三个部分，难度逐步递增。

试卷涵盖了高中数学的主要知识点，注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。

以下将对试卷进行详细解析。

二、选择题解析选择题部分共10题，每题5分，合计50分。

这一部分主要考查学生对基础知识的掌握程度以及运用基础知识解决问题的能力。

其中，第1-6题为常规选择题，涉及到的知识点包括函数、数列、几何等。

第7-10题为灵活运用选择题，要求学生根据题目条件进行分析、推理和判断。

例如，第10题考查的是概率知识，题目设计巧妙，要求学生在理解的基础上进行推断。

对于这道题，我们可以通过列举所有可能的情况，再根据题目条件进行筛选，最终得出正确答案。

三、填空题解析填空题部分共6题，每题5分，合计30分。

这一部分主要考查学生对数学基础知识的理解以及简单的计算、推理能力。

其中，第11-14题为常规填空题，第15-16题为综合运用填空题，要求学生在理解知识的基础上进行综合运用。

例如，第16题考查的是解析几何知识，题目设计较为复杂，要求学生在掌握基础知识的同时具备较强的分析问题和解决问题的能力。

对于这道题，我们可以从几何角度出发，根据题目条件列出方程，进而求解出答案。

四、解答题解析解答题部分共6题，每题20分，合计120分。

这一部分主要考查学生综合运用数学知识解决问题的能力。

其中，第17-21题为中档题，第22-23题为高档题。

要求学生在掌握基础知识的同时，能够灵活运用多种数学知识解决问题。

例如，第23题考查的是函数与数列的综合知识，题目设计较为复杂，要求学生在掌握函数和数列基础知识的同时，能够将两者结合起来解决问题。

对于这道题，我们可以先从函数的角度出发，分析数列的特性，再利用数列的知识求出通项公式，最终得出答案。

五、总结2024年江苏省高考数学试卷整体上保持了稳定，但在细节方面有所创新。

普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =， 其中S 为底面积， h 为高． 一、填空题：本大题共14小题， 每小题5分， 共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{124}A =，，， {246}B =，，， 则A B = ▲ ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本， 则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 3．设a b ∈R ，， 117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位）， 则a b +的值 为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图， 则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数6()12log f x x =-的定义域为 ▲ ．6．现有10个数， 它们能构成一个以1为首项， 3-为公比的 等比数列， 若从这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8 的概率是 ▲ ．7．如图， 在长方体1111ABCD A B C D -中， 3cm AB AD ==， 12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中， 若双曲线22214x y m m -=+的离心率5 则m 的值为 ▲ ．9．如图， 在矩形ABCD 中， 22AB BC ==，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上， 若2AB AF =， 则AE BF 的值是 ▲ ． 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数， 在区间[11]-，上，开始 结束k ←1k 2－5k +4>0输出k k ←k +1NY （第4题）FD DABC 1 1D 1A1B（第7题）0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角， 若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中， 圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 则k 的最大值是 ▲ ． 13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， 则实数c 的值为 ▲ ． 14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中， 已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若5cos C =求A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 1111A B AC =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ）， 且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．（第9题）1A1C FDCAE1B17．（本小题满分14分） 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）， 其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点 已知a ， b 是实数， 1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+， 求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-， 其中[22]c ∈-，， 求函数()y h x =的零点个数．19．（本小题满分16分）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上， 其中e（第16题）x （千米y （千米）O（第17题）（1）求椭圆的离心率；（2）设A ， B 是椭圆上位于x 轴上方的两点， 且直线1AF与直线2BF 平行， 2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若126AF BF -=， 求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a n a b *+=∈+N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，， 求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设12nn nb b n a *+=∈N ，， 且{}n a 是等比数列， 求1a 和1b 的值．绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题， 请选定其中两题．．．．．．．，． 并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．．若多做， 则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图， AB 是圆O 的直径， D ， E 为圆上位于AB 异侧的两点， 连结BD 并延长至点C ， 使BD= DC ， 连结AC ， AE ， DE ． 求证：E C ∠=∠．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ， 求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）（第21-A 题）AED CO在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点， 求圆C 的极坐标方程． D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ， y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题， 每题10分， 共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量， 从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条， 当两条棱相交时， 0ξ=；当两条棱平行时， ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列， 并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…， n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈， 则2x A ∉；③若nP x A ∈， 则2nP x A ∉．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B= {1，2，4，6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}点评：本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0，]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e，7]双闭区间．：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．：（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点．（ i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=，求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得，，，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点评本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．：20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由题意可得，a n+1===，从而可得，可证（2）由基本不等式可得，，由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1解答：解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0，b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q，由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列{b n}是公比的等比数列若，则，于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数若m∉A，则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，。

