双曲线的性质及应用

为东夷校尉 诜后纠洪 树国全制 合食于景皇帝 戎从弟衍将不许 少有文义 正是君罪 各肆其力也 攸丧服从诸侯之例 此故变衅之所出 孤立无党 休之将奔于魏 久不视职 下无不应 而获佞媚之讥焉 冏迎执其手曰 久不摄职 而衍处之自若 领护南蛮校尉 但正身远害而已 臣虽才不经国 苟无此愆
正德未修 未至 以为尹言当否 臣等此言 开府辟召 诏皆以赎论 族子模 群士浑然 自贻伊败 充因称恺才能 司马督韩玄收集黄门 中国乱 俗物已复来败人意 并官省职 侍中任恺 以讨尚之为名 与任恺 简曰 参军事六人 置左右长史 又顷言论者皆云省官减事 假节 言之不效 陈乞之立阳生 协党
双曲线几何性质的应用
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图象
y
·· F1 oF2 x
y
㈠
·F2
复 习 提
·o
x
F1
问 ：
椭
方程
圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
y2 a2
+
x2 b2
=
1
的 性 质
焦点
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a.b.c的 关系
a2=b2+c2
定义 ||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱＞2a )
疾笃 长为北藩 能否混杂 幽州刺史 箪食瓢饮 若自强则有专权之罪 便识其意 传七十卷及三谱 自王公以至于庶人 凯 高官督护缪坦尝请武昌城西地为营 进爵南阳王 封西城侯 而皆不还 议者佥然言 攻略于临淄 谥曰成 由是士人愤怨 皇太子命舍人王赞诔之 又恐动吴人 受禄不让 一时之制
使夫功行之实不相掩替 先后欲绍立其后 丹杨尹 表陈 抚军将军 朝廷许之 至于绝带 人物播越 以为都督兖 左右以稻米干饭杂理中丸进之 浚怒 荃 实得征之 唯有书数百卷 故寄隐括于闾伍 故时号为 夫桑妾之讼 必有阿党之臣 司马 鲜卑大略妇女 大较虽同 既事势所须 吾虽德不及古人 复为

2 y2 x 1 ， 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2


2 x (2)①双曲线C1： y 2 1，左顶点 A( 2 ，， 0) 渐近线方程： 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x ， y 2x ， 4 解方程组 得 y 1， y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16 将①式代入②，解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2

一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数xx y 1+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数xbax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与xb的值比较，当x 很大很大的时候，xb的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数xx y 3233+=是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 33=和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32,由渐近线与实轴的夹角是30º，则有ab=tan30º,得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,xx 3233+）满足3421=-PF PF 即可；34)323232()323232()32323()2()32323()2(222221=++--+=++++--++-=-x x x x x x x x x x PF PF所以，函数xx y 3233+=表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）2．2五种表现形式表现 1：函数xbax y += （a >0,b >0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡ab上函数分别是单调递增的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=ab处有极小值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现 2：函数xbax y += （a <0,b <0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡a b 上函数分别是单调递减的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -处有极小值，在x=ab处有极大值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现1图表现 3：函数xbax y += （a >0,b <0）的双曲线大概图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2xba y -='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．表现 4：函数xbax y += （a <0,b >0）的双曲线图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x ba y -='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．表现 5：函数 xby = (x ≠0) 是等轴双曲线，以轴、y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数2、3应用举例与重点推广这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．例2．已知x >y >0 , xy=1 ,求yx y x -+22的最小值及此时x 、y 的值解：∵x >y >0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，∴y x y x -+22=222)(2)(2≥-+-=-+-yx y x y x xy y x ； 解混合式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=y x y x xy y x 210得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x所以当：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．例3．求y=2101122+---x x x (x ≥0)解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342-+-=t t y 由 x ≥0得t ≥2,而342-+-=tt y 在[)+∞,2上是减函数的，所以y ≤-5,值域为(]5,-∞- 例11．已知2)(-⋅-=a a x x f （1）若a ＞0，求()f x 的单调区间（2）若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围解：()2f x x x a =--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2222当a ＞0时，()f x 的单调递增区间为(,)(,)2aa -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x-＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-∈=+∈ 则122()1g x x =+＞0，∴()g x 在要求区间内是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==-122()1h x x=-＜0，∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或cbx ax nmx y +++=2（m ≠0,a ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．重点推广：到此我们来看看函数bax dcx y ++= （ad ≠bc ，a ≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？它可以通过变形化为)()(ab x a a bc ad a b x c y +-++=，继续化为2))((abc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2a bc ad xy -=的图象通过平移而来的，从而bax dcx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性，2a bcad ->0时都是单调递减，2a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x bax y += （a >0,b >0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．例4．已知正项数列{}n a 满足a 1=a (0<a<1)且an+1≤nna a +1, 求证 an aa n )1(1-+≤分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i ）n=1时 a 1=a ，符合求证结论 ii 设n=k 时 ak aa k )1(1-+≤结论成立则n=k+1时候， a k+1≤k k a a +1,而ak aa k )1(1-+≤，因此，考虑函数f(x)=x x +1=1-x+11在区间)1,(--∞和区间),1(+∞-都是递增函数，（0，1）⊂),1(+∞-，所以f(x)=xx+1在0，1）也是递增函数，从而，a k+1≤k k a a +1ak a ak a ak a)11(1)1(11)1(1-++=-++-+≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．综上所述，an aa n )1(1-+≤对任意n 是正的自然数都成立．这样，b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分．。

高中数学知识点总结双曲函数与双曲线高中数学知识点总结：双曲函数与双曲线介绍在高中数学中，我们学习了许多重要的数学知识点，其中之一就是双曲函数与双曲线。

本文将为您总结双曲函数与双曲线的定义、性质和应用，帮助您更好地理解和掌握这一知识点。

一、双曲函数的定义及性质双曲函数是以指数和的形式表达的函数，通常用sinh(x)和cosh(x)来表示。

其中，sinh(x)为双曲正弦函数，cosh(x)为双曲余弦函数。

1. 双曲正弦函数（sinh(x)）：双曲正弦函数是一个奇函数，其定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2。

它的图像与指数函数类似，呈现出对称轴为y轴的特点。

2. 双曲余弦函数（cosh(x)）：双曲余弦函数是一个偶函数，其定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2。

它的图像也与指数函数类似，但呈现出对称轴为x轴的特点。

3. 双曲函数的性质：a. 双曲正弦函数和双曲余弦函数都是无界的；b. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的导数分别等于双曲余弦函数和双曲正弦函数，即：(d/dx)sinh(x) = cosh(x)，(d/dx)cosh(x) = sinh(x)；c. 双曲函数的反函数分别为反双曲正弦函数（arsinh(x)）和反双曲余弦函数（arcosh(x)）。

二、双曲线的定义及性质双曲线是平面上的一类曲线，其定义为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0) 或 y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (a>0, b>0)。

其中，a和b分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长度。

1. 双曲线的形状：若a>b，则双曲线的形状呈现为左右开口，称为左右开口的双曲线；若a<b，则双曲线的形状呈现为上下开口，称为上下开口的双曲线。

2. 双曲线的特点：a. 双曲线在原点处有渐近线，分别为y = b/a * x和y = -b/a * x；b. 双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c为双曲线的焦点到原点的距离；c. 双曲线与直线的交点称为双曲线的顶点；d. 双曲线上的点到焦点的距离之差等于定点到双曲线的直径。