否命题与命题的否定

命题的否定和否命题举例命题的否定和否命题命题是指能够明确判断真假的陈述句，例如“今天是星期一”。

而命题的否定是指对原命题的反向陈述，例如“今天不是星期一”。

而否命题则是指对原命题的完全相反的陈述，例如“今天不是星期二”。

一、命题的否定1.1 否定的定义否定是指对原命题进行反向陈述，即将其真假性质颠倒。

如果原来的命题为真，那么它的否定就为假；如果原来的命题为假，那么它的否定就为真。

1.2 否定的表示方法在逻辑中，常用符号“¬”表示否定。

例如，“¬p”表示对p进行了否定。

1.3 否定与肯定之间的关系在逻辑中，肯定和否定之间存在着互补关系。

即一个命题与其否定只有一个为真，另一个必须为假。

二、否命题2.1 否命题的定义否命题是指对原来的命题进行完全相反的陈述。

如果原来的命题为真，则其否命题为假；如果原来的命题为假，则其否命题为真。

2.2 否命题与否定之间的区别否命题与否定之间的区别在于，否命题是对原来的命题进行了完全相反的陈述，而否定只是对原来的命题进行了反向陈述。

2.3 否命题的表示方法在逻辑中，常用符号“∼”或“~”表示否命题。

例如，“∼p”或“~p”表示对p进行了否命题。

三、举例说明3.1 命题的否定举例原命题：“今天是星期一。

”否定：“今天不是星期一。

”解释：如果原来的命题为真，则其否定为假，即如果今天是星期一，则今天不可能不是星期一。

3.2 否命题举例原命题：“今天是星期一。

”否命题：“今天不是星期二。

”解释：如果原来的命题为真，则其否命题为假，即如果今天是星期一，则今天肯定不可能不是星期二。

结语：通过以上内容可以得知，在逻辑学中，除了肯定和否定之外还有一个重要概念——否命题。

而这些概念在日常生活中也经常被运用到。

因此，掌握这些概念能够帮助我们更好地理解和分析各种事物。

否命题与命题的否定一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。

2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题是“若 p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。

由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。

二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。

2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。

“非”的含义有四条：①“非m ”只否定的结论；②m与“非m ”的真假必须相反；③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；④“非m ”必须使用否定词语。

三、实例帮您理解否命题与命题的否定对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。

若 m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。

命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。

②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。

四、“或”、“且”连结的命题的否定形式“p 或q ”的否定是“非p且非 q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。

它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与 b中至少有一个不为零”，而不是“实数 a与b 都不为零”；“实数 a与 b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。

文档素材否命题与否认命题的区别“否命题〞与“命题的否认〞这两个概念，如果原命题是“假设p则q〞，那么这个命题的否命题是“假设非p，则非q〞，而这个命题的否认是“假设p则非q〞。

可见，否命题既否认条件又否认结论，而命题的否认只否认结论。

一个命题与它的否认形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

例1原命题：全部自然数的平方都是正数原命题的标准形式：任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕“任意〞是限定词，“x是自然数〞是条件，“x²是正数〞是结论。

否认一个命题，需要同时否认它的限定词和结论。

限定词“任意〞和“存在〞互为否认。

否认形式：不是〔任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕〕＝存在x，〔假设x是自然数，则x²不是正数〕换一个说法就是：至少有一个自然数的平方不是正数而一个命题的否命题用得较少。

命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。

得到一个问题的否命题很简单，把限定词，条件，结论全部否认就可以了。

原命题：全部自然数的平方都是正数原命题的标准形式：任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕否命题：存在x，〔假设x不是自然数，则x²不是正数〕换一个说法就是：存在某个非自然数，其平方不是正数此外，对于逆命题，是否认限定词，然后交换条件和结论题目中的命题的逆命题就是：存在x，〔假设x²是正数，则x是自然数〕逆否命题，就是逆命题的否命题，或者否命题的逆命题，就是限定词不变，否认条件和结论并交换。

