命题的否定

第 1 页 共 10 页 认识数学中『命题的否定』 数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的关系和推理论证。人民教必修5中编排了“简易逻辑”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，目的是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断是非能力和推理能力，提高数学思维能力。但在教学过程中发现学生对命题的否定难掌握，为此下面谈谈如何来构造比较合理的命题的否定，供师生们参考。 首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓P”）称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题，也叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。 《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面一一试述：

1 简单命题的否定 在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。

例1 写出下列命题的否定。 （1） 是有理数。 （2） 菱形的对角线互相垂直。 （3） N {x R︱x＞–2}. （4） 方程 =1没有实数根。 解:（1）的否定： 不是有理数。 或者是并非 是有理数。 第 2 页 共 10 页

（2）的否定：菱形的对角线不互相垂直。 （3）的否定：N {x R︱x＞–2}。 （4）的否定：方程 =1有x≠3的实数根。

2 复合命题“P且q”；“P或q”形式的否定。 给定命题P、q，用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）。记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q” 叫做命题P、q的析取命题（也叫选言命题）。记作P q。它的否定可以通过真值表来：(“1”表示真，“0”表示假)

P q P q P q ┓(P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1

从表可知：┓(P q)与 ┓P ┓q的真值相同；┓(P q)与 ┓P ┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非P或非q”；“P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示：

┓(P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q 从而知命题“P q”和“P q”的否定：既否定命题P,q;又改变联结词。 第 3 页 共 10 页

例2 写出下列命题的否定。 (1) a=±5。 (2) f(x)=0既是奇函数又是偶函数。 (3) 5是10的约数且是15的约数。 (4) 2+2=5或3<2。 (5) AB∥CD (6) a,b都是0。 解（1）的否定：a≠5且a≠–5。（原命题属于P或q型） （2）的否定：f(x)不是奇函数或不是偶函数。（原命题属于P且q型） （3）的否定：5不是10 的约数或5不是15的约数。 （4）的否定：2+2≠5且3≥2。 （5）的否定：AB∥CD或AB≠CD。 （6）的否定：“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。 可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。 3 复合命题“若P则q”形式的否定。 第 4 页 共 10 页

“若P则q”（记作P q）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。

当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真，“0”表示假)

P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q) 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1

从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.用符号语言表示：

┓(P q)= P (┓q) 或 ┓(P q)= ┓（┓P q）= P (┓q) 例3 写出下列命题的否定。 （1）若x2+y2=0， 则x, y全为0。 （2）若x=2或x=–1 则x2-x-2=0. （3）若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B。 解：（1）的否定：虽然x2+y2=0，但是x和 y不全为0。 第 5 页 共 10 页

（2）的否定：虽然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0.。 （3）的否定：尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B。 但在教学中发现有些师生把例3的答案写成：（1）若x2+y2=0，则x, y不全为0。（2）若x=2或x=–1，则x2-x-2≠0.是不对的。它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变，结论q否定，且联结词不变的命题”。即为┓(P q)= P (┓q)。实际上，原命题与否定命题应属于矛盾命题，而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题；另方面从真值表可知，当P为假时，它们的真值都为真，故不可成为矛盾命题，因此┓(P q)≠P (┓q)例如“若2是奇数，则7是奇数”与“若2是奇数，则7不是奇数”都为真命题。希教学中切实注意它们的区别。

4 含量词命题的否定。 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“ ”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样？

一般地，全称命题P： x A,有P（x）成立；其否定命题┓P为： x A, 使P（x）不成立。存在性命题P： x A,使P（x）成立; 其否定命题┓P为： x A,有P（x）不成立。用符号语言表示： 第 6 页 共 10 页

非（（ x）p(x)）=( x)非p(x) 非(( x)p(x))=( x)非p(x) 在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

例4 写出下列命题的否定。 （1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。 解；（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 但解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 第 7 页 共 10 页

例5 写出下列命题的否定。 （1） 若x2＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0.。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）的否定：存在实数x0，虽然满足x02＞4但x0≤2.。或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x02＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）

（2）的否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x02+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.。 （4）的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两 条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。） 第 8 页 共 10 页

由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表：

5 命题的否定与否命题的区别。 命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：一，任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。如下面真值表可知：

P q ┓p ┓q” P q ┓p ┓q” 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

三，原命题“若P则q” 的形式，它的否定命题在前面已讲过；而它的否命题为“若非P，则非q”，（记为“若┓p，则┓q”）即是说既否定条件又否定结论。

例6 写出下列命题的否定命题与否命题。并判断其真假性。

词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或

词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立