江苏省盐城市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（）A．B．C．D．第(2)题已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A．B．C．D．第(3)题已知，，则（）A．B．2C．6D．9第(4)题已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为（）A．B．C．D．第(5)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（）A．1米B．2米C．4米D．8米第(7)题已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线C上，.若为等边三角形，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(8)题执行如图所示的程序框图，则输出（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（）A．B．C．D．第(3)题如图，玻璃制成的长方体容器内部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平地面上，将容器以BC为轴进行旋转，水面形成四边形EFGH，忽略容器壁厚，则（）A．始终与水面EFGH平行B．四边形EFGH面积不变C．有水部分组成的几何体不可能是三棱柱D．AE+BF为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为______．第(2)题已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则______，的最小值为______．第(3)题已知，下列四种说法①在上单调递增；②在上单调递减；③的值域为；④的根有且只有一个.其中正确说法的序号为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某农场更新技术培育了一批新型的“盆栽果树”，这种“盆栽果树”将一改陆地栽植果树只在秋季结果的特性，能够一年四季都有花、四季都结果.现为了了解果树的结果情况，从该批果树中随机抽取了容量为120的样本，测量这些果树的高度（单位：厘米），经统计将所有数据分组后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求；（2）已知所抽取的样本来自两个实验基地，规定高度不低于40厘米的果树为“优品盆栽”，（i）请将图中列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“优品盆栽”与两个实验基地有关？优品非优品合计基地60基地20合计（ii）用样本数据来估计这批果树的生长情况，若从该农场培育的这批“盆栽果树”中随机抽取4棵，求其中“优品盆栽”的棵树的分布列和数学期望.附：.第(2)题已知实数、、满足，求的最小值.第(3)题如图，在正四棱台中，，，是的中点．(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值第(4)题记为等差数列的前n项和．已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设．求数列的前n项和．第(5)题请在①，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____．(1)求角；(2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值．。

江苏省南京市（新版）2024高考数学统编版（五四制）测试(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A．B．C．2D．第(2)题设a，b，c都是正数，且，那么（）．A．B．C．D．第(3)题已知（为虚数单位），则（）A．B．10C．D．5第(4)题某三棱台的三视图如图所示，其中网格中每个小正方形的边长为1，则该三棱台的体积为（）A．B．C．D．第(5)题在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差是18B．乙得分的中位数是16.5C．甲得分更稳定D．甲的单场平均得分比乙低第(6)题如图是一个空间几何体的三视图，若该几何体的侧面积为，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，则（）A．B．C．4D．4042二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，，若，恒成立，则（）A．，B．，C．存在，使在上有且仅有2个零点D ．存在，使在上单调递减第(2)题已知，且，则（）A．当时，必有B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆C．D．第(3)题已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是（）A．双曲线的方程为B．C．D．点到轴的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________．第(2)题设函数，给出下列四个结论：①；②在上单调递增；③的值域为；④在上的所有零点之和为，则正确结论的序号为______.第(3)题已知是虚数单位，化简的结果为_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列的前项和为，，______.指出、、…中哪一项最大，并说明理由.从①，，②是和的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.第(2)题已知函数.(1)若的极大值为，求的值；(2)当时，若使得，求的取值范围.第(3)题一水果连锁店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：kg），得到如下频率分布直方图．(1)求过去30天内苹果的日平均销售量和方差（同一组数据用该组区间中点值代表）；(2)若该店苹果的日销售量X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试估计360天中日销售量超过79.9kg的天数（结果保留整数）；(3)该水果店在店庆期间举行“赢积分，送奖品”活动，规定：每位会员可以投掷n次骰子，若第一次掷骰子点数大于2，可以获得100个积分，否则获得50个积分，从第二次起若掷骰子点数大于2，则获得上一次积分的两倍，否则获得50个积分，直到投掷骰子结束．记会员甲第n次获得的积分为，求数学期望．参考数据：若，则，，．第(4)题已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，__________.若存在正整数，使得有最小值.从①，②，③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答.（1）求的通项公式；（2）求的最小值.第(5)题已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，当不等式恒成立时，求的取值范围．。

