河南省实验中学高三第二次模拟考试 数学(文)

河南省八市重点高中质量检测试题文科数学 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数中，与函数y=有相同定义域的是 A ．()ln f x x = B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()x f x e = 2.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且//a b ，则23a b += A ．()5,10-- B ．()3,6-- C ．()4,8-- D ．()2,4--3.为得到函数()sin 21y x =+的图象，只需要把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平移12个单位长度 B ．向右平移12个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度4.已知数列{}n a 的前n 项和26n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =A ．9B ．8C ． 7D ． 65.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++=A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM6.已知双曲线()222102x y b b -=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点)0Py 在该双曲线上，则12PF PF ⋅=A ．12-B ．2-C ． 0D ．47. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的最小值为A ．12 B ．1 C ．32D ．28.设a R ∈，若函数,xy e ax x R =+∈有大于零的极值点，则A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e <- D ．1a e>-9.()2k x ≤+的解集为区间[],a b ，则k =A B ． 1 D ．210.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时，点P 的横坐标为A ．98 B ．98C ．8 D11.对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数。

2017年高中毕业年级第二次质量预测数学（文科）试题卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()11z i i -=-，则z =C. 2i +2.已知集合{}21|log 1,|1A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬⎩⎭，则()R A C B =A. (],2-∞B. (]0,1C. []1,2D.()2,+∞ 3.已知()()2,,1,2a m b ==-，若()//2a a b +，则m 的值是 A. 4- B. 4 C. 0 D.2-4.已知直线()1y k x =+与不等式组40300,0x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>>⎩表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是A.[)0,+∞B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5.执行如图所示的程序，则输出的结果是A. 513B. 1023C. 1025D. 20476.平面内凸四边形有2条对角线凸五边形有5条对角线，依次类推，凸13边形的对角线条数为A. 42B. 65C. 143D. 1697.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居中，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为1:2，这个比是不变的.下图是一个阳马的三视图，则其表面积为A. 2B. 2C. 33+8.已知()sin 4f x a x =+，若()lg33f =，则1lg 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D.9.已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则下列说法错误的是A. ωπ=B. 4πϕ=C. ()f x 的单调递减区间是132,2,44k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D. ()f x 的对称中心为1,0,4k k z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭10.设函数()()0sin fx x =，定义()()()()()()()()1021,,,f x f f x f x f f x ⎡⎤⎡⎤''==⎣⎦⎣⎦()()()()1,n n f x f f x -⎡⎤'=⎣⎦则()()()()()()122017000151515f f f +++的值是C. 0D.1 11.将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为 A.27πB.827π C. 3πD.29π 12.已知(),P x y （其中0x ≠）为双曲线2214y x -=上的任一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B ，则PAB ∆的面积为 A. 25 B. 45 C.825D.与P 点位置有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.以点()()2,0,0,4M N 为直径的圆的标准方程为 . 14.在等差数列{}n a 中，7410,42n a a a >=+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，19S = . 15.已知点(),P a b 在函数x e y x=的图象上，1,1a b >>，则ln ba 的最大值为 .16.已知双曲线2C 与椭圆221:143x y C +=具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成的四边形面积最大时，双曲线2C 的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,23.B C b c == （1）求cos C ；（2）若4c =，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市.