否命题与命题的否定和反证法

§1.7四种命题一、四种命题：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题。

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题。

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。

把下列命题改写成“若a则b”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题：①负数的平方是正数；原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数。

真命题逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。

假命题否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。

假命题逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。

真命题②在实数范围内，如果a b ＞，那么ac bc 22＞。

原 命 题：若a b ＞，则ac bc 22＞。

假命题逆 命 题：若ac bc 22＞，则a b ＞。

真命题否 命 题：若a b ≤，则ac bc 22≤。

真命题逆否命题：若ac bc 22≤，则a b ≤。

假命题规律：原命题与逆否命题的真值相同．．．．．．．．．．．．．；逆命题与否命题．．．．．．．的真值相同．．．．．。

二、四种命题间的关系：1、命题“若a b ＞，则a c b c ++＞”的逆否命题是（A ）若a b ＜，则a c b c ++＜（B ）若a b ≤，则a c b c ++≤（C ）若a c b c ++＜，则a b ＜（D ）若a c b c ++≤，则a b ≤2、给出下列四个命题：①若x y + 6，则x ¹2或y ¹4；②“若xy =1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；③“四边相等的四边形是正方形”的否命题；④“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中的真命题是_____________（填写所有符合要求的序号）．3、若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的_____________________．注意：①互为逆否关系的两个命题真假性相同，即原命．．．题与逆否命题同真假．．．．．．．．．．，所以，这四．．．．．．．．．；否命题与逆命题同真假种命题中真命题的个数只可能是0或2或4．②对于否定形式的命题不方便判定其真假性，可以利用其逆否命题代替．路边苦李王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子,此必苦李。

【基础回顾】
一．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
二．四种命题及其关系
．四种命题
即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

．四种命题间的逆否关系
．四种命题的真假关系
()两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【典型例题】
例．已知是两个命题，若“”是假命题，则（）
．都是假命题．都是真命题
．是假命题，是真命题．是真命题，是假命题
【答案】
【解析】
例．给出下列命题：其中正确命题的序号是（）
①已知,若,则,
②不存在实数,使
③是函数的一个对称轴中心
④已知函数.
．①②．②④．①③．④
【答案】
【解析】
试题分析：
④因为在锐角三角形中，，所以，；则有
，；又因为函数
在上为减函数，所以.故正确.
考点：向量的线性运算；三角函数的基本关系式；函数的图像和性质.
例．下列说法中正确的是（）
（）“”是“函数是奇函数”的充要条件。

