(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结,推荐文档

高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线，它与一个对称轴相交于两个单独的点，被称为焦点。

双曲线的定义可表示为：离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。

1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a表示实轴半轴的长度，b表示虚轴半轴的长度。

2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点，而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。

3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，中心对称于原点。

二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为：e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离，a表示实轴半轴的长度。

离心率决定了双曲线的形状。

2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。

渐近线的方程为： y = ±(b/a)x。

其中b表示虚轴半轴的长度。

3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点，但有两条对称的虚轴。

通常，我们会称双曲线中心处的点为顶点。

直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。

三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像（插入关于双曲线的示意图，可手绘或导入图片）2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。

例如，改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例，而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。

3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。

通过适当调整方程中的x和y的系数，可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。

四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得：e² = 1 + (f/a)²。

2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算：2a(e² - 1)。

3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出，公式为：S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。

双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。

2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。

3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。

二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。

双曲线的基本知识点总结双曲线是数学中非常重要和广泛应用的图形之一，在几何学、物理学、工程学等领域都有大量的应用。

本文将总结双曲线的基本知识点，帮助读者对于这一概念有更加全面和深入的了解。

1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线，其特点是离散点到两个固定焦点的距离之差等于常数。

这个常数被称为双曲线的离心率，通常用e表示。

双曲线有两个分支，分别向外或向内延伸，不相交。

它的离心率e大于1。

2. 双曲线的方程双曲线的常见方程形式有两种：标准方程和参数方程。

标准方程的形式为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

参数方程的形式为x = asecθ和y =btanθ，其中θ是参数。

3. 双曲线的焦点和准线双曲线有两个焦点和两条准线。

焦点是曲线上离散点到两个焦点距离之差等于离心率的定点。

准线是曲线上的直线，将双曲线分成两个分支。

焦点和准线都与双曲线的形状和方程密切相关。

4. 双曲线的性质双曲线具有多个重要的性质。

首先，双曲线是关于x轴和y轴对称的，即对于曲线上的点(x, y)，同时也存在点(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)。

其次，双曲线的切线斜率可以通过求导来计算，它在每个点处的值都与该点的切线相切。

还有，双曲线上的点到两个焦点的距离之和等于常数。

5. 双曲线在实际应用中的意义双曲线在物理学、天文学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。

在物理学中，双曲线主要用于描述成对运动的力和动量。

在天文学中，双曲线则可以用于描述星球和彗星的运动轨迹。

在工程学和经济学中，双曲线则可以用于研究和建模复杂的系统。

以上是对于双曲线的基本知识点的总结。

双曲线作为数学中的重要概念，其应用范围广泛且多样化。

对于对数学、物理等科学领域感兴趣的读者来说，掌握双曲线的基本知识将会对他们的学习和研究带来很大的帮助。

希望读者通过本文的总结，对于双曲线有更加全面和深入的了解，并能够将其应用到实际问题中。

双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

无限接近，但不可以相交。

例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。

练习。

焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。

求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。

3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。

高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。

具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。

在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。

二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。

对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。

2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。

3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。

双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。

4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。

5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。

6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。

三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。

在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。

四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。

双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。

双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。

五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。

双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中ce a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b-=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若b a +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值； （2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x 轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

双曲线的基本知识点总结1、双曲线的几何要点：⑴二次函数与一元二次方程相比，双曲线是特殊的函数。

⑵如图1， a点为双曲线与x轴交点（ A点），与y轴交点（ C点）⑶如图2，点D与双曲线的交点为（ D点）⑷如图3，两点O与双曲线有两个交点，分别在双曲线上方和下方。

2、双曲线的图象与性质：双曲线的图象是由实轴与两个互相垂直的轴围成的闭合图形。

轴上的每一点到双曲线上任意一点的距离都相等；双曲线与y轴交于（ 0， b）和（ 0， c）两点。

这样，在双曲线上就可以取到一系列使的中点M， N（ M， N分别为两点的坐标）。

3、二次函数与双曲线的关系：若y=ax+by+c（ a， b， c均为实数），a=0或x=-c，则y=-bx+by+c，其中b， c， d均为常数，为二次函数。

4、双曲线的标准方程：设： x， y为双曲线上的两点，且a(x)>0，b(y)>0，则x^2+y^2=C，即（ a+bx+c)/(2a+b+c)=0（ a、 b、 c取遍），解得a(x)=0， b(y)=-c， c=-2。