某学校学生社团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分：100分）得到的茎叶图如下：（1）分别计算男生、女生打分的平均分，并用数字特征评价男、女生打分的数据分布情况；（2）右图按照打分区间[)[)[)[)[]0,60,60,70,70,80,80,90,90,100绘制的直方图中，求最高矩形的高；（3）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率.19.（本题满分12分）如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，11,3AM CD AB M ===为AB 的三等分点，现将AMD ∆沿MD 折起使得平面AMD ⊥平面MBCD ，连接,.AB AC（1）在边AB 上是否存在点P ，使得//AD 平面MPC ； （2）当点P 为AB 的中点时，求点B 到平面MPC 的距离.20.（本题满分12分）已知动圆M 恒过点()0,1，且与直线1y =-相切. （1）求圆心M 的轨迹方程；（2）动直线l 过点()0,2P -，且与点M 的轨迹交于A,B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 过定点.21.（本题满分12分）已知函数()ln .f x ax x =+（1）若()f x 在区间()0,1上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）设函数()()212h x x f x =--有两个极值点12,x x ，且11,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求证：()()122ln 2.h x h x -<-请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}(2)(1)0A x x x =-+<，{}11B x Z x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,1-B ．{0,1}C ．{1,0}-D ．{1,2}-2．在复平面内，复数z 满足()()21i 1i 2i z -=++，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定B ．甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定C ．乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定D ．乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定4．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）．A ．65米B ．74米C ．83米D ．92米5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====.则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．636．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是A．1 B．2 C．3 D．47．由射线43y x=（0x≥）逆时针旋转到射线512y x=-（0x≤）的位置所成角为θ，则cosθ=A．1665-B．1665±C．5665-D．5665±8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．246π-B ．86π-C ．246π+D ．86π+9．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式()2(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．31x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．1x ≠-10．若a ，b 为正实数，且11122a b a b+=++，则+a b 的最小值为（ ）．A ．23B ．43C ．2D ．411．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（ ）A B 85 C ．135D ．17712．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2AB =，PAD △为等边三角形，线段BC 的中点为E .若1PE =，则此四校锥的外接球的表面积为（ ）A．3B ．283πC ．9π D．27二、填空题13．已知a ，b 为单位向量，且()2a a b ⊥+，则向量a 与b 的夹角为______. 14．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为______15．已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin b A c B =，1cos 4B =，3b =，则ABC 面积为___________. 16．若0x ∀>，不等式ln 2(0)a x b a x ++≥>恒成立，则ba 的最大值为________.三、解答题17．设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，22424a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+.18．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，（1020x ≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替. ①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内的概率. 19．四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 是边长为1的等边三角形，DC BC ⊥，且DC DC 中点为M ，B 关于M 的对称点为E ，且F ､G分别为CE ，AD 的中点.（1）证明：平面⊥FGM 平面BCD ； （2）求四面体BGMF 的体积.20．已知点()0,1F-，直线:2l y =-，动点P 到直线l 的距离为d ，且2PFd=，记P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）过点F 的直线m 与C 交于A 、B 两点，判断AF BF AF BF⋅+是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.21．