题目中的命题的逆否命题就是：任意x，〔假设x²不是正数，则x不是自然数〕例2例如:原命题:等边三角形的三个角都是60度否命题:如果一个三角形不是等边三角形,那么它的三个角不都是60度命题的否认:等边三角形的三个角不都是60度例3〞全部的正棱柱都是直棱柱〞那么它的否认应该是：〞有些正棱柱不是直棱柱〞，它的否命题是：不是全部的正棱柱都不是直棱柱例4假设一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；命题的否认：假设一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。

否命题,命题的否定,逻辑联接词和真假关系及运算之间的思维导图一、判断一件事情的语句，叫做命题。

命题的概念包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

二、命题的否定和否命题的区别1.命题的否定和否命题的区别在于命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

2.命题的否定和否命题的区别是命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

3.原命题：等腰三角形的底角相等。

4.命题的否定：如果一个三角形是等腰三角形,那么它的底角不相等;5.否命题：如果一个三角形不是等腰三角形,那么它的底角不相等。

6.结论：命题的否定是在原命题题设不变的情况下对结论进行否定，而否命题是既要否定原命题题设,又要否定原命题的结论。

7.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

三、命题的分类：（按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

四、四种命题：1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。

2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。

3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。

五、相互关系：1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。

命题的否定与否命题的区别命题的否定与否命题是完全不同的概念。

其理由一任何命题均有否定无论是真命题还是假命题而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

二命题的否定是原命题的矛盾命题两者的真假性必然是一真一假一假一真而否命题与原命题可能是同真同假也可能是一真一假。

如下面真值表可知Pq┓p┓q”Pq┓p┓q”110011100101011010001111三原命题“若P则q”的形式它的否定命题在前面已讲过而它的否命题为“若非P则非q”记为“若┓p则┓q”即是说既否定条件又否定结论。

例6写出下列命题的否定命题与否命题。

并判断其真假性。

1若xy则5x5y。

2若x2x2则x2-x2。

3正方形的四条边相等。

4已知ab为实数若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0。

解1的否定xyxy且5x≤5y。

假命题否命题Vxyx≤y5x≤5y。

真命题原命题为Vxyxy5x5y。

真命题2的否定xx2x2且x2-x≥2。

真命题否命题Vxx2x≥2x2-x≥2。

假命题原命题为Vxx2x2x2-x2。

假命题3的否定存在一个四边形尽管它是正方形然而四条边中至少有两条边不相等。

假命题否命题若一个四边形不是正方形则它的四条边不相等。

假命题原命题是真命题。

看例554的否定存在两个实数ab虽然满足x2axb≤0有非空实解集但使a2-4b0。

假命题否命题已知ab为实数若x2axb≤0没有非空实解集则a2-4b0。

真命题原命题为对任意的实数ab若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0真命题在教学中务必理清各类型命题形式结构性质关系。

才能真正准确地完整地表达出命题的否定才能避犯逻辑性错误才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

命题的否定和否命题的区别
（1）从定义的角度：
<1>否命题：设原命题是“若p则q”形式，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；
<2>命题的否定：设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定。

（2）从真值的角度：
<1>否命题：
是对原命题的条件和结论都进行否定，“若p则qà若非p则非q”，对于不具有“若p则q”形式的命题，我们应该先改写成“若p则q”形式，再写否命题。

注意：否命题与原命题真值可同真同假。

举例：原命题是“若同位角相等，则两直线平行”。

<2>命题的否定：
如果考虑原命题的条件和结论，则只对命题的结论进行否定，即“若
非p则非q”；
如果不考虑原命题的条件和结论，则对整个命题作否定，也就是在原命题前面加上“并非”即可。

由此看出：命题的否定与原命题必然真值相反。

另外，如果原命题涉及一些关键词，在否定时也要相应地做出改变：
都à不都（而不是都不）；
全是à不全是（而不是都不是）；
且à或，或à且；
任意à存在，存在à任意；
至少有一个à一个也没有；
至多有一个à至少有两个等等。