根据以上条件，可以得出x，y的坐标为： a=0、 x=-c，当x， y在同一直线上时，此时的标准方程为： y=ax+b， a=0.5、双曲线的判定：⑴有一个公共点时，只要y>-c，即可得到双曲线的一个顶点坐标。

⑵有两个公共点时，由双曲线的图象判断它们的公共点的位置。

⑶无公共点时，设已知条件确定双曲线的图象。

6、二次函数在双曲线上的应用：当x、 y 为某一给定值时， y随x变化而变化的规律，叫做双曲线的“渐近线”。

当x→0时，二次函数y随x变化的规律叫做双曲线的“轴对称图形”，它经过点（ B， B），且（ B， B）=-2。

在研究渐近线时，必须首先画出二次函数y=kx+b（ b=0）的图象，根据它的对称性，求出渐近线，再由双曲线的轴对称图形进行分析研究。

7、二次函数y=kx+b的图象与性质：（ 1） y=kx+b的图象：由于b=0，所以y=kx+b 的图象经过实轴上的两点A(0)， B(-2)（点A， B不在双曲线上），并且这个图象的双曲线部分对称于y轴。

双曲线知识点与性质大全.doc
一、双曲线的概念
双曲线是极小曲线的一类，它以满足一定条件的双次曲线为基础，用一定规律变形而成，它以椭圆为最基本形态，椭圆是四面体投影到一个平面上，双曲线就是椭圆变形而成的，它们具有相似的几何形状和性质，并且具有唯一性和范畴性等特点。

二、双曲线的几何性质
1、弦长：双曲线是一类极小曲线，其弦长是一定的，它等于两个极点之间的距离。

2、曲率：双曲线的曲率也比较大，更接近圆形，且曲率只和双曲线的极坐标有关，
而与直角坐标无关。

3、夹角：双曲线的夹角都是钝角，这表明它们轨迹在某些位置会被突然压缩，也就
是会"折断"，但此时仍然是连续的，所以一般人略感突出的是双曲线夹角的性质。

三、双曲线的方向性质
1、对称中心：双曲线的对称中心位于其长轴上的中点处，同时它也是该双曲线的焦点。

2、对称轴：双曲线的对称轴取决于其焦距，它的长轴和短轴都对应着双曲线的对称轴，它们分别是双曲线的一对对称轴。

3、一对焦离：双曲线都具有一对焦离，它们分别位于双曲线的对称轴上，可以从双
曲线的几何图形中来分辨出它们，它们在双曲线的长轴上顺序排列。

四、双曲线变形性质
1、拼合性：双曲线可以通过移动、旋转等变形来拼合成更复杂的几何图形，这种拼
合性在几何图形分析时会给人以多种想象，常用于多边形拼合等场合。

2、相互合并：双曲线可以相互合并，即把一条双曲线的另一个焦点作为另一条双曲
线的一个焦点，以达到合并效果。

3、压缩：双曲线可以通过改变其焦距来达到压缩的效果，使双曲线的形状发生变化，也可以改变双曲线的长轴和短轴来实现压缩。

双曲线的知识点总结双曲线作为数学中的一种重要曲线，具有独特的特点和性质。

在解决各种实际问题中，双曲线有着广泛的应用，如电磁场的分布、天体运动和经济学中的供求关系等。

本文将就双曲线的定义、公式、性质和应用等方面进行探讨，帮助读者更全面地了解双曲线。

一、双曲线的定义和基本公式双曲线通常由两个分离的曲线枝组成，其特点是离心率大于1。

在直角坐标系中，双曲线可表达为以下形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 （当双曲线方程为横轴的方程时）或(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = -1 （当双曲线方程为纵轴的方程时）其中，a和b分别是双曲线的半轴长度。