已知函数()22()2ln 3f x x ax x x ax =--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 极大值大于2，求a 的取值范围.·22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x ty t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(t 为参数，0απ≤<).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ､B 两点，求OAB 面积的最大值.23．已知函数()21f x x a =++.（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2）若存在1,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得不等式()22f x b x a ≥++的解集非空，求b 的取值范围.参考答案1．B 【分析】解不等式得到集合A ，再和B 求交集，即可求出结果. 【详解】{}{}(2)(1)012A x x x x x =-+<=-<<，{}{}111,0,1B x Z x =∈-≤≤=-所以{}0,1A B =.故选：B 2．C 【分析】结合复数的四则运算，可求出复数z ，进而可求出z 对应的点，从而可得出答案. 【详解】由已知得()()21i 1i 2i 3i z -=++=-+， 则()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2z -++-+--====----+， 所以复数z 对应的点为()2,1--，位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的几何意义，考查学生对基础知识的掌握. 3．C 【分析】根据茎叶图计算甲、乙两名运动员得分的平均数与方差，由此可得出结论. 【详解】由茎叶图可知，甲运动员的平均分为12103839185x ++++==甲，方差为()()()()()2222221182181018381839182905s -+-+-+-+-==甲，乙运动员的平均得分为1122232430225x ++++==乙，方差为()()()()()22222211222222232224223022385s -+-+-+-+-==乙.因此，乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定. 故选：C. 4．B 【分析】设AC 的高度为x ，在直角三角形中用x 表示出,BE BD ，由79ED =可求得x 得楼高． 【详解】设AC 的高度为x ，则由已知可得3AB x =，2BC BE x ==，tan ABBD ADB ==∠，所以279DE BD BE x =-=-=，解得24.7x =≈，所以楼高324.774.174AB ≈⨯=≈（米）． 故选：B ． 【点睛】本题考查解三角形的实际应用．属于基础题． 5．D 【分析】由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n 的值. 【详解】考查所给的等式的特征，归纳其性质有：若等式左侧根号外面的数为m ，则根号内部的分子为m ，分母为21m -， 据此归纳推理可知：28163n =-=. 本题选择D 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 6．C试题分析：该程序的作用是计算并输出分段函数2 2{23? 251,? 5? x x y x x x x≤=-≤，，＜＞的值．又∵输入的x 值与输出的y 值相等 当2x ≤时2x x =，，解得0x ，=或1x = 当25x ≤＜时23x x =-，，解得3x =， 当5x ＞时，1x x=，解得1x =±（舍去） 故满足条件的x 值共有3个故选C ． 考点：程序框图 7．A 【详解】 分析：详解：设43y x =（0x ≥）的倾斜角为α，则43sin αcos α55==， 射线512y x =-（0x ≤）的倾斜角为β，512sin βcos β1313==-， ∴()3124516cos cos βαcos αcos βsin αsin β51351365θ=-=-=⨯-+⨯=- 故选A点睛：本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题. 8．B 【分析】根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是圆锥内部挖去了一个棱柱，利用体积公式，即可求解． 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆锥内部挖3的棱柱，利用体积公式可知，几何体的体积为221263863V ππ=⨯⨯-⨯=-，【点睛】方法点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 9．C 【分析】由(4)()0f x f x -+=得到()f x 关于(2,0)对称，再由()f x 在[)2,+∞单调递减得到()f x 在R 上单调递减，利用单调性可得答案. 【详解】(4)()0f x f x -+=，则()f x 关于(2,0)对称，因为()f x 在[)2,+∞单调递减，所以()f x 在R 上单调递减， 所以(1)(3)f x f x +=--，由()2(1)0f x x f x +++<得()2(3)0f x x f x +--<， 所以()2(3)f x x f x +<-，所以23x x x +>-，解得1x >或3x <-. 故选：C ． 【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路： （1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间； （2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果. 10．B 【分析】 由已知可得()()1223a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：由已知可得()()()11332233a b a b a b a b +=+=+++⎡⎤⎣⎦ ()()11122322a b a b a b a b ⎛⎫=+++⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ 1222322a b a b a b a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝， 当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即23b =时取等号，所以+a b 的最小值为43． 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式及其应用，属于中档题． 