否命题与命题的否定嵩县一高王少敏学生们在学习四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）时，对于否命题的认识不会有什么疑问，但在学习了或、且、非命题之后，常有学生这样问:“命题的否定”和“否命题”有什么区别？这说明很多同学混淆了这两个概念，其根本原因是对于“否命题”和“命题的否定”认识不够全面，理解不够深刻，没有准确理解这两个概念。

遗憾的是，很多学习参考资料上、部分教师轻率地告诉同学们说：“否命题”是既否定条件又否定结论，而“命题的否定”是只否定结论。

这是一种不严谨不负责的说法，误导了学生们。

本文希望就此问题做一些分析，帮同学们认清否命题与命题的否定。

一、否命题：一个命题是“如果p,那么q”的形式时，它的否命题是既否定条件又否定结论，即“如果⌝p,那么⌝q”。

原命题和其否命题的真假关系不确定，可能同真可能同假也可能一真一假。

1．要想写出否命题，需先把原命题改写成“如果（若）……那么（则）……”的形式。

例1：（1）原命题：若三角形中有两边相等，则其对角相等。

（真）否命题：若三角形中有两边不等，则其对角也不相等。

（真）（2）原命题：若两角为对顶角，则此二角相等。

（真）否命题：若两角不是对顶角，则此二角不相等。

（假）（3）原命题：若四边形的四边相等，则为正方形。

（假）否命题：若四边形四边不等，则不是正方形。

（真）（4）原命题：若|x+1|=2，则x=10。

（假）否命题：若|x+1|≠2，则x≠10。

（假）例2：（1）原命题：正方形的四条边相等。

改写为：如果一个四边形为正方形，那么这个四边形的四条边相等。

（真）否命题：如果一个四边形不是正方形，那么这个四边形的四条边不相等。

（假）（2）原命题：负数的绝对值等于它的相反数。

改写为：如果x<0，那么|x|=-x。

（真）否命题：如果x≥0，那么|x|≠-x。

（假）2．如果一个命题没有改写成“如果（若）……那么（则）……”的形式，我们就不能试图去写它的否命题。

命题的否定和否命题的例子
以下是 6 条关于命题的否定和否命题的例子：
1. 原命题是“小明是个好学生”，那命题的否定不就是“小明不是个好学生”呀！这就好像说本来有个甜苹果，现在说它不是甜的一样。

你说是不是很简单呢？
例子：大家都觉得小明学习好，可是命题的否定就是否定这个，说小明学习不好呀！
2. 想想看，“今天天气很好”，那命题的否定就是“今天天气不好”啊！这反差多大呀！就像本来满心欢喜期待阳光，一下子变成了失望。

例子：都说今天天气好适合出去玩，然而命题的否定就是今天天气不适合出去玩咯。

3. “他会弹钢琴”，那命题的否定就是“他不会弹钢琴”嘛！这就如同原本认为他有这项技能，突然就说他没有了，多神奇呀！
例子：一直以为他会弹钢琴很厉害，哪晓得命题的否定直接否定了这一点呀。

4. “这个苹果是红色的”，命题的否定不就是“这个苹果不是红色的”呀！哇，这转变真有趣呢，就好像把红色的标签一下子撕掉了。

例子：都说这个苹果是红色的，可命题的否定让结果完全不同了呀！
5. “她很漂亮”，命题的否定就是“她不漂亮”呀！这真的是很大的变化呢，就好像把美丽的光环给拿走了。

例子：大家都夸她漂亮，命题的否定却完全相反呢，有意思吧？
6. “那本书很有趣”，命题的否定就是“那本书没有趣”。

这就像原本吸引人的魔法消失了一样。

例子：一直听说那本书很有趣，结果命题的否定来了个大反转呀！
我的观点结论：命题的否定和否命题虽然容易混淆，但通过这些简单易懂的例子可以清楚地区分呀，大家一定要好好理解哦！。