江苏省南京市（新版）2024高考数学苏教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数z满足：，则的虚部等于（）A．1B．C．D．第(2)题在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域面积的一种方法：把区间平均分成份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上（如图），则当时，这些小矩形面积之和的极限就是.已知.利用此方法计算出的由曲线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积为（）A．B．C．D．第(3)题已知向量，，若与方向相反，则（）A．54B．48C．D．第(4)题《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列等式错误的是（）A．B．C．D．第(5)题已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（）A．B．C．D．第(6)题已知实数，任取一点，则该点满足的概率是（）A．B．C．D．第(7)题若数列满足，，且对任意的都有，则（）A．B．C．D．第(8)题若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A．3B．7C．8D．10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题给出下列说法，其中正确的是（）A．若数据的方差为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据3，4，7，9，10，11，11，13，则该组数据的第40百分位数为8C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D．经验回归直线恒过样本点的中心，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好第(2)题积性函数指对于所有互质的整数和有的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（）A．高斯函数表示不大于实数的最大整数B．最大公约数函数表示正整数与的最大公约数（是常数）C．幂次函数表示正整数质因数分解后含的幂次数（是常数）D．欧拉函数表示小于正整数的正整数中满足与互质的数的数目第(3)题如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（）A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等C．过点M有且仅有一条直线与，都相交D．有且仅有一个点M满足平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数的最小值是，则_______．第(2)题化简：__________．第(3)题已知向量满足，，的夹角为，则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱台中，底面为平行四边形，，侧棱底面为棱上的点..(1)求证：；(2)若为的中点，为棱上的点，且，求平面与平面所成角的余弦值.第(2)题在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足.记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.第(3)题已知数列的前项和，，且.数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.第(4)题已知函数，．(1)若，直线l是的一条切线，求切线l的倾斜角的取值范围；(2)求证：对于恒成立．（参考数据：，，，，）第(5)题已知函数的一个极值点为.(1)求函数的极小值；(2)若函数，当时，，求实数的取值范围.。

2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 3x^2 + x + 1，则f'(1)的值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 9答案：B解析：我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据导数的定义，f'(x) = 6x^2 6x + 1。

将x = 1代入f'(x)中，得到f'(1) = 61^2 6 1 + 1 = 1。

因此，f'(1)的值为1，选项B正确。

2. 若直线y = kx + b与圆(x 2)^2 + (y 3)^2 = 25相切，则k的值是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 3答案：A解析：由于直线与圆相切，它们在切点处具有相同的斜率。

直线的斜率为k，圆的斜率可以通过求导得到。

对圆的方程求导，得到2(x 2) + 2(y 3)y' = 0。

在切点处，x和y的值满足圆的方程，因此可以解出y' = 1/2。

由于直线和圆在切点处斜率相同，所以k = 1/2。

因此，选项A正确。

3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，d = 3，则S10的值为多少？A. 155B. 165C. 175D. 185答案：C解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。

由于an = a1 + (n 1)d，代入a1 = 2和d = 3，得到an = 2 + 3(n 1)= 3n 1。

将an代入Sn的公式中，得到Sn = n/2 (2 + 3n 1) =n/2 (3n + 1)。

将n = 10代入，得到S10 = 10/2 (3 10 + 1) = 175。

因此，选项C正确。

4. 若函数f(x) = log2(x) + log2(x + 1)，则f(1)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = log2(1) +log2(1 + 1) = log2(1) + log2(2) = 0 + 1 = 1。

