电磁场理论 武汉大学 柯亨玉chap4[1]

一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。

当小于0时，小于有汇集矢量线的源，称为负通量源。

当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。

1.8什么是散度定理?它的意义是什么？矢量分析中的一个重要定理：称为散度定理。

意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。

1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿的环流。

大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。

等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。

1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。

能用于闭合曲面.1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0,即F为无散场。

1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0即为无旋场1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？不对。

电力线可弯，但无旋。

1.14 无旋场与无散场的区别是什么？无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为某一个旋涡，即。

二章：2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。

实际上，边界条件(即边值)除了给定电位在边界上的值
以外，也可以是电位在边界上的方向导数。根据不同形式的
边界条件，边值问题通常分为三类:
第一类边值问题，也叫狄利克雷(Dirichlet)问题: 给定整
个边界上的位函数值； 即
S f (r)
第二类边值问题，也叫诺伊曼(Neumann)问题: 给定边界
上每一点位函数的法向导数
n
S g(r)
第三类边值问题，也叫罗宾斯(Robins)问题，属于混合
型问题: 给定边界上电位和电位法向导数的线性组合，即在
边界面S上，
F(r)
n
也可以是给定一部分边界上的电位值，同时给定另一部分边 界上的电位法向导数。
给定导体上的总电量也属于第二类边值问题。 在分析时变场时，除了要知道边界条件，还必须知道一 个过程的起始状态。如果定解时，不需要起始状态，仅仅用 到边界上的函数值或函数的偏导数，就叫做边值问题。也就 是我们前面谈到的静态场的拉普拉斯方程或者泊松方程的边 值问题。如果定解时，不需要边界条件，仅仅用到起始状态 物理量的分布，就叫做初值问题。初值问题也叫做柯西 (Cauchy)问题。
4.2.3 拉普拉斯方程解的叠加原理 拉普拉斯方程解的叠加原理是拉普拉斯方程的另一个重
要特性。叠加原理是由拉普拉斯方程的线性特性导致的必然
结论。假设1和2均是拉普拉斯方程的解，则由这两个解的 线性组合C11+C22也是拉普拉斯方程的解。依次类推，若 1、2、…、n都满足拉普拉斯方程，则这些解的线性组合
整个区域内=0，即1≡2。
关于第二、三类边值问题，唯一性定理的证明和第一类 边值问题类似。附带指出，对于第二类边值问题，所得的电 场是唯一的，电位可以相差一个常数。

3.1.4 电位的表达式
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点电荷： 设点电荷q在原点 参考点Q， 在原点， 点电荷 ： 设点电荷 在原点 ， 参考点 ， 场点 (电位考察 电位考察 点)P，选择路径P→M → Q(路径可以任意选择 进行积分，有 ，选择路径 路径可以任意选择)进行积分， 路径可以任意选择 进行积分 Q M Q q Q r ϕP = ∫ E dl + ∫ E dl = ∫M r 3 d r M P M 4πε 0 rQ 积分贡 rQ 1 q 1 1 献为零 = q ∫rP r 2 dr = 4πε 0 rP − rQ 4πε 0 rP P O q 选参考点位于无穷远处， 选参考点位于无穷远处，即令rQ = ∞，得 ϕ P = 4πε 0 rP q 由此得到点电荷电位的一般表达式 ϕ = 4πε 0 r q q 的点电荷， 对于位于r ′的点电荷，电位表达式为ϕ = = 4πε 0 r − r ′ 4πε 0 R
3.1.3 电位的微分方程
ρ ρ ⇒ ∇ 2ϕ = − ε ε
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在均匀、线性和各向同性的介质中， 在均匀、线性和各向同性的介质中，利用 E = −∇ϕ 有
∇ D=ρ⇒∇ E =
标量泊松方程 拉普拉斯方程
在无源空间中， 在无源空间中，ρ = 0 ⇒ ∇ 2ϕ = 0
电子科技大学 静电位的边界条件 是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点， 设 P1 和 P2 是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点 ， 其电位 当两点间距离⊿ 分别为ϕ1和ϕ2。当两点间距离⊿l→0时 时 P1 △l ϕ 1 − ϕ 2 = E ∆l → 0 ⇒ ϕ 1 = ϕ 2 P2
cos θ ∇ 2 ⇒ E = −∇ϕ = 4πε 0 r ql
1 3( p r ) r p − 3 = 4πε 5 r r 0

A t
称为洛仑兹条件。
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第四章 时变电磁场
三、达朗贝尔方程
B A A E t
A A J 2 t t
2
D H J t
个相互关联的方程变为两个独立方程：矢量位仅与电流密度有 关，已知电流分布，即可求出矢量位；标量位仅与电荷密度有 关，已知电荷分布，即可求出标量位。求出矢量位及标量位以 后，即可求出电场与磁场。
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第四章 时变电磁场
这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求 解过程显然得到了简化。因为原来电磁场方程为两个结构复杂 的矢量方程，在三维空间中需要求解六个坐标分量
在任意闭曲面 S所包围的体积 V 上，对上式两端积分，并应用 散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式：
d 1 1 S ( E H ) dS dt V ( 2 E D 2 H B) dV V E J dV
通过曲面S 进入体积V 的电磁功率 单位时间内体 积V 中所增加 的电磁能量 单位时间内电场对体积V中的 电流所作的功（在导电媒质中， 即为体积V内总的损耗功率）
空间区域V中的电磁能量：
1 1 W w dV ( E D H B)dV V V 2 2
☆ 当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改
变，从而引起电磁能量流动。
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第四章 时变电磁场
为了描述电磁能量的流动状况，引入了电磁能流密度矢量， 其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能 量流动方向相垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡 印廷矢量，用 表示。 S 电磁能量同其他能量一样也要服从能量守恒原理。而根据 麦克斯韦方程组推导出来的坡印廷定理定量地描述了电磁场能 量守恒关系。 下面将讨论表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理以及描 述电磁能量流动的坡印廷矢量的表达式。