细说“否命题”与“命题的否定”江苏省姜堰中学 张圣官（225500)在学习《常用逻辑用语》的过程中，不少同学常常把“否命题”与“命题的否定”混为一谈。

其实这两个概念是在不同的层面上研究问题时所出现的。

“否命题”出现在“命题及其关系”中，指的是当原有命题（即原命题）为“若P 则q ”形式时，同时否定它的条件和结论得到“若¬p 则¬q（读作若非p 则非q ）”，这称为原命题的否命题；而“命题的否定”是指将命题p （通常是较简单的命题）直接进行否定得到¬p，也即是直接得到命题的反面。

1.要写出否命题，首先要将原命题改写成“若P 则q ”形式 例1.已知命题“全等三角形一定相似”，试写出它的否命题，并判断这两个命题的真假。

解:将原命题改写为：若两个三角形全等，则它们一定相似。

其否命题即为：若两个三角形不全等，则它们一定不相似。

原命题为真，否命题为假。

点评：将原命题首先改写成“若P 则q ”形式，是正确写出否命题的关键。

当然还要注意这里的“一定”是语气助词而不是谓语动词，不能把否命题写成：若两个三角形不全等，则它们不一定相似。

这样写就错了！违背了常用逻辑的基本规则。

事实上，在处理命题中含有“一定”、“必然”等词语的问题时有一个办法是切实可行的，这就是将它们去掉，因为它们仅仅是加强语气而已。

还有一点需要强调的是，原命题为真（假）时，否命题的真假性并不确定，即否命题可能为真也可能为假，这要根据具体的问题结论来确定。

在四种命题关系中，原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同。

例2.写出命题“若0,,,<∈ac R c b a ，则方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根。

”的否命题。

分析：本题中对“P ”的理解很关键，“R c b a ∈,,”必须当做前提条件才行，而不能对它进行否定。

否命题应该写成“若0,,,≥∈ac R c b a ，则方程02=++c bx ax 没有两个不相等的实数根。

否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即.如：命题: 若，则．命题的否命题：若，则．命题的否定即:若，则．全称命题与特称命题的否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，的否定：，；（3）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定；“p且q”的否定3．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.（1）：在整数范围内，、都是偶数，则是偶数（2）：若且，则．解析：(1) ：在整数范围内，、都是偶数，则不是偶数（假命题）；的否命题是：在整数范围内，若、不都是偶数，则不是偶数（假命题）；(2) ：若且，则（假命题）；的否命题是：若或，则（假命题）.5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假。

（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）；（5）。

解析：（1）是全称命题且为真命题。

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题。

（2）是全称命题且为假命题。

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题。

（3）是特称命题且为真命题。

命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题。

（4）是全称命题且为真命题。

由于都有，故，为真命题；：，为假命题（5）是特称命题且为假命题。

因为不存在一个实数，使成立，为假命题；6．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

解析：q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0又∵m＞0∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m＞0)的解集的子集。