江苏省盐城市（新版）2024高考数学苏教版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆C：的上顶点为A，直线l：与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．或D．或第(2)题若，则的最小值是（）A．0B．C．D．第(3)题防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（）A．B．C．D．第(4)题设是非零实数，则“”是“成等差数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题已知向量，满足，，且，则( )A．B．C．2D．4第(6)题17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知，，设，则N所在的区间为（）A．B．C．D．第(7)题若四棱锥的棱，的长均为2，其余各棱长均为，则该四棱锥的高为（）A．B．C．D．1第(8)题如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是函数图像的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若△PBC为等边三角形，则下列说法正确的是（）A．B．的最小正周期为8C．D ．将图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到的图像，是图像的一个对称中心第(2)题已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A．B．的图象关于点中心对称C．D ．在上的值域为第(3)题某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（若，）A．B．C．D ．取得最大值时，的估计值为53三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为________第(2)题黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.第(3)题已知等比数列的首项，公比，，且，则的前2023项和为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记表示不超过x 的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，．(1)设，，求证：是的一个周期，且恒成立；(2)已知数列的通项公式为，设．①求证：；②求的值．第(2)题已知函数.(1)若是的极值点，求的单调区间；(2)若，求证：第(3)题已知函数，，其中为常数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）证明：当时，.第(4)题已知函数，若数列的各项由以下算法得到：①任取（其中），并令正整数；②求函数图象在处的切线在轴上的截距；③判断是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；④令，返回第②步；⑤结束算法，确定数列的项依次为．根据以上信息回答下列问题：(1)求证：；(2)是否存在实数使得为等差数列，若存在，求出数列的项数；若不存在，请说明理由．参考数据：．第(5)题已知为正数，且.证明：(1)；(2).。

江苏省南京市（新版）2024高考数学统编版真题(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知（为虚数单位），则（）A．B．C．D．第(2)题在的展开式中，项的系数为（ ）A．B．C．30D．50第(3)题设集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，则函数在上的所有零点之和为A．B．C．D．第(5)题已知全集为，则有（）A．B．C．D．第(6)题若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A．-1B．-3C．3D．5第(7)题等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为，且，的等比数列为例，先画出直线OQ：，并确定x轴上一点，过点作y轴的平行线，交直线OQ于点，则．再过点作平行于x轴，长度等于的线段，……，不断重复上述步骤，可以得到点列，和．下列说法错误的是（）A．B．C．点的坐标为D．第(8)题已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为（）A．2023B．2024C．4046D．4048二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（）A．点的轨迹是双曲线B．是三角形的内心C．D．在上的投影向量为第(2)题如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（）A．B．三棱锥的体积为C．直线与平面所成角的大小为D．三棱锥外接球的半径为第(3)题下列有关回归分析的结论中，正确的有（）A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强C．若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则决定系数D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线：，：．若，则___________，此时与之间的距离为___________．第(2)题已知曲线的焦距为8，则___________.第(3)题已知函数，则函数的最大值与最小值的差是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，．(1)求在处的切线方程；(2)求证：对于和，且，都有；(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．第(2)题已知分别为双曲线的左，右焦点，点在上，且双曲线的渐近线与圆相切．(1)求双曲线的方程；(2)若过点且斜率为的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．第(3)题已知函数.(1)若不等式有解，求实数的取值范围；(2)若有两个不同的零点，证明：.第(4)题已知.(1)若，求函数的单调区间和极值；(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.第(5)题已知函数有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）设、是的两个零点，求证：.。

江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n ∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点E 处, 另一端置于侧棱GG 1上, 求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y 的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==,故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=,=, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m, n∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50,=（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF ⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, ∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）,由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=, ∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或,无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）,=2a n+2a n+2a n,=2×3a n,∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n, ①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n, ②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1, ③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1,整理得：2a n=a n﹣1+a n+1,∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E （X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）,D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。

