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双曲线几何性质的应用-课件

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3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)

3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)




令Δy= x


= (x- 2 −

2
)
∵x≥a>0
∴ 2 − <x
−

N(x,y’)
y
Q
b
M(x,y)
B2
A1
A2
o
(x≥a)
a
x
B1
b
y x
a
b
y x
a
∴Δy>0 即在第一象限，对于任意一个x,


x> 2 −




• 即 直线y= x与曲线y= 2 − 在第一象限不相交




，并且直线y= x始终在曲线y= 2 − 上方。



2
2
根据双曲线的对称性，直线y= x与双曲线 2 - 2 =1不



相交，两者对于同一个横坐标对应的纵坐标的绝对值
始终是前者的比后者的大。

2
2
• 同理，直线y=- x与双曲线 2 - 2 =1也有相同的结

论




∵b= 2 − 2

∴ = (2 − 1)

e越趋近于1，b越小，两渐近线开口越小，双曲线
开口也越小；e越大，b越大，两渐近线开口越大，
双曲线开口也越大。
例3.求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.． 2 2

分析 把已知方程化成标准方程为 : - ＝1
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
•
2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2

2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2


②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
双曲线的简单几何性质 第1课时(上课课件)

双曲线的简单几何性质 第1课时(上课课件)

4
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)， 将点 M(2，－2)的坐标代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方 程为y22－x42＝1.
人A数学选择性必修第一册
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2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
人A数学选择性必修第一册
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3．2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质(1)
人A数学选择性必修第一册
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
人A数学选择性必修第一册
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___．
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
人A数学选择性必修第一册
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
到直线 l 的距离 d1＝ baa2－＋1b2，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝ baa2＋＋1b2，
s＝d1＋d2＝ a22a＋b b2＝2acb，由 s≥45c，得2acb≥45c，
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文

双曲线-完整版PPT课件可编辑全文


∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)

3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)

2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9

y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)

3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)

当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
双曲线的简单性质课件ppt课件

双曲线的简单性质课件ppt课件


04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的性质课件(PPT 15页)

双曲线的性质课件(PPT 15页)


y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
双曲线几何性质的应用 课件

双曲线几何性质的应用 课件

(2)由韦达定理及向量坐标关系，可得到关于a的方 程，解出a即可．
[解] (1)将 y＝－x＋1 代入双曲线xa22－y2＝1 中得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴14－ a4＋a2≠ 8a20，1－a2>0. 解得 0<a< 2且 a≠1，
又双曲线的离心率 e＝
1＋a2＝ a
a12＋1，
类型三 直线与双曲线的综合问题 [例 3] 设双曲线 C：xa22－y2＝1(a>0)与直线 l： x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B， 求 a 的值．
[分析] (1)利用Δ>0可得a的范围，再写出离心率 关于a的表达式，可求出离心率的范围；
应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲 线的渐近线平行．同时在解答时还要对直线 l 的斜率 是否存在进行讨论．
[解] 可分两种情况： (1)直线 l 斜率不存在时，l：x＝1 与双曲线相切，符合 题意； (2)直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k(x－1)＋1，代入 双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当 4－k2＝0 时，k＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与 双曲线只有一个公共点； 当 4－k2≠0，令 Δ＝0，得 k＝52. 综上，k＝52或 k＝±2 或 k 不存在．
∴e>
6且 2
e≠
2.
(2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(0,1)． ∵P→A＝152P→B，∴(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)． 由此得 x1＝152x2，由于 x1、x2 都是方程①的 根，且 1－a2≠0.
《二讲双曲线》课件

《二讲双曲线》课件


添加 标题
双曲线的图像：双曲线有两个分支，在平 面坐标系中呈现出“马蹄形”的形状。
添加 标题
参数方程与图像的关系：通过参数方程可 以绘制出双曲线的图像，而通过图像也可 以读取出双曲线的参数方程。
添加 标题
参数方程的应用：双曲线的参数方程在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，例如在研究天体 运动、电磁波传播等问题时常常会用到双曲线的 参数方程。
预习内容建议：回 顾双曲线的定义、 性质和图像
所需准备材料：笔 记本、笔、教材等
预习时间安排：建 议提前一周开始预 习
感谢观看
汇报人：PPT
图像特征：与双曲 线渐行渐远
双曲线的离心率
离心率的定义：离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与焦点的距离与双曲线实 轴长度的比值。
离心率的取值范围：离心率的取值范围是大于1，表示双曲线与焦点的距离大于双曲线实轴长度。
离心率与双曲线形状的关系：离心率越大，双曲线的开口越宽，形状越扁平；离心率越小，双 曲线的开口越窄，形状越接近于椭圆。
双曲线的性质
双曲线是平面上的两条曲线，它们在两个不同的方向上弯曲。 双曲线的两个焦点位于其对称轴上，并且离原点的距离相等。 双曲线的渐近线是与双曲线无限接近的直线，它们与双曲线在同一直线上。 双曲线的离心率大于1，这是双曲线与椭圆和圆的区别之一。
双曲线的几何性质
双曲线的对称性
定义：双曲线关 于原点对称
双曲线的渐近线：双曲线与坐标轴的交点为渐近线，其斜率为b/a。
双曲线的离心率：离心率e是描述双曲线离散程度的参数，其值为c/a， 其中c为焦点到原点的距离。
双曲线的焦点位置：对于中心在原点的双曲线，其焦点位置为x轴正负 方向上，距离原点为c的点。
双曲线的性质PPT课件