数学证明的基本方法和技巧在数学中，证明是一项非常重要的工作。

通过证明，我们可以确保数学的严谨性，并且能够推动数学的进步。

本文将介绍数学证明的基本方法和技巧。

一、归纳法归纳法是证明数学命题的基本方法之一。

它基于一个基础情况（通常是n=1或n=0）和一个归纳假设（假设第n个情况成立），然后通过推理证明下一个情况（即n+1）成立。

这样依次进行，最终能够推导出所有的情况。

例如，我们要证明对于任意的正整数n，1+2+...+n等于n(n+1)/2。

首先，我们可以验证n=1时等式成立。

然后，假设对于某个正整数k，等式成立，即1+2+...+k=k(k+1)/2。

接下来，我们通过将k+1代入等式左边，利用归纳假设，进行推导与等式右边相同的结果。

这样，我们就用归纳法证明了等式对所有的正整数都成立。

二、逆否命题逆否命题是证明数学命题的一种工具。

它基于命题的逆否形式，即若p则q的逆否形式为：若非q则非p。

证明逆否命题可以更容易地得出结论。

例如，我们要证明一个条件命题：“若n是一个平方数，则n的平方根是一个整数”。

我们可以通过证明它的逆否命题来得出结论：“若n 的平方根不是一个整数，则n不是一个平方数”。

三、反证法反证法是一种常用的证明方法，它基于假设命题的否定形式，通过对命题进行逻辑推理，最终得出矛盾的结论，证明命题的正确性。

例如，我们想要证明一个命题：“如果a和b都是有理数，且a/b是无理数，则a和b不能同时为有理数”。

我们可以采用反证法，即假设a和b都是有理数，然后利用无理数的定义进行推理，得出一个矛盾的结论，从而证明了命题的正确性。

四、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种重要方法。

它基于两个关键步骤：（1）验证基础情况，确保命题在某个最小自然数上成立；（2）假设命题在某个自然数n上成立，然后证明其在n+1上也成立。

通过这样的推理，就能够证明该命题对所有自然数都成立。

例如，我们要证明斐波那契数列中的每个数都是正整数。

否命题与命题的否定之辨析一、否命题与命题的否定概念与形式的辨析如何正确地表达一个命题的否定形式及其否命题是简易逻辑知识的难点之一，因为命题的否定和否命题是两个根本不同的概念，而有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些学生在反证法的第一步，却假设条件和结论都不成立，暴露了他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念．事实上“否命题”与“命题的否定”是不同的，命题p的否定即¬p，只是否定结论，条件并不变．对于命题“若p则q”的否定就是“若p则非q”．“否命题”既否定条件又否定结论．对于命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”．例如命题P：对顶角相等．写出命题P的否命题．误解：命题P的否命题为：对顶角不相等辨析：命题的否定形式与否命题不一样．对命题“若P则Q”来说，其否命题应为：“若非P则非Q”，即否命题是对命题的条件和结论都加以否定．而命题“若P则Q”的否定形式应为“若P则非Q”，即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定．所以该命题的否命题应是“不是对顶角的两个角不相等”．二、词语的否定12．“都”与“不都”的辨析一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，即包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有．如命题“a、b都是零”的否定不是“a、b都不是零”，而是“a、b不都是零”，即“a b中至少有一个为零”．因“a、b都是零”是复合命题“p且q”的形式，其否定应该为“¬p或¬q”，即“a=0且b=0”的否定应为“a≠0或b≠0”，也就是“a,b中至少有一个不为零”.3．“一定”的否定对“全…”、“都…”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定…”的否定却不一样，因两者的词性不同，“全”、“都”是副词，是对某一个范围而言的；而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定的区别．因此，在对“一定…”、“一定都…”否定时，可分两步：①先将“一定”两字拿下；②否定后再放在“不”的前面．如命题“三角形两边之和一定大于第三边”的否定，先是“三角形两边之和不大于第三边”，后得“三角形两边之和一定不大于第三边”．又如命题“若∠A是直角，则∠B, ∠C一定是锐角”的否定，这里的“一定是”含有“两个角一定都是”之意，因此可先否定“若∠A是直角，则∠B, ∠C不都是锐角”，再放上“一定”得“若∠A是直角，则∠B、∠C一定不都是锐角”.三、注意复合命题的否定例1．写出下列复合命题的“非p形式”(1)2是偶数且是质数；(2) ΔABC是等腰三角形或是直角三角形．解：（1）2不是偶数或不是质数．(2) ΔABC不是等腰三角形且不是直角三角形．评注：命题p或q”与p且q”形式命题的否定分别是“¬p且¬q”与“¬p或¬q”四、写出命题的否命题，关键要分清命题的条件与结论例2．写出下列命题的否命题．（1）若x=3，则x2-9x+18=0；（2）实数a，b，c，d中，若a=b，c=d，则a+c=b+d；（3）正数a的平方大于零．解：（l）若x≠3，则x2-9x+18≠0．（2）实数a，b，c，d中，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d．（3）若a不是正数，则a的平方不大于零．评注：要写一个命题的其他几种形式的命题，应首先将其写成“若p，则q”的形式，再根据其他命题的结构形式，写出其他形式的命题，这样才能有效地避免出错。