绝密★启用前2024年江苏省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。

江苏省南通市（新版）2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，是方程的两个根，则（）A．B．2C．D．第(2)题复数，则复数的实部和虚部分别是（）A．3，2B．3，2i C．1，2D．1，2i第(3)题已知函数的定义域为R，，，且，，当时，，则不等式的解集为（）A．或B．C．或D．第(4)题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．D．第(6)题在中，内角的对边分别为，，则的值为（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知，均为锐角，且，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在四棱锥中，是正方形，，，，为棱上一点，则下列结论正确的是（）A．点到平面的距离为1B．若，则过点，，的平面截此四棱锥所得截面的面积为C．四棱锥外接球的表面积为D ．直线与平面所成角的正弦值的最大值为第(2)题孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（ ）A ．最大值为.B ．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为C．D ．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小第(3)题重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中，动点P 在上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧于点Q ，且，则下列说法正确的是（ ）图1 图2A．若，则B ．若，则C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．第(2)题函数的对称中心为________．第(3)题已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的取值范围是__________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数；(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若正数a使得对恒成立.求a的取值范围；(3)设函数，讨论其在定义域内的零点个数．第(2)题已知四面体.(1)证明：;(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.第(3)题已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）判断曲线与曲线公共点的个数，并说明理由.第(4)题如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，且满足.(1)求证：；(2)若，求线段的长.第(5)题在数列中，，（k为常数，），且，，构成公比不等于1的等比数列．(1)求k的值；(2)设，求数列的前n项和．。

江苏省常州市（新版）2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知向量，单位向量与向量同向共线，则向量在向量方向上的投影向量为（）A．B．C．D．第(2)题根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型49%，型19%，型25%，型7%.已知同种血型的人可以互相输血，型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）A．25%B．32%C．74%D．81%第(3)题300的不同正因数的个数为（）A．16B．20C．18D．24第(4)题若平面向量与的夹角为120°，，，则（）A．B．C．2D．3第(5)题已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件第(6)题在中，，则（）A．B．C．D．第(7)题执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．B．C．D．第(8)题设等比数列的公比，前n项和为，则（）A．2B．4C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（）A．B．若A，B，C三点共线，则C．若向量与垂直，则的最小值为1D．向量与的夹角正切值的最大值为第(2)题关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极小值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数k，使得恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则第(3)题已知函数的图像关于点中心对称，则（）A ．在区间单调递减B ．在区间有两个极值点C ．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知平面向量满足且，当向量与向量的夹角最大时，向量的模为______．第(2)题已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为____________．第(3)题已知，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在平面直角系中，点A为曲线C：在第一象限的图象上的动点，点E，G在曲线C的准线上，且点G在x轴的下方，圆O与准线相切，直线交曲线C于点B，交圆O于点D，H.（1）当点H为曲线C的焦点，时，求；（2）当点O为的内心时，若，求点A的坐标.第(2)题已知数列是等差数列，首项，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.第(3)题已知圆：，点是圆上的动点，点是圆内一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时点的轨迹为.(1)求的方程；(2)为直线：上的动点，、为曲线与轴的左右交点，、分别与曲线交于、两点.证明：为定值.第(4)题已知函数（是常数）.(1)讨论函数的单调区间；(2)当在处取得极值时，若函数与函数在上恰有两个不同交点，求实数的取值范围.第(5)题某单位附近只有甲、乙两个临时停车场，它们各有个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场，在某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间点点点点点点停车场甲停车场乙停车场如果表中某一时刻剩余停车位数低于该停车场总车位数的，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（1）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（2）从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（3）当乙停车场发出饱和警报时，求甲停车场也发出饱和警报的概率.。

江苏省扬州市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为等差数列的前项和，若，则（）A．9B．21C．39D．51第(2)题已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则（）A．3B．4C．5D．6第(3)题下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．B．C．D．第(4)题已知，，则（）A．B．C．D．第(5)题函数的大致图象为（）A．B．C．D．第(6)题函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，给出下列说法：①；②图象的一条对称轴为直线；③在区间上单调递增；④若在区间上恰有12个零点，则的取值范围为．其中所有正确说法的序号为（）A．①B．②④C．①③D．②③④第(7)题已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像的对称中心是（）A．B．C．D．第(8)题某学校一同学研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（）A．样本中心点为B．C．时，残差为D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（）A．平均数为2，中位数为3B．平均数为1，方差大于0.5C．平均数为2，众数为2D．平均数为2，方差为3第(2)题已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B ．满足的的取值范围为（）C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴D ．函数与的图象关于直线对称第(3)题已知点M，N在圆O：上运动，点，且，Q为线段M，N的中点，则（）A．过点P有且只有一条直线与圆O相切B．C．点Q在直线上运动D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）第(2)题四张卡片上分别写有数字3、4、5、6，甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张，若甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则______同学卡片上的数字最小．第(3)题记为等比数列的前项和.若，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，，其中．(1)若在上单调递减，求a的取值范围．(2)证明：，n，第(2)题已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}唯一，求a的值．第(3)题已知函数．(1)讨论函数零点个数；(2)若恒成立，求a的取值范围．第(4)题已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，.(1)写出数列前4项的所有可能取法；(2)判断：是否存在正整数，满足，并说明理由；(3)为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值.第(5)题某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图．(1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？(3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．附：，其中．。