11．B 【分析】由222AF AB AF =⋅及数量积的运算律可得22F B AF ⊥，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，利用双曲线的定义及直角三角形可求得m a =（23m a =不合题意舍去），然后求出cos BNM ∠，再用余弦定理得出,a c 关系求得离心率． 【详解】15AB F A =，∴1,,F A B 共线，且15AB F A =， 2222222222()AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB +=，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，由双曲线的定义可得222222226225AF m a m BF aAF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩∴222(2)(62)25m a m a m ++-=，整理得()(32)0m a m a --=，解得：m a =或23m a =，若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <，舍去；若m a =，2234AF a BF a =<=，符合题意，则16BF a =，5AB a =， 此时22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===，在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯，得到222175c e a ==，即22175c a =，∴c e a ==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出22F B AF ⊥是本题的解题关键，属于中档题. 12．B 【分析】取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，由题意可得PF PE ⊥，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P 在底面的投影的距离，设正方形ABCD 的中心为M ，过M 作底面的垂线MO ，则四棱锥P ABCD -的外接球的球心在MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，由底面ABCD 为正方形，2AB =，PAD △为等边三角形，2PF EF ∴==又1PE =，PF PE ∴⊥设正方形ABCD 的对角线交于点M ，过P 作底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理得212PE NE EF ==，而1ME =，12MN ∴=，2PN ==122MB BD ===过M 作底面的垂线MO ，则四棱锥P ABCD -的外接球的球心在MO 上， 设O 为四棱锥P ABCD -的外接球球心，半径为R ，则OP OB R == 过O 作OH PN ⊥于H ，则四边形OMNH 为矩形，1,2OH MN HN OM ∴=== （1）若四棱锥P ABCD -的外接球球心在四棱锥内部，在PH △O 中，222()OP OH PN HN =+-，即222122R OM ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在OBM 中，222OB BM OM =+，即222R OM =+联立解得：OM =，不符合题意，舍去；（2）若四棱锥P ABCD -的外接球球心在四棱锥外部，在PH △O 中，222()OP OH PN HN =++，即222122R OM ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在OBM 中，222OB BM OM =+，即222R OM =+联立解得：OM =273R =，所以四棱锥的外接球的表面积为2284.3S R ππ== 故选：B 【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224PA PB PC R ++=求解． 13．23π 【分析】根据()2a a b ⊥+得到向量的数量积为0，再根据,a b 的模长以及向量数量积的计算公式cos ,a b a b a b ⋅=<>求解出cos ,a b <>，从而,a b <>可求.【详解】因为()2a a b ⊥+，所以()20a a b ⋅+=，所以22cos ,0a a b a b +<>=， 所以12cos ,0a b +<>=，所以1cos ,2a b <>=-，所以2,3a b π<>=，故答案为：23π. 14．1或-1 【详解】因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin 45°＝2，即2d ==，所以a ＝±1.15 【分析】利用正弦定理求得2a c =，结合余弦定理求出,a c ，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】sin 2sin b A c B =，由正弦定理得：2ba cb =，即2a c =由余弦定理得：222cos 2a c b B ac+-=，即22214944c c c +-=，解得：294c =， 又0c >，32c ∴=，3a =0B π<<，sin B ∴==所以ABC 的面积为113sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△.. 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=. 16．2e 【分析】先设()ln 2a f x x x =++，对其求导，求出其最小值为()min ln 3f x a =+，得到ln 3b a a a+≤，再令()ln 3a g a a+=，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果.【详解】设()ln 2a f x x x =++，则()221a x a f x x x x'-=-=，因为0a >， 所以当()0,x a ∈时，()20x af x x -'=<，则函数()f x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()20x a f x x '-=>，则函数()f x 单调递增； 所以()()min ln 3f x f a a b ==+≥， 则ln 3b a a a +≤，令()ln 3a g a a +=，则()221ln 32ln a a g a a a--+'==-； 由()0g a '=可得，2a e -=； 所以当()20,a e-∈时，()22ln 0a g a a +'=->，则函数()g a 单调递增；当()2,a e -∈+∞时，()22ln 0ag a a+'=-<，则函数()g a 单调递减； 所以()()2222max ln 3e g a g e e e---+===，即b a 的最大值为2e . 