双曲线的几何性质(一)

双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。

1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
；。

双曲线的简单几何性质 （一）高二数学 方蕾教学目标：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.2．用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题.2．通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心. 教学重点：双曲线的简单几何性质 教学难点：渐近线的求法及理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、三角板 内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质. 它是教学大纲中要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，这里主要是对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质解决相关数学问题.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别.教学流程： (一)复习引入1. 双曲线的定义及其标准方程平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。

即a MF MF 221=-（0<2a <21F F ）焦点在x 轴上时：()0,012222>>=-b a b y a x 焦点在y 轴上时：()0,012222>>=-b a b x a y(注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)c b a ,,的关系：222b a c +=0>>a c ,c 最大，b a ,可以a =2.椭圆的简单几何性质以()012222>>=+b a bya x为例⑴范围： b y b a x a ≤≤-≤≤- ,⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心⑶顶点坐标：()()()(),b ,B ,-b , B a,,A a,A 00002121-长轴：线段21A A 长为2a ，a 短轴：线段21B B 长为2b ，b ⑷离心率：()1,0 ,∈=e ac e探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？ （二）新课讲解利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax1．范围由标准方程12222=-b y a x 可得112222≥+=b y a x ，即22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值，这说明双曲线在不等式a x -≤与a x ≥所表示的区域内；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=和之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 2．顶点在双曲线方程12222=-b y a x 中，令讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点),0,(1a A()0,2a A -，且x 轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -为其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交做双曲线12222=-by ax 的实轴，它点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫的长是2a .在方程12222=-by a x 中令0=x 得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点。

课时作业16 双曲线的简单几何性质（1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1。

若直线x＝a与双曲线错误!－y2＝1有两个交点,则a的值可以是( )A。

4 B.2C。

1 D.－2答案A解析∵双曲线错误!－y2＝1中，x≥2或x≤－2,∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．2．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2错误!B.2C.错误!D。

1答案A解析不妨取焦点（4,0)和渐近线y＝3x，则所求距离d＝错误!＝2错误!。

故选A.3．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解把方程化为标准形式为错误!－错误!＝1，由此可知,实半轴长a＝1,虚半轴长b＝2。

顶点坐标是（－1,0),（1，0）．c＝错误!＝错误!＝错误!,∴焦点坐标是（－5，0)，（错误!,0)．离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为错误!±错误!＝0，即y＝±2x。

知识点二求双曲线的离心率4。

下列方程表示的曲线中离心率为错误!的是（）A.错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝1答案B解析∵e＝ca，c2＝a2＋b2，∴e2＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝错误!2＝错误!。

故错误!＝错误!，观察各曲线方程得B项系数符合,应选B。

5．已知F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解设F1（c,0），将x＝c代入双曲线的方程得错误!－错误!＝1，∴y ＝±错误!。

由｜PF2|＝｜QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝｜F1F2|，∴b2a＝2c.∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0.∴错误!2－2·错误!－1＝0.即e2－2e－1＝0。

2.3.3双曲线的几何性质(一)一、教学目标知识与技能：了解双曲线的性质，能运用双曲线的标准方程讨论他的几何性质。

过程与方法：进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比，提高类比分析的能力。

理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用。

情感态度价值观：提高分析问题解决问题的能力，培养学生形结合思想、方程思想及等价转化思想。

二、学习重难点重点：双曲线的几何性质难点：双曲线的离心率，渐近线的问题三、学法指导：教师平等地参与学生的自主探究活动，引导学生全员参与，全过程参与。

通过启发、调整、激励来体现自己的主导作用，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。

四、知识链接【A 】练习：在一个坐标系中，画出下列双曲线的图形1、（1）1242522=-y x （2）1202522=-y x2、（1）1252422=-y x （2）1252022=-y x （3）1162522=-y x （4）192522=-y x （3）1251622=-y x （4）125922=-y x问题2、离心率可以刻画椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么？【A 】例1、求双曲线14416922=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

【A 】练习：1、求下列双曲线的实轴长和虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。

（1）32822=-y x （2）81922=-y xOy xO y x【B 】2、求适合下列条件的双曲线的标准方程。

（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，45=e （2）焦点在y 轴上，焦距是16，34=e六、达标训练【A 】1、求下列双曲线的实轴长和虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。

（1）422-=-y x （2）1254922-=-y x（3）14491622=-y x （4）14491622-=-y x【B 】2、求适合下列条件的双曲线的标准方程。

§2.2.2双曲线的简单几何性质学习目标（1）理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念； （2）掌握双曲线的标准方程。

学习重点：双曲线的几何性质 学习难点：双曲线的渐近 学习过程：一、 课前预习1、双曲线k y x 222=-的焦距是6，求k 。

二、探究互动双曲线的简单几何性质：①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得： ．这说明双曲线在不等式 所表示的区域；②对称性：双曲线是以 轴和 轴为对称轴， 为称中心；③顶点：双曲线有 个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做 ，焦点不在的对称轴叫做 。

④渐近线：直线 叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；图形 标准方程 范围 顶点 轴长 实轴长 虚轴长焦点焦距 |对称性 对称轴 对称中心 离心率 e= 渐近线一、 典型例题例 1：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．练习1：求双曲线），（0n 0m m n m y nx 22=-的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．练习2：求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）虚轴长为12，离心率为54（2）求与双曲线2y 2x 22=-有公共渐近线，且过点M(2,-2)的双曲线方程.例2：如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．三．巩固提升1.双曲线与椭圆164y 16x 22=+有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x ，则双曲线方程为 （A ）96y x 22=- （B ）160x y 22=- （C ）80y x 22=- （D ）24x y 22=- 2.双曲线的渐近线为x 43y ±=，则双曲线的离心率是（ ）（A ）54 （B ）2 （C ）54或35（D ）25或3153.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为（A ）112y -4x 22=（B ）14y -12x 22=（C ）16y -10x 22=（D ）110y -6x 22= 4.若双曲线1m y -4x 22=的渐近线方程为x 23y ±=，则双曲线的焦点是 5.已知双曲线13x -ay 222=的离心率为2，求双曲线的渐近线方程。