命题的否定和否命题的区别
命题的否定，就是推翻整个命题，是对这个命题从根子上否定，推翻。

否命题，是一个命题的相反方向，相反结论。

下面我们举例子说明一下。

例一：
原命题——对顶角相等
否命题——不是对顶角就不相等。

原命题的否定——对顶角不相等。

如果我们证明了原命题“对顶角相等”是真命题，那么原命题的否
定“对顶角不相等”就一定是假命题；但是，原命题的否命题，可
能是真命题，可能是假命题。

如“不是对顶角就不相等”，就是假
命题。

例二：
原命题——如果两个角的和等于90度，那么这两个角互为余角。

否命题——如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为
余角。

原命题的否定——如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是
互为余角。

显然，原命题——“如果两个角的和等于90度，那么这两个角互
为余角。

”是真命题；否命题——“如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为余角。

”也是真命题；原命题的否定——
“如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是互为余角。

”就是假命题。

2020.10.20。

命题的否定和否命题的区别原命题：等腰三角形的底角相等命题的否定：如果一个三角形是等腰三角形,那么它的底角不相等；否命题：如果一个三角形不是等腰三角形,那么它的底角不相等.结论：命题的否定是在原命题题设不变的情况下对结论进行否定.而否命题是既要否定原命题题设,又要否定原命题的结论命题的否定,主要针对简单命题（普通命题）、含有量词的命题,此时原命题的否定命题规则是：否定结论,并将量词“置换”,即将原命题中的全称量词（存在量词）换成存在量词（全称量词）.这种命题一般只有命题的否定,而没有否命题.原命题的否命题：此时的原命题特指形如“如果p,则（那么）q”的命题,它的否命题是“如果非p,则（那么）非q”.这样的原命题的否定,同样是只否定结论,即原命题的否定为：“如果p,则（那么）非q”.注意：命题的否定与命题的否命题,是针对不同类型的原命题而言的,它们是两个不同的概念.1、在高中阶段（国内），命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0, 使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A => B) 与A => 非B 并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。

2、一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

正确理解与区分命题的否定与否命题命题的否定与否命题是逻辑学的难点之一，为了突破这一难点，本文试图全面而又详细地阐述之，以飨读者．一、命题的否定与否命题的相关概念１．定义：设“若p 则q ”为原命题，那么“若非p 则非q ”就叫做原命题的否命题．设“p ”是一个命题，那么“非p ”叫做命题p 的否定．“非p ”记作“p ⌝”２．区别：否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假．而命题的否定是（1）在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可．（2）如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定．任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）．二、命题的否定中的关键词剖析１．一般命题中“都…”对应于“不都…”，而不是对应于“都不…”； “全…”对应于“不全…”，而不是对应于“全不…”．“…且…”对应于“…或…”；“…或…”对应于“…且…”，２．全称命题与存在性命题中“任意…” 对应于“有些…”等；“存在…” 对应于“所有…”等．“至少有一个” 对应于“一个都没有”等；“至多有一个” 对应于“至少有两个”等．三、否命题的改写说明：原命题如果是“若p 则q ”或“如果…，那么…”的形式，则按照否命题的定义改写即可，原命题如果不是上面的形式，则先改写成上面的形式后，再去写它的否命题．四、命题的否定与否命题的易错题举例．１．写出“若a ，b 都是正数，则ab b a 2≥+．”的否命题．解答：若a ，b 不都是正数，则ab b a 2<+．评注： “都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a ，b 都是正数”理解成“a 是正数且b 是正数”，则其否定也可写成“a 不是正数或b 不是正数”．２．写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定．解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数．命题的否定：两个奇数的和不是偶数评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”．(2) “是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是 “是奇数”（为什么？）．３．写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列． (2)平行四边形是菱形．解答：(1) 任意一个常数数列都是等比数列．(2) 平行四边形不都是菱形．评注：一般地说，存在性命题的否定可以是全称命题，全称命题的否定可以是存在性命题．所以(1)题的否定是一个全称命题．“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题，故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为答案，而解答中仅是对结论作否定的，比较简洁，当然也行的．４．已知“p ：不等式022>--x x 的解集是{}12|-<>x x x 或”，那么“非p ”为 ． 解答：不等式022>--x x 的解集不是{}12|-<>x x x 或． 评注：命题p 是一个简单命题，而不是复合命题，故不能认为“非p ”为“不等式022>--x x 的解集是{}21|≤≤-x x ”．类似地：命题“方程012=-x 的解是1±=x ”也是一个（没有使用逻辑联结词的）简单命题．５．已知p ：0212>--x x ，则“非p ”对应的x 值的集合是 ． 解答：由于0212>--x x ⇔022>--x x ⇔21>-<x x 或，即p ：21>-<x x 或；所以“非p ”对应的x 值的集合是{}21|≤≤-x x ．评注：不能错误认为“非p ”为0212<--x x 而解得为{}21|<<-x x ． ６．设p ：062≥-+x x ，q ：02||12<-+x x ，则p 是q ⌝的 条件． 解答：由02||12<-+x x ⇔22<<-x 知q ⌝：22≥-≤x x 或． 062≥-+x x ⇔23≥-≤x x 或知p ：23≥-≤x x 或而23≥-≤x x 或⇒22≥-≤x x 或且反之不成立，所以p 是q ⌝的充分不必要条件．评注：出错之处是：认为q ⌝为02||12≥-+x x ，进而得到q ⌝：22>-<x x 或，从而导致错误答案为p 是q ⌝的既不充分也不必要条件．命题的否定形式与否命题的区别是什么?命题的否定就是将原来的命题的结论否定比如，原命题是：三角形有三个角，否定就是三角形没有三个角；而否命题是将假设和结论都否定，比如上例的否命题就是：不是三角形的没有三个角。