高中数学中常见的证明方法一、直接证明法直接证明法是最基本也是最常见的证明方法之一。

它通过对所要证明的命题进行逻辑推理和分析，直接给出证明的过程和结论。

要使用直接证明法，一般需要明确以下几个步骤：1. 提出所要证明的命题：首先，明确所要证明的命题，即要证明的结论。

2. 建立前提条件：在进行证明前，需要明确前提条件，即已知条件或已知命题。

3. 逻辑推理：通过逻辑推理和分析，根据已知条件和逻辑关系，逐步推导出结论。

4. 结论：最后，根据已有的证明过程，给出结论。

二、间接证明法间接证明法又称反证法，它是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是正确的。

间接证明法的一般步骤如下：1. 假设反命题：首先，假设所要证明的命题的反命题是正确的。

2. 推导过程：根据假设和已知条件，通过逻辑推理进行推导，尽可能多地得到信息。

3. 矛盾结论：最终推导出一个与已知事实矛盾的结论。

4. 否定假设：由于假设的反命题与已知事实矛盾，所以可以否定假设，即所要证明的命题是正确的。

间接证明法常用于证明一些数学定理、存在性证明和最大最小值的存在性等问题。

三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明一类命题或定理，如整数性质、等差数列的性质等。

它基于两个基本步骤：基本情况的验证和归纳假设的使用。

数学归纳法的一般步骤如下：1. 基本情况的验证：首先，验证当命题成立的最小情况，通常是n=1或n=0的情况。

2. 归纳假设的使用：假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某个特定的正整数k是成立的。

3. 归纳步骤的推理：在归纳假设的基础上进行推理和分析，证明当n=k+1时命题也成立。

4. 归纳法的结论：根据归纳步骤的推理和基本情况的验证，可以得出结论，即所要证明的命题对于所有正整数都成立。

数学归纳法在数学推理和定理证明中有着广泛的应用，尤其适用于证明具有递推性质的命题。

四、逆否命题证明法逆否命题证明法是通过对命题的逆否命题进行证明，从而间接地证明所要证明的命题。

数学篇反证法是一种间接证明方法.它着眼于问题的反面，先假设命题结论的反面成立，再根据假设的反面结论和题设条件进行缜密的推理论证，推导出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果，得出假设不成立，最后判定原命题为真命题.那么，什么情况下适合运用反证法解题呢？下面介绍几种宜用反证法解题的命题形式.一、唯一型命题唯一型命题是指所要求证的结论中含有“唯一”“只有一个”等字眼的命题.由于唯一就是“独一无二”，解题时一般不好直接论证，常常需借助反证法来予以证明.此类问题中结论的反面是“不是唯一的”“至少有两个不同的”，由此推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一.例1求证：若m ≠0，则关于x 的方程mx +n =0的解是唯一的.分析：该命题的结论涉及唯一性，因此求证时可以考虑用反证法.证明：因为m ≠0，所以x =-n m是mx +n =0的一个解，假设mx +n =0(m ≠0)的解不是唯一的，不妨设x 1，x 2都是mx +n =0的解，这里x 1≠x 2，则有mx 1+n =0①，因为x 1≠x 2，所以m =0，这显然与已知条件中的m ≠0相矛盾，故而假设不成立，所以当m ≠0，关于x 的方程mx +n =0的解是唯一的.评注：在利用反证法解题时，同学们特别要注意反面假设的正确性，否则会使整个反证过程出错.对于唯一性命题而言，“唯一”，即“有且只有一个”，其假设的反面为“不止一个”，也就是“至少有两个”.二、否定型命题否定型命题是指命题的结论以“无”“没有”“不是”“不能”“不等于”“不存在”等否定形式出现.因为我们所掌握的绝大部分概念、公理、定理、法则、公式等都是肯定性的断言，所以直接证明较难，故采用反证法可把否定性的断言转化为某种肯定性的断言，从而找到推理的途径.例2如图1所示，在☉O 中，MN 、PQ 是☉O 中非直径的相交线，交点为R .求证：MN 、PQ 不能互相平分.解题指南扬州市梅岭中学陈溪数学篇行证明，显然存在难度.若能从命题结论的反面着手，利用反证法推出矛盾，则可以使问题轻松获证.证明：假设MN 、PQ 相互平分于点R .因为MN 、PQ 是☉O 中非直径的相交线，所以点R 与点O 并不重合.连接OR 、OM 、ON .因为OM ＝ON ，R 为MN 的中点（由假设条件得出），所以OR ⊥MN ，同理可得OR ⊥PQ ，从而可知过点R 有MN 、PQ 两条直线同时垂直于OR ，这显然与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理相矛盾，故假设不成立，所以MN 、PQ 不能互相平分.评注：对于否定型命题而言，它的反面往往为肯定性判断，运用肯定性的断言去推理一个命题要比运用否定性的断言去推证一个命题更直观、容易.三、至少（多）型命题至少（多）型命题的结论中经常出现“至少”“至多”“最少”“最多”等这样的词语，由于结论涉及的对象往往不止一个，我们能找到直接论证的理论依据很少，故常用反证法.通过添加否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，从而使命题容易获证.例3若a 1a 2=2(b 1+b 2)，试证明:方程x 2+a 1x +a 2=0与x 2+b 1x +b 2=0至少有一个方程有实数根.分析：题目中出现“至少”的字眼，因此可以借助“反证法”进行求证.证明：假设两个方程都没有实数根，则有△1<0，△2<0，所以△1+△2<0.①又因为△1+△2=a 21-4b 1+a 22-4b 2=a 21+a 22-4(b 1+b 2)=a 21+a 22-2a 1a 2=(a 1-a 2)2≥0，②显然①与②矛盾，故假设不成立，所以方程x 2+a 1x +a 2=0与x 2+b 1x +b 2=0至少有一个方程有实数根.例4试证明：任给m ，n ，p 三个实数，则下列三个不等式中至多有两个不等式同时成立：|m |<|n -p |，|n |<|p -m |，|p |<|m -n |.分析：题目中出现“至多”一词，因此可以利用反证法予以证明.证明：根据实数的性质，不妨设实数m ，n ，p 在数轴上对应的三点如图2中M 、N 、P所示：图2那么就有：|m |=OM ，|n |=ON ，|p |=OP ，|n -p |=NP ，|p -m |=MP ，|m -n |=MN .假设这三个不等式同时成立，由|m |<|n -p |，|n |<|p -m |，|p |<|m -n |可知，OM <NP ，ON <PM ，OP <MN ，而OP =ON +NP >ON +OM =MN ，即OP >MN ，这与“OP <MN ”相矛盾，故而假设不成立，所以三个不等式中至多有两个不等式同时成立.评注：若题目中的结论词是“至少有一个”，则反设结论词为“一个也没有”；结论词是“至少有n 个”，则反设结论词为“至多有（n -1）个”；结论词是“至多有一个”，则反设结论词为“至少有两个”；结论词是“至多有n 个”，则反设结论词为“至少有（n +1）个”.总之，对于某些数学命题，若直接证明行不通，同学们要注意以退为进，逆向思考，巧用反证法，从而出奇制胜.解题指南22。

宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．例1 求证：3lg 2是无理数．分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝m n (,m n ∈+N ，n m ,互质）从而32=m n得， m n 32=上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立． 故3lg 2是无理数．例2 证明：一个三角形中不可能有两个直角．分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法． 例3 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝0和2x ＋2p x ＋2q ＝0中，至少有一个方程有实根． 分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”． 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于0，即：⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆22212122221211440404q p q p q p q p ∴)(4212221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝2（1q ＋2q ）代入上式得02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相A B P 矛盾，所以假设不成立．故这两方程中，至少有一个方程有实根．三、唯一性命题若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法． 例4 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ． 证明：假设过点P 可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠P AB ＝∠PBA ＝090． 于是∠APB ＋∠P AB ＋∠PBA ＞0180．即∆P AB 的内角和大于0180，这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，故假设不成立．l。

命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别定义原命题：若p，则q 命题的否定指对结论的否定若p，则非q 否命题指对命题的条件与结论同时否定若非p，则非q2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：原命题否定形式否命题真假与原命题的真假无关假真3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：正面词语大(小)于是或有全都任何所有的否定词语不大(小)于不是且无不都某些有几个不全正面词语至少有一个任意两个至多有n个任意的都是否定词语一个都没有某两个至少有n+1个某个不都是二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下命题p或q p且q非p形式(┐p)且(┐q) (┐p)或(┐q)⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．。

初中数学推理技巧知识点归纳数学是一门理性思维的学科，推理技巧在其中占有重要的地位。

初中数学中的推理技巧既是帮助学生理解数学知识的有效途径，又是培养学生逻辑思维和分析问题能力的关键。

本文将对初中数学推理技巧的一些知识点进行归纳总结。

一、命题推理命题推理是指通过推理过程判断一个命题的真值。

在初中数学中，常见的命题推理有三种基本推理方法：直接推理、反证法和逆否命题推理。

1. 直接推理：直接推理是指通过已知条件，直接得出结论。

例如，在等腰三角形中，底角相等，那么我们就可以直接推断出底角相等。

2. 反证法：反证法是指假设命题的否定，并通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而推断原命题成立。