双曲线的中心为原点O(0,0)。

二、双曲线的性质和特点1. 焦点和离心率：双曲线的焦点是与两条曲线枝的交点，用F1和F2表示。

焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数2a。

双曲线的离心率表示焦点到曲线枝的距离与焦点与中心的距离之比。

双曲线的离心率大于1，可以通过焦点和离心率的关系来判断双曲线。

2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们分别与曲线枝趋于无穷远。

这两条渐近线的斜率分别为±b/a，即y=(b/a)x和y=-(b/a)x。

在这两条渐近线的范围内，双曲线的形状与直线逐渐靠近。

3. 对称轴：双曲线的对称轴是连接两条曲线枝的直线，过中心且垂直于渐近线。

对称轴的方程可以由双曲线的方程中x和y的系数的交换得到；若双曲线方程为横轴类型，则对称轴方程为y=0；若双曲线方程为纵轴类型，则对称轴方程为x=0。

三、双曲线的应用1. 电磁场分布在电场和磁场的研究中，双曲线常被用来描述特定范围内的电荷分布或者磁场强度。

利用双曲线的性质，可以确定特定区域内的电场强度或磁场强度的分布规律，为电磁场的研究提供重要的工具和理论支持。

2. 天体运动在天文学中，双曲线在描述天体运动时也有着广泛的应用。

例如，彗星的轨迹往往是双曲线状的，通过对双曲线性质的研究，可以了解到彗星的运动轨迹、速度和轨道参数等信息。

四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。

定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。

● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。

x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

（完整版）双曲线简单⼏何性质知识点总结,推荐⽂档北安⼀中⾼⼆数学导学案主备⼈：陈叔彤审阅⼈：⾼⼆数学组备课⽇期：2012-10-17课题：§双曲线简单⼏何性质知识点总结课时：课时班级：姓名：【学习⽬标】知识与技能：1．使学⽣掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离⼼率等⼏何性质2．掌握双曲线的另⼀种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念过程与⽅法：进⼀步对学⽣进⾏运动变化和对⽴统⼀的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。

【学习重点】双曲线的⼏何性质及其应⽤。

【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。

【学法指导】 1.课前依据参考资料，⾃主完成，有疑问的地⽅做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展⽰学习成果.【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】1．范围：由标准⽅程，从横的⽅向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图12222=-by a x 象，从纵的⽅向来看，随着x 的增⼤，y 的绝对值也⽆限增⼤。

X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性：对称轴________ 对称中⼼________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长21B B 双曲线只有两个顶点，⽽椭圆则有四个顶点，这是两者的⼜⼀差异4．离⼼率：双曲线的焦距与实轴长的⽐，叫做双曲线的离⼼率 aca c e ==22范围：___________________双曲线形状与e 的关系：，e 越⼤，即渐1122222-=-=-==e ac a a c a bk 近线的斜率的绝对值就⼤，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离⼼率越⼤，它的开⼝就越阔建议收藏下载本⽂，以便随时学习！我去⼈也就有⼈！为UR扼腕⼊站内信不存在向你偶同意5．双曲线的第⼆定义：到定点F 的距离与到定直线的距离之⽐为常数的点的轨迹是l )0(>>=a c ace 双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离⼼率．准线⽅程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，12222=-b y a x )0,(1c F -c a x l 21:-=相对于右焦点对应着右准线；)0,(2c F ca x l 22:=对于来说，相对于上焦点对应着上准线；12222=-b x a y ),0(1c F -c a y l 21:-=相对于下焦点对应着下准线),0(2c F ca y l 22:=6．渐近线过双曲线的两顶点，作Y 轴的平⾏线，经过作X12222=-by a x 21,A A a x ±=21,B B 轴的平⾏线，四条直线围成⼀个矩形矩形的两条对⾓线所在直线⽅程b y ±=是____________或（），这两条直线就是双曲线的渐近线 0=±bya x 双曲线⽆限接近渐近线，但永不相交。