故答案为：2e 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值. 17．（1）3n a n =；（2）1010. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由13a =，22424a a =+，即可求得答案；（2）因为sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求出当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，1n b =，可得{}n b 是以2为周期的周期数列，即可求得答案. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，22424a a =+∴()()211324a d a d +=++，又13a =，∴()()233324d d +=++解得6d =-或3d =，0d >，∴3d =，∴33(1)3n a n n =+-=.（2）sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数∴当n 为奇数时，sin 3sin 0n b n ππ===， ∴当n 为偶数时，cos3cos01n b n π===，故{}n b 是以2为周期的周期数列，且121b b +=，∴()1220211211010101001010b b b b b b ++⋅⋅⋅+=++=+=.18．(1) 30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩(2) ①698.8元 ②0.54【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率. 【详解】（1）商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪=⎨-⨯-≤<⎪⎩化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=； 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=； 海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=； 海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=； 这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=（元）②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-= 显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增，58060140y x ==-，得12x =； 76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：0.240.300.54+=【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和. 19．（1）证明见解析；（2）132. 【分析】（1）由平面ABC ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面ABC ，CD AC ⊥，CD BC ⊥，再结三角形中位线定理可得GM CD ⊥，MF CD ⊥，从而可得CD ⊥平面GMF ，再由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）可得//BC 平面GMF ，则B 到平面GMF 的距离等于C 到平面GMF 的距离，可得其距离为122==CM CD ，由已知条件可求得212⎫==⎪⎝⎭GMN S △，进而得==GMF GMN S S △△，从而可求得答案 【详解】（1）证明：因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥， 又G ，M 分别为AD ，CD 的中点，所以//GM AC ， 所以GM CD ⊥，同理可得MF CD ⊥， 因为=MFGM M ，所以CD ⊥平面GMF ，因为CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面FGM . （2）由（1）可知，//MF BC ，因为BC ⊄平面GMF ，MF ⊂平面GMF ， 所以//BC 平面GMF ， 故B 到平面GMF 的距离， 即为C 到平面GMF 的距离，由（1）可知122==CM CD ， 即为C 到平面GMF 的距离，取BD 中点N ，则F ，M ，N 三点共线， 连结GN ，1122MN BC ==，1122==GN AB ，1122==GM AC ，所以214216⎫==⎪⎝⎭GMNS △，因为M 为FN 的中点，所以==GMF GMN S S △△， 故11332-=⋅⋅=B GMF GMF V S CM △. 【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的证明和几何体体积的求法，第（2）问解题的关键是将B 到平面GMF 的距离转化为C 到平面GMF 的距离，由M 为FN 的中点，得GMF GMN S S =△△，从而可求出其体积，考查推理能力和计算能力20．（1）2212y x +=；（2）4AF BF AF BF ⋅=+，理由见解析. 【分析】（1）设点(),P x y ，利用2PF d=可得出关于x 、y 所满足的等式，化简可得曲线C 的方程；（2）对直线m 的斜率是否存在进行分类讨论，在m x ⊥轴时，求出AF BF AF BF⋅+的值；在直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为1y kx =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线m 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合两点间的距离公式计算出AF BF AF BF⋅+的值.综合可得出结论. 【详解】（1）设点(),P x y ，由PFd =2=，化简得2212yx +=， 因此，曲线C 的方程为2212y x +=；（2）在椭圆2212y x +=中，a =1b c ==.