专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则 （1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多个→至少个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且 且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M2、，，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，p q ∨p q ∧p ⌝p M M M同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）A ．000sin cos x R x x ∃∈-，B ．00cos 1x R x ∃∈≥，C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，D ．(0)tan 2x x x π∀∈>，，【答案】A【解析】因为sin cos )4x x x π-=-，其值域为[，所以A 项错误；因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x-=-=， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增， 所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =， 所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；借助于三角函数线，可知(0)tan 2x x x π∀∈>，，，所以D 项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题【答案】C【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝D ．若x <y ，则x 2<y 2【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，由x=y ，不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①中，当x =22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=，可以有a b ⊥，不一定要0a =或0b =，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是( )A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 【答案】A【解析】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确， 故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题， 故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】C【解析】命题p 中，若m α⊥，m n ⊥，则n 与α可能平行，也可能n ⊂α，故命题p 为假命题； 命题q 中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，m 与β的位置关系可能是m β⊂，//m β，也可能m 与β相交，故命题q 为假命题.因此p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧都是假命题，()p q ∨⌝为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型. 6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（ ） A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题 B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 【答案】B【解析】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确； 故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 C ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真 D ．命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤ 【答案】C【解析】对于A ，由逆否命题的概念可得命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；对于B ，若2a =，则函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数；若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则只需满足1a >；所以“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=” 的逆命题为“若()00f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，对函数()3f x x =，()00f '=，但0x =不是函数()f x 的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C 错误；对于D ，由全称命题的否定可知命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤，故D 正确. 故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形， 如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆ ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-，∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ==，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确； 对于11//D C DC ，DC平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为2266a ==⎝⎭．④对．故选C ． 【专家解读】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．12．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三三模】已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.【答案】()12,0-【解析】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【专家解读】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.13．【2020届湖南省永州市祁阳县高三二模】已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=， （1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题， 则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有20440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-， 所以实数m 的取值范围为2m <-.【专家解读】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.。
