中考数学复习几何模型专题讲解7---讲轴对称最值模型(解析版)

PA
B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 2 ．
【解答】解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h． ∵ ＝ ， S△PAB S 矩形 ABCD
∴ AB•h＝ • ， AB ADFra bibliotek∴h＝ AD＝4，
∴接动AE点，P连在接与BEA，B 平则行BE且的与长A就B 的是距所离求是的最2 的短直距线离．l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连 在 △Rt ABE 中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，
∴等边△ABC 的高为 ＝x 2 ，
- 7 - / 24
即 ＝ PE 2 ，故选：B． 例题 4. 如图，∠MON＝30°，A 在 OM 上，OA＝2，D 在 ON 上，OD＝4，C 是 OM 上任意一点，B 是 ON 上任
C．
．D 4
【QR解＝答ER】，解：如图，作△ABC 关于 AC 对称的△ACD，点 E 与点 Q 关于 AC 对称，连接 ER，则
当点 E，R，P 在同一直线上，且 ⊥ PE AB 时，PR+QR 的最小值是 PE 的长，
设等边△ABC 的边长为 x，则高为 x，
∵等边△ABC 的面积为 4 ，
∴ x× ＝x 4 ，解得 x＝4，
中考数学复习几何模型专题讲解 专题 7 轴对称最值模型
名师点睛
各模型如下：
- 1 - / 24
A A' BP Q
CD B'
- 2 - / 24
- 3 - / 24
典题探究
例题 1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，动点 P 满足 ＝ S△PAB
，则点 到 ， S 矩形ABCD
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接 、 、 ， PB PC PA 要∵使PB得+P△CP＝BPCA的+P周B≥长A最B小，，只要 PB+PC 最小即可，
- 4 - / 24
∴当 P 与 E 重合时，PA+PB 最小， ∵∴AADF＝＝CCFD，，DE⊥AC， ∵∴∠EFA∥CBBC＝，90°， ∴AE＝BE＝ ＝ ， AB 2.5
＝
＝ ＝6．
∴ ＝ ＝ ， C△BMN NB+NM+BM 6
变式练习>>> 2．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上
的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（ ）
． ° A 140
． ° B 100
C．50°
【连根△∴∴∴故OP解接据∠等∠选P1M＝P答腰轴：MPN1OP1O对】△BP的PN．P2＝O称解＝，2周＝P的：O∠交1长2PP性分∠O22的O，中P质别AA最M∠O，于，作+小BO∠∠可点＝M值POO得1，8PM＝P0P交°关1＝NMPP＝1，2P于∠OP+＝∠2∠BM，OPO于OPA1POMP、N12，，MPO，1∠+BP＝则∠N的N1＝OP0对0OPP°2称＝2NN，＝点∠，1N则P0P10、2°OP，，2，
∴EF＝ ＝ ， BC 1.5 ∵AD⊥AB， ∴△AEF∽△DEA， ∴＝，
∴DE＝ ＝ ， 故选：B．
例题 2. 若点
如M、图N所分示别，为凸边四边CD形，AABDC上D 的中动，点∠，A＝求9△0°BM，N∠的C周＝长90的°，最小∠D值＝. 60°，AD＝3，AB＝
，
【解答】解：作点 B 关于 、 CD AD 的对称点分别为点 B'和点 ，B'' 连接 交 B'B'' DC 和 AD 于点 M 和点 N，DB，连接 、 ； MB NB 再 DC 和 AD 上分别取一动点 和M' N'（不同于点 M 和 N）， 连接 ， ， M'B M'B' N'B 和 N'B''，如图 1 所示： ∵ ＜ ， B'B'' M'B'+M'N'+N'B'' ＝ ， ＝ ， B'M' BM' B''N' BN' ∴ ＞ ， BM'+M'N'+BN' B'B'' 又∵ ＝ ， B'B'' B'M+MN+NB'' ＝ ， ＝ ， MB MB' NB NB'' ∴ ＜ ， NB+NM+BM BM'+M'N'+BN' ∴连接C△BDMBN，＝过NB点+NBM'作+BBM'H时⊥周DB长''于最小B''；D 的延长线于点 H， 如图示 2 所示： ∵在 △Rt ABD 中，AD＝3，AB＝ ，
∴AB
＝4 ，且当点 P′是斜边 AB 的中点时，CP′⊥AB，
此时 CP′＝ ＝ AB 2 ，即 CQ+PQ 的最小值是 2 ． 故填：2 ．
变式练习>>> 3．的如最图小，值已是知（等边△）ABC 的面积为 4 ，P、Q、R 分别为边 、 、 AB BC AC 上的动点，则 PR+QR
．A 3
．B 2
∴
＝
＝2 ，
∴∠2＝30°， ∴∠5＝30°，DB＝DB''，
- 5 - / 24
又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°， ∴∠1＝30°， ∴∠7＝30°，DB'＝DB， ∴DB∠'＝BD'DBB'''＝'＝D∠B1＝+∠2 2+，∠5+∠7＝120°， 又∴∵∠∠6＝B6'D0°B''+，∠6＝180°， ∴在HRDt△＝B'HB，''中HB，'＝由3勾，股定理得：
∴BE＝
＝
＝2 ，
即故答PA案+P为B：的2最小值．为 2 ．
变式练习>>>
1．如图 过点
DRt作△ADBEC⊥和AC等于腰点△AFC，DD以E 交ACA为B 于公点共边E，，已其知中A∠BA＝C5B，＝B9C0＝°3，，APD是＝射CD线，D且E满上足的A动D点⊥，AB当，
△PBC 的周长取得最小值时，DP 的值为（ ）
D．40°
- 6 - / 24
例题 3. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A 的平分线交 BC 于点 D，若点 、P Q 分 别是 AC 和 AD 上的动点，则 CQ+PQ 的最小值是 2 ．
【解答】解：如图，作点 P 关于直线 AD 的对称点 P′，连接 CP′交 AD 于点 Q，则 ＝ ′ ＝ ′． CQ+PQ CQ+P Q CP ∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q， ∴又∠∵PAADQ是＝∠∠AP′的A平Q分．线，点 P 在 AC 边上，点 Q 在直线 AD 上， ∴∵∠当PCAPQ′＝⊥∠ABBA时Q，，∴线∠段PC′PA′Q最＝短∠．BAQ，∴点 P′在边 AB 上． ∵在△ABC 中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，