例如，当我们假设两个角相等，但通过推理发现在已知条件下两个角不相等，那么我们可以推断原命题为假。

3. 逆否命题推理：逆否命题推理是指在已知命题的条件和结论上，通过将其逆否命题转化成原命题，从而得出结论。

例如，如果已知一个等差数列的前两项相等，那么我们可以通过将这个条件的逆否命题转化成原命题，从而推断这个数列是等差数列。

二、图形推理图形推理是指通过图形间的关系和特征，进行推理和判断。

初中数学中的图形推理主要包括等腰三角形的判断、平行线的性质和相似三角形的关系。

1. 等腰三角形的判断：对于一个三角形，如果它的两边或两个角分别相等，那么我们可以推断这个三角形是等腰三角形。

例如，如果三角形的两边相等，那么我们可以判断它是等腰三角形。

2. 平行线的性质：平行线有许多特征性质，初中数学中常用的推理方法有同位角、内错角、同旁内角和同旁外角等。

通过这些角度关系，我们可以判断两条直线是否平行。

例如，当两条直线上的同位角相等时，我们可以推断这两条直线是平行线。

3. 相似三角形的关系：相似三角形的边比例相等，对应角相等。

通过这个特征，我们可以在已知条件下通过推理得出三角形的各边比例或角度。

例如，在一个等腰三角形中，如果我们知道底角和底边的长度，那么我们可以通过图形推理得出去推算等腰边的长度。

一、命题的概念1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。

注意：1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。

2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。

二、命题的否定与否命题有什么区别1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表，在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。

2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

三、举例命题的否定与否命题的易错题1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。

解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。

评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。

2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。

解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。

命题的否定：两个奇数的和不是偶数。

评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。

(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。

3、写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列。

(2)平行四边形是菱形。

解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。

命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．例1 求证：3lg 2是无理数．分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝m n (,m n ∈+N ，n m ,互质）从而32=m n得， m n 32=上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立． 故3lg 2是无理数．例2 证明：一个三角形中不可能有两个直角．分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法． 例3 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝0和2x ＋2p x ＋2q ＝0中，至少有一个方程有实根． 分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”． 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于0，即：⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆22212122221211440404q p q p q p q p ∴)(4212221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝2（1q ＋2q ）代入上式得02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相A B P 矛盾，所以假设不成立．故这两方程中，至少有一个方程有实根．三、唯一性命题若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法． 例4 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ． 证明：假设过点P 可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠P AB ＝∠PBA ＝090． 于是∠APB ＋∠P AB ＋∠PBA ＞0180．即∆P AB 的内角和大于0180，这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，故假设不成立．l。

命题的否定和否命题的区别【否命题和命题的否定的含义】1.什么是命题的否定命题的否定就是对这个命题的真值进行取反。

命题的否定与原命题真假性相反。

设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定．“非p”记作“-p”。

2.否命题的概念否命题是数学中的一个概念。

一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。

命题是否成立，与它的否命题是否成立没有关系。

得到一个问题的否命题很容易，把条件，结论全部否定就可以了。

如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。

设“若p则q”为原命题，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题。

【命题的否定和否命题的区别】1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。

2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假。

而命题的否定是：a.在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可;b.如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定。

任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）。

否命题、逆否命题、命题的否定与反证法熊明军读了秋屏在新华网撰写的文章《数学中的致命错误——反证法》，意识到不在数学体系框架内研究的数学都是伪数学。

也意识到有很多学生甚至教师对基本逻辑中的否命题、逆否命题、命题的否定与反证法的基本概念、形式及应用都存在极其模糊地认识。

下面，从概念、区别与联系、应用三个方面来简要叙述一下，以期达到清醒认识的目的。

一、概念讨论原命题的否命题、逆否命题、否定必须是在命题为“若p ，则q ”的形式（或可以改写为“若p ，则q ”的形式）的前提下进行的。

不具备“若p ，则q ”形式的命题，讨论其否命题、逆否命题、否定是毫无意义的。

原命题：若p ，则q ；命题的否定：若p ，则q ⌝； 否命题：若p ⌝，则q ⌝； 逆否命题：若q ⌝，则p ⌝；反证法：（Reductio ad absurdum ，又称归谬法、背理法）是一种论证方式，拉丁语的意思为“转化到不可能”，阿基米德经常使用它。