命题的否定和否命题的区别【否命题和命题的否定的含义】1.什么是命题的否定命题的否定就是对这个命题的真值进行取反。

命题的否定与原命题真假性相反。

设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定．“非p”记作“-p”。

2.否命题的概念否命题是数学中的一个概念。

一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。

命题是否成立，与它的否命题是否成立没有关系。

得到一个问题的否命题很容易，把条件，结论全部否定就可以了。

如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。

设“若p则q”为原命题，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题。

【命题的否定和否命题的区别】1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。

2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假。

而命题的否定是：a.在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可;b.如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定。

任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）。

否命题与命题的否定卢敏摘 要：否命题与命题的否定是两个比较容易混淆的概念，也是高中逻辑学的重要部分，本文将对否命题与命题的否定进行一下辨析。

关键词：否命题 命题的否定 辨析如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。

有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。

说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。

事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“”q p 则若那么这个命题的否命题是“”,而这个命题的否定是“”。

可见，q p 则非若非q p 则非若否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。

本文将通过以下几个方面对命题的否定与否命题进行分析。

一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，即若表示命题p p p p “若则”，则其否命题是“若非，则非”。

A B A B 2．“非”叫做命题的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，p p p 即如果命题是“若，则”，那么命题“非”是：若，则非。

由此可知命题p A B p A B 与的条件相同，结论相反；命题与的真假相反；。

p ⌝p p ⌝p ()p p ⌝⌝=定义原命题：若，则p q 命题的否定指对结论的否定若则，非p q 否命题指对命题的条件结论同时否定若非，则非p q二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题的否定为“非p ”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若则”既否定它p p ⌝p p q 的条件，又否它的结论。

2．“非”是否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命p 题“非”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。

“非”的含义有四条：p p U U C P ①“非”只否定的结论；p p ②与“非”的真假必须相反；p p ③“非”必须包含的所有对立面；p p ④“非”必须使用否定词语。

否命题与命题的否定一、识别否命题与命题的否定1．命题p 的否命题：既否定命题p 的条件又否定命题p 的结论，即若p 表示命题“若A 则B ”，则其否命题是“若非A ，则非B ”。

2．“非p ”叫做命题p 的否定，对命题p 怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即如果命题p 是“若A ，则B ”，那么命题“非p ”是：若A ，则非B 。

由此可知命题p ⌝与p 的条件相同，结论相反；命题p ⌝与p 的真假相反；()p p ⌝⌝=。

二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题p 的否定为“非p ”，记作p ⌝，一般只是否定命题p 的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。

2．“非”是否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非p ”，从集合的角度可以看作是p 在全集U 中的补集U C P 。