双曲线的性质PPT课件

⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2) 16 4
2021/4/18
第12页/共22页
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
2021/4/18
第18页/共22页
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 6 2 第17页/共22页
小结
椭圆
双曲线
方程 a b c关系
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
16 k 0且4 k 0
2021/4/18
∴ (3 2)2
16 k
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表示双曲线，则实数m的取
值范围 是__-_1_<_m_<_1_,_或__m__>_2
例3、已知双曲线的焦点在 y轴上，并且双曲线上两点 P1、P2的坐标分别为（3，-4√2）、（9/4，5），求双 曲线的标准方程 。
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标
准方程为
y2 a2
x2 b2
1(a0,b0)
表示焦点在
变形练习 1、若方程表示双曲线，求m的范围。
2、若表示焦点在x轴的椭圆时，求m的范围。
巩固练习一： 1、双曲线 2kx2-ky2=1的一个焦点是F（0，4），则 K为（ A ） （A）-3/32 （B）3/32 （C）-3/16 （D）3/16
2、方程 x2 y2 1 所表示 的曲线是双曲线，则
①
因为点P1，P2在双曲线 上，所以点P1，P2的坐标适合方程①。
将（3，-4√2）、（9/4，5）分别代入方程①中，得方程组
4 2
a2
2
32 b2
1
25 9 / 4 2
a2
b2
1
令 m
1 a2
,n
1 b2
, 则方程组化为
32 m-9n=1 25m 81n 1
16
解这个方程组，得， m=1/16 n=1/9
bx22
1(a0,b0)
则c=4，c/a=2，b2=c2-a2，解得a2=4，b2=12，
所以所求的双曲线方程为 y2 x2 1
4 12
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/282021/2/28Februar y 28, 2021
双曲线几何性质的应用
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图象
y
·· F1 oF2 x
y
㈠
·F2
复 习 提
·o
x
F1
问 ：
椭
方程
圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
y2 a2
+
x2 b2
=
1
的 性 质
焦点
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a.b.c的 关系
a2=b2+c2
定义 ||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱＞2a )
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/28
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图象yF·1 o F·2 x Nhomakorabeay
双
F2
曲 线
的
ox
性
质
F1
方程
x2 a2
-
y2 b2
=1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
焦点
F（±C，0）
F（0，±C）
a.b.c 的关系
c2=a2+b2
㈡例题
例1、如果方程 x2 y2 1
m1 2m
x轴上的双曲线，求m的范围。
解：根据双曲线的性质有： m-1＞0 2-m＜0 解得：m＞2
解之得a2=b2=3
所求双曲线的方 x2 程y2为 1 33
巩固练习二：
1、双曲线2 x2-y2=k的焦距是6，则 k 的值是（ B ）
（A）124 （B） 6 （C） 6 5 （D）3
5
2、双曲线 x2 y2 1 的焦点坐标是_(_o_,____4___k_)_ k4
3、若方程
x2 y2 1 m 1 2m
9k 4k
它的焦点坐标是
（C ）
(A)1,3 0(B)0,13
(C)( 1,30)(D)0, 13
例2：求与双曲线x2/4－y2/2=1有相同焦点且
过点P（2，1）的双曲线方程。
解：设所求的双曲线方程为x2/a2－y2/b2=1 （a＞0，b＞0）
由题意 得a42 b12 1 a2 b2 42
即a2=16,b2=9.所以双曲线的标准方程为
y2 x2 1 16 9
巩固练习3： 已知双曲线与椭圆 x2 y2 1 的焦点相同，且他们 的离心率之和为14/59，求25 双曲线的方程。
参考答案：椭圆的焦点为（0，±4），离心率为4/5，所
以双曲线的离心率为2，设所求的双曲线方程为
y2 a2