江苏省无锡市（新版）2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．第(2)题已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，交于，过，分别作轴的平行线，分别交于，两点.若，的面积等于，则的方程为A．B．C．D．第(3)题复数的虚部是（）A．B．C．D．第(4)题某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法第(5)题已知集合，，，则实数的值为（）A．2B．或2C．1或2D．0或2第(6)题已知全集为，若，则（）A．B．C．D．第(7)题中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（）A．76石B．77石C．78石D．79石第(8)题已知不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）．A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”，则（）A．是“函数”B ．是“函数”C．是“函数”，且D ．是“函数”，且第(2)题十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（）A．在米跑项目中，甲的得分比乙的得分低B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大第(3)题祖暅是我国南北朝时期数学家，天文学家，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”这就是祖暅原理，比西方发现早一千一百多年．即：夹在两个平行平面之间的两几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，曲线C：，过点作曲线C的切线l（l的斜率不为0），将曲线C、直线l、直线y=1及x轴所围成的阴影部分绕y轴旋转一周所得的几何体记为，过点作的水平截面，所得截面面积为S，利用祖暅原理，可得出的体积为V，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知单位向量满足，则向量夹角的余弦值为__________．第(2)题已知复数满足，则_________；___________.第(3)题已知实数，满足约束条件则的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，其中，e是自然对数的底数．(1)若单调递增，求a的取值范围；(2)若，判断函数的零点个数．（参考数据：ln2≈0.693，e≈2.718）第(2)题已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．第(3)题已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点．(1)直线、的斜率分别为、，求的值；(2)若、、三点共线，，求实数的值；(3)若直线过椭圆右焦点，且，求面积的最小值.第(4)题将正方形绕直线逆时针旋转，使得到的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面平面；(2)点为上一点，若二面角的余弦值为，求．第(5)题已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求函数的零点个数.。

江苏省南京市（新版）2024高考数学苏教版考试(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知直线与抛物线交于两点, 点满足,则A．B．C．D．第(2)题设集合，，则等于（）A．B．C．D．第(3)题如果集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题文房四宝是中国独有的书法绘画工具(书画用具)，即笔、墨、纸、砚.文房四宝之名，起源于南北朝时期，自宋朝以来“文房四宝”则特指宣笔(安徽宣城)、徽墨(安徽徽州歙县)、宣纸(安徽宣城泾县)、歙砚(安徽徽州歙县)、洮砚(甘肃卓尼县)、端砚(广东肇庆，古称端州).若从上述“文房四宝”中任取两种，则恰好这两种都是“砚”的概率为（）A．B．C．D．第(5)题执行如图所示的程序框图，如果输入，，那么输出的的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则集合中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(7)题已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，，则第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（）A．B．C．D．第(2)题某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A．招商引资后，工资净收入较前一年增加B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍第(3)题已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值有（）A．1B．2C．3D．4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，是第三象限角，则___________.第(2)题如图，个半径为的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆或坐标轴外切），设为八个圆形区域的并集，斜率为的直线将划分为面积相等的两个区域，则坐标原点到直线的距离为___________．第(3)题设直线与两坐标轴的交点分别为，点为线段的中点，若圆上有且只有一个点，使得直线平分，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．第(2)题已知双曲线：（，）的渐近线方程为，过的左焦点且垂直于一条渐近线的直线分别交两条渐近线于点，（，在轴同侧），且．(1)求双曲线的标准方程；(2)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直，并说明理由．第(3)题椭圆的中心在原点，一个焦点为，且过点．(1)求的标准方程；(2)设，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点且，①若，求k的值；②求的面积的最大值．第(4)题已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.第(5)题已知数列是等比数列，，且成等差数列.数列满足：.（1）求数列和的通项公式；（2）求证：.。