“非”的含义有四条：①“非p ”只否定p 的结论； ②p 与“非p ”的真假必须相反； ③“非p ”必须包含p 的所有对立面； ④“非p ”必须使用否定词语。

三、实例帮您理解否命题与命题的否定在学习本节时，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。

若p 是一个命题，则p ⌝是p 的否定，它是对整个命题进行否定。

命题“若p 则q ”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。

②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。

四、“或”、“且”连结的命题的否定形式 “p 或q ”的否定是“非p 且非q ”；“ p 且q ”的否定形式是“非p 或非q ”。

它类似于集合中的“()()()U U U C AB C A C B =、()()()U U U C A B C A C B =”，如“实数x 与y 均为零”的否定是“x 与y 中至少有一个不为零”，而不是“x 与y 都不为零”；“实数x 与y 中至少有一个为零”的否定是“x 与y 均为零”。

“命题的否定”与“否命题”“命题的否定（非p 或p ⌝）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.一、 命题“若A ，则B ”的否命题与命题的否定形式设命题 “若A ，则B ”为原命题，那么，“若非A ，则非B ”就叫做原命题的否命题，否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题p ，非p 叫做命题p 的否定（记作p ⌝），任何一个命题都有否定形式，命题“若A ，则B ”的否定形式为“若A ，则非B ”.显然，“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.例1.命题“若122->>b a b a ，则”的否命题为 .分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论. 解：由题意原命题的否命题为“若122-≤≤b a b a ，则”.评注：该命题的否定形式为“若122-≤>ba b a ，则”，只是否定原命题的结论. 例2.写出下列命题的否定形式及其否命题:(1)若3=x 且2=y ，则5=+y x ； (2)若0||||=+y x ，则x ，y 全为0. 解：(1) 命题的否定为：若3=x 且2=y ，则5≠+y x ；否命题为：若3≠x 或2≠y ，则5≠+y x ；(2) 命题的否定为：若0||||=+y x ，则x ，y 不全为0；否命题为：若0||||≠+y x ，则x ，y 不全为0.如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的命题，使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.这种“改写”的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样.例3.将下列命题改写成“若A ，则B ”的形式，并写出它们的否命题与否定形式:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)0>a 时，函数b ax y +=的值随x 值的增加而增加.解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；否定形式（p ⌝）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；(2)原命题可改写为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值也随着增加，否命题为：0>a 时，若x 不增加，则函数b ax y +=的值也不增加；否定形式（p ⌝）为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值不增加；原命题也可改写为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值也增加，否命题为：当x 增加时，若0≤a ，则函数b ax y +=的值不增加.否定形式（p ⌝）为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值不增加.评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.二、不能转化成“若，则”形式的命题的否定形式除了可以转化为“若A ，则B ”形式的命题外，其它不能转化成“若A ，则B ”形式的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：1.简单命题的否定不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可再分割的整体，其最简单的命题形式是p ：“A 是B ”，它的否定形式是“A 不是B ”或“并非A 是B ”，其中A 是一个特定对象.例4.写出下列命题的否定(即非p )：(1)2是方程042=-x 的根； (2) 四条边都相等的四边形不是正方形；(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程0232=+-x x 有两个相等的实根；(5)a ，b 都是1.解:(1) 命题的否定形式为：2不是方程042=-x 的根；(2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形；(3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；(4) 命题的否定形式为：方程0232=+-x x 没有两个相等的实根(5)命题的否定形式为：“a ，b 不都是1”或者“1≠a 或1≠b ”.评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．2.复合命题的否定由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“p 或q ”、 “p 且q ”、“非p ”形式的命题中，p ，q 都是命题，命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”；命题“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”；命题“非p ”的否定为“)(p ⌝⌝”就是命题p ，所以，命题“非p ”与命题“p ”互为否定形式.例5.写出下列命题的否定：(1)58≥； (2)5>a 且1>b ；(3)2是6的约数且是8的约数； (4)3是偶数或奇数.解：（1）命题的否定形式为：8不大于5且8不等于5即58<.(原命题属于“p 或q ”型)（2）命题的否定形式为：5≤a 且1≤b .（原命题属于“p 且q ”型）（3）命题的否定形式为：2不是6的约数或2不是8的约数. （原命题属于“p 且q ”型）（4）命题的否定形式为：3不是偶数且3不是奇数. (原命题属于“p 或q ”型)评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。