反证法是由证明q p ⇒，转向证明t q ⇒⌝，进而得t 与已知矛盾或与相关定理、结论矛盾，然后判定q ⌝为假，从而推出q 为真的证明方法。

它首先假设某命题不成立（即做出原命题的否定），然后把假设作为已知条件的一部分，和原来的已知条件合并在一起，推理出明显矛盾的结果，最后得出原结论正确。

二、区别与联系①区别：否命题是对原命题若p ，则q 既否定其条件，又否定其结论； 命题的否定是对原命题若p ，则q 不否定其条件，只否定其结论；逆否命题是对否命题若p ⌝，则q ⌝条件与结论地位的互换； 逆否命题是对原命题若p ，则q 条件与结论都否定后地位的互换。

②联系：逆否命题与原命题的真假性相同，与否命题的真假性没有关系； 命题的否定与原命题的真假性相反，命题的否定就是q ⌝，与反证法的假设是一个意思。

③辨析：逆否命题与原命题进行的是等价转化；而反证法与原命题不是等价转化，是先对原命题否定，再把否定后的结论作为条件的一部分，引出矛盾的新结论。

否命题与命题的否定卢敏摘 要：否命题与命题的否定是两个比较容易混淆的概念，也是高中逻辑学的重要部分，本文将对否命题与命题的否定进行一下辨析。

关键词：否命题 命题的否定 辨析如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。

有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。

说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。

事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“”q p 则若那么这个命题的否命题是“”,而这个命题的否定是“”。

可见，q p 则非若非q p 则非若否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。

本文将通过以下几个方面对命题的否定与否命题进行分析。

一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，即若表示命题p p p p “若则”，则其否命题是“若非，则非”。

A B A B 2．“非”叫做命题的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，p p p 即如果命题是“若，则”，那么命题“非”是：若，则非。

由此可知命题p A B p A B 与的条件相同，结论相反；命题与的真假相反；。

p ⌝p p ⌝p ()p p ⌝⌝=定义原命题：若，则p q 命题的否定指对结论的否定若则，非p q 否命题指对命题的条件结论同时否定若非，则非p q二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题的否定为“非p ”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若则”既否定它p p ⌝p p q 的条件，又否它的结论。

2．“非”是否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命p 题“非”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。

“非”的含义有四条：p p U U C P ①“非”只否定的结论；p p ②与“非”的真假必须相反；p p ③“非”必须包含的所有对立面；p p ④“非”必须使用否定词语。

反证法逆否命题
反证法（proof by contradiction）是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论为假，然后推导出矛盾，从而证明原始假设为真。

这个方法的基本思想是通过反证法来证明一个命题，首先假设它的否定，然后通过逻辑推导导出一个矛盾，从而证明原命题成立。

逆否命题（contrapositive）是一个命题的逻辑等价形式，对于命题"如果P，则Q"，其逆否命题是"如果非Q，则非P"。

在逆否命题中，原命题的条件和结论都被否定，并且这两者的关系保持不变。

在证明过程中，有时会将反证法与逆否命题结合使用。

具体步骤如下：
1. 反证法的步骤：
-假设原命题的否定为真。

-推导出一个矛盾。

-得出结论：原命题为真。

2. 逆否命题的应用：
-将原命题表示为"如果P，则Q" 的形式。

-将其逆否命题表示为"如果非Q，则非P" 的形式。

-在证明过程中，有时会转而证明逆否命题，因为逆否命题的证明可能更容易。

总体而言，反证法是一种更宽泛的证明方法，而逆否命题则是一种特殊的逻辑形式，两者在某些情况下可以相互补充使用。

在证明中选择使用哪种方法通常取决于具体问题的性质和证明的难易程度。