当直线m 垂直于x 轴时，()()2222AF BF a c a c a c AF BFaa⋅-+-====+当直线m 不垂直于x 轴时，设直线m 的方程为1y kx =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22112y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()222210k x kx +--=，()()222442810k k k ∆=++=+>，由韦达定理得12222+=+kx x k ，12212x x k =-+，1AF y ====，12y -≤≤))11111222AF y kx kx ∴=+=-=+，同理可得)21BF kx =+， 所以，()()()()212121212111122kx kx k x x k x x AF BF AF BF k x x ++⎤+++⋅⎣⎦==+++⎡⎤⎣⎦)()2222222222112242812222k k k k k k k k k ⎫-+++⎪+⎝⎭+===⎛⎫++ ⎪++⎝⎭.综上所述，4AF BF AF BF ⋅=+（定值）.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了椭圆中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.21．（1）答案见解析；（2）()⋃+∞.【分析】（1）先对函数求导得到1()2()ln 2f x x a x '⎛⎫=--⎪⎝⎭，导函数的正负跟a 的取值有关系，所以要对a 的取值进行分类讨论，进而求出函数的单调递增区间.(2)由（1）知，0a ≤和a =无极大值，不成立．再分析当a >极大值2f >，又a >a 的取值范围；当0a <<()2f a >，得222ln a a->，求解得a 的取值范围，最后两种情况取并集即可. 【详解】（1）求导1()2()ln 2232()ln 2f x x a x x a x a x a x '⎛⎫=-+--+=-- ⎪⎝⎭0x >,当0a ≤时，令()0f x '>，()0,x a ->1ln 02x ∴->，解得：x >，所以()f x 的单调递增区间为)+∞，递减区间为(当0a <<()0f x '>，解得：0x a <<或x >，所以()f x 的单调递增区间为(0,)a 和)+∞，()f x 的单调减区间为(a当a =()0f x '≥上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；无递减区间当a >()0f x '>，解得：0x <<x a >，所以()f x 的单调递增区间为(和(,)a +∞，()f x 的单调减区间为)a .综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为)+∞；当0a <<()f x 的单调递增区间为(0,)a 和)+∞；当a =()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当a >()f x 的单调递增区间为和(,)a +∞；（2）由（1）知，当0a ≤和a =当a >()f x 的极大值为222e f=>，解得a >，3104e ⎫==-<⎪⎭，所以a >当0a <<()f x 的极大值为2()(2ln )2f a a a =->，得222ln a a->， 令2t a =，则12()2ln 2g t t t =--，22124()22t g t t t t'-=-+=， ()g t 在4t =取得极大值(4)0g >，且(1)0g =.因为a <所以t e <，而()g t 在(单增，所以()0g t >，解为(，则(a ∈.综上()a ∈⋃+∞.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.22．（1）l 的普通方程为sin cos cos sin 0x y αααα⋅-⋅+-=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=；（2）最大值是【分析】（ 1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线l 的普通方程，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得曲线C 的直角坐标方程；（ 2）把直线l 的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程得22(sin cos )20t t αα+--=，由参数t 的几何意义求出AB ，再由O 到直线l 的距离求得三角形的高，进而求得OAB 的面积然后求最值即可. 【详解】（1）将直线l 的参数方程1cos 1sin x ty t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(t 为参数，0απ≤<)中的参数消去， 得到直线l 的普通方程，为sin cos cos sin 0x y αααα⋅-⋅+-=，由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=⋅，又222x y ρ=+，cos x ρθ=⋅，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=. （2）把直线l 的参数方程1cos 1sin x t y tαα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩代入到曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y -+=得：22(sin cos )20t t αα+--=，设A ､B 对应的参数分别为1t ､2t ，则122(cos sin )t t αα⋅=-，122t t ⋅=-， 由参数t 的几何意义知：12AB t t =-===又点O 到直线l 的距离cos sin d αα==-，∴OAB 的面积：1cos sin 2S AB d αα=⋅=-=≤当sin 21α=-，即34πα=时等号成立，故OAB 的面积的最大值是. 【点睛】关键点点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数t 的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点O 到直线l 的距离表示三角形的高.23．