高二数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的曲线类型之一，它具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍高二数学中关于双曲线的知识点。

一、定义与基本概念1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一个动点与两个给定点（称为焦点）之间的距离差的绝对值等于一个定值（称为离心率）的轨迹。

2. 双曲线的几何特征：双曲线是非闭合曲线，两支曲线相似但不相交。

3. 双曲线的标准方程：一般形式为x²/a² - y²/b² = 1或y²/a² - x²/b²= 1。

4. 双曲线的焦点与离心率关系：离心率e的值决定了焦点与曲线形状的关系，e大于1时，焦点位于x轴；e小于1时，焦点位于y轴。

二、双曲线的性质1. 集中性质：双曲线的焦点位于x轴或y轴上，并且距离原点越远，离心率越大。

2. 对称性质：双曲线关于x轴、y轴和原点分别对称。

3. 渐进线性质：双曲线的渐进线是x轴和y轴，即曲线无限延伸但不与x轴和y轴相交。

4. 双曲线的渐成线性质：双曲线的渐成线是曲线两支的连接线段。

三、曲线的参数方程1. 参数方程的定义：对于双曲线，可以使用参数方程来描述曲线上的点的位置。

常用的参数方程有x = asec⁡t，y = btan⁡t和x = acos⁡t，y = bsin⁡t。

2. 参数方程的图像特征：通过改变参数t的取值范围，可以观察到双曲线在平面上的不同部分以及曲线的形状。

四、双曲线的应用1. 物理中的应用：双曲线常用于描述天体运行轨迹、电磁波等物理现象。

2. 经济学中的应用：双曲线可以用于描述供需曲线、价格水平等经济学概念。

3. 工程中的应用：双曲线可用于工程设计和建模，如道路、桥梁等工程结构的设计。

总结：双曲线是高二数学中重要的曲线类型，它具有许多独特的性质和应用。

了解双曲线的定义、基本概念、性质以及参数方程的描述方法，可以帮助我们更好地理解和应用这一曲线类型。

双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。

这两个固定点称为双曲线的焦点。

2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。

- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。

3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。

- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。

- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。

- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。

- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。

- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。

渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。

4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。

- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。

- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。

5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。

- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。

- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。

6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。

例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。

7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。

数学双曲线知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。

这两个固定点称为双曲线的焦点。

双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\(a\) 是实轴的一半长度，\(b\) 是虚轴的一半长度。

2. 焦点和焦距双曲线的两个焦点位于实轴上，其坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中\(c\) 是焦距，满足 \(c^2 = a^2 + b^2\)。

3. 实轴和虚轴双曲线有两个主轴：实轴和虚轴。

实轴是连接两个焦点的直线，虚轴垂直于实轴并通过双曲线的中心。

4. 离心率双曲线的离心率 \(e\) 是一个大于1的数，定义为焦距与实轴半长度的比值，即 \(e = c/a\)。

5. 渐近线双曲线有两条渐近线，它们的方程为 \(y = \pm (b/a)x\)。

渐近线是双曲线的对称轴，双曲线永远不会与渐近线相交。

6. 等轴双曲线当 \(a = b\) 时，双曲线变成等轴双曲线，其方程简化为 \(x^2 - y^2 = a^2\)。

7. 双曲线的性质- 双曲线是对称的，关于实轴和虚轴对称。

- 双曲线是开放的，没有封闭的边界。

- 双曲线的两个分支是镜像对称的。

8. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学中的电磁波传播。

- 工程学中的曲线设计。

- 天文学中描述行星轨道。

9. 双曲线的绘制可以通过以下步骤绘制双曲线：- 确定焦点位置。

- 画出实轴和虚轴。

- 确定渐近线的方程。

- 在满足标准方程的点上绘制双曲线的分支。

10. 双曲线的方程变形双曲线的方程可以变形为其他形式，例如：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = k\]其中 \(k\) 是任意实数，表示双曲线的开口大小和方向。

11. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以表示为：\[x = a \sec(t)\]\[y = b \tan(t)\]其中 \(t\) 是参数。