（1）1|33x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；（2）13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将2a =代入函数解析式，去绝对值化简即可求解；（2）将函数解析式代入不等式，分离参数b ，并构造函数2()|2|21g x x a x a =+-++，根据不等式解集为非空，即可知max ()b g x ≤，由绝对值三角不等式性质可变形为21b a a ≤-+，结合1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求得b 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，函数()221f x x =++， 解不等式()2f x x +<化为2212x x +++<， 即221x x +<-，∴1221x x x -<+<-，解得133x -<<-， ∴不等式的解集为1|33x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. （2）由()22f x b x a ≥++，得2|2|21b x a x a ≤+-++， 设2()|2|21g x x a x a =+-++，则不等式的解集非空，等价于max ()b g x ≤； 由()22()(2)211g x x a x a aa ≤+-++=-+，∴21b a a ≤-+；由题意知存在1,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得上式成立；而函数2()1h a a a =-+在1,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为11339h ⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴139b ≤； 即b 的取值范围是13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，分离参数并构造函数法求最值的应用，绝对值三角不等式性质及应用，属于中档题.。

2017 年高中毕业年级第二次质量展望数学（文科）试题卷第Ⅰ卷（选择题共 60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项切合题目要求 .1. 已知复数z知足z 1 i i 1 z，则A. 2B. 3C. 2 iD. 52. 已知会合A x | log 2 x 1 , B x | 11 ，则 A C R BxA. ,2B. 0,1C. 1,2D. 2,3. 已知a 2, m , b 1, 2 ，若 a // a 2b ，则 m 的值是A. 4B. 4C. 0D. 2x y 4 04. 已知直线y k x 1 与不等式组3x y 0 表示的平面地区x 0, y 0有公共点，则 k 的取值范围是A. 0,B.3C.3D.3 0, 0, , 2 2 25.履行以下图的程序，则输出的结果是A. 513B. 1023C. 1025D. 20476.平面内凸四边形有 2 条对角线凸五边形有 5 条对角线，挨次类推，凸13 边形的对角线条数为A. 42B. 65C. 143D. 1697. 刘徽的《九章算术注》中有这样的记录：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居中，鳖臑居一，不易之率也. ”意思是说：把一块立方体沿斜线分红同样的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分红两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，二者体积比为1:2 ，这个比是不变的 . 以下图是一个阳马的三视图，则其表面积为A.2B. 23C. 33D. 3 28. 已知f x a sin x b 3 x 4 ，若 f lg3 3 ，则 f lg 13A. B. C. D.9. 已知函数f x Asin x A 0, 0, 的部分图象以下图，则以下说法错误的选项是A.B.4C. f x 的单一递减区间是2k 1 3z ,2k , k4 4D. f x 的对称中心为k 1,0 , k z 410. 设函数f 0 x sin x ，定义 f 1 x f f 0 x , f 2 xf f 1 x , ,f n x f f n 1x , 则f1150 f 2150 f 2017150的值是A. 6 2B.6 2C. 0D.14 411.将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大概积为A. B. 8 C. D. 227 27 9312. 已知P x, y （此中 x 0 ）为双曲线y2 x2 1上的任一点，过P 点向双曲线的两条4渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B，则PAB 的面积为A. 2B. 4C. 8D. 与 P 点地点相关5 5 25第Ⅱ卷（非选择题共 90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13. 以点 M 2,0 ,N 0,4 为直径的圆的标准方程为.14. 在等差数列a n 中， a n 0, a71a4 4 ， S n为数列a n的前n项和，S19 . 215. 已知点 P a,b 在函数 y e x 的图象上， a 1,b 1，则 a ln b的最大值x为.16. 已知双曲线C2与椭圆C1:x2 y2 1拥有同样的焦点，则两条曲线订交四个交点形成4 3的四边形面积最大时，双曲线C2的离心率为.三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出必需的文字说明或推理、验算过程.17. （此题满分12 分）在ABC 中，角A, B, C的对边分别为a, b,c，已知B 2C ,2 b 3c.（ 1 ）求cosC；（ 2 ）若c 4 ，求ABC 的面积.18. （此题满分12 分）经国务院批复赞同，郑州成功入围国家中心城市. 某学校学生社团针对“郑州的发展环境”对 20 名学生进行问卷检查打分（满分：100 分）获得的茎叶图以下：（1）分别计算男生、女生打分的均匀分，并用数字特点评论男、女生打分的数据散布情况；（2 ）右图依据打分区间0,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 绘制的直方图中，求最高矩形的高；（3 ）从打分在70 分以下（不含70 分）的同学中抽取 3 人，求有女生被抽中的概率.19. （此题满分12 分）如图，高为 1 的等腰梯形ABCD 中，AM CD 1 AB1,M 为3AB 的三平分点，现将AMD 沿 MD 折起使得平面AMD 平面MBCD ，连结AB, AC .（1）在边AB 上能否存在点P ，使得AD // 平面MPC ；（2）当点P 为AB 的中点时，求点 B 到平面MPC 的距离.20. （此题满分12 分）已知动圆M 恒过点0,1 ，且与直线y 1 相切.（ 1 ）求圆心M的轨迹方程；（ 2 ）动直线l过点P 0, 2 ，且与点M的轨迹交于A,B 两点，点 C 与点 B 对于y轴对称，求证：直线AC 过定点 .21. （此题满分12 分）已知函数 f x ax ln x.（ 1 ）若 f x 在区间0,1 上单一递加，务实数 a 的取值范围；（ 2 ）设函数 h x 1 x2 f x 有两个极值点x1 , x2，且 x1 1,1 ，求证：2 2h x1 h x2 2 ln 2.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，假如两题都做，则依据所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。