6-1多元函数基本概念

极值的定义与性质
01
极值的性质
02
极值是局部概念，即极值只由函数在某点的 附近的行为决定。
03
极值是相对的，即在一个函数内部的极大值 可能相对于另一个函数是极小值。
04
极值是稳定的，即只要函数在某点的导数存 在且为零，则该点可能是极值点。
多元函数的最值
要点一
最值的定义
设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内的所有点$(x,y)$都有$f(x,y) leq f(x_0,y_0)$（或 $f(x,y) geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处 取得最大值（或最小值）。
05
多元函数的泰勒公式
一元函数的泰勒公式
定义
一元函数在某点的泰勒公式表示为该点附近的局部逼近 式，通过多项式和函数在该点的导数来逼近函数值。
应用
一元函数的泰勒公式常用于求极限、证明等式、求解微 分方程等场合。
多元函数的泰勒公式
定义
多元函数在某点的泰勒公式表示为该点附近的局部逼 近式，通过多项式和函数在该点的偏导数来逼近函数 值。
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要点二
最值的性质
最值是全局概念，即最值需要考虑函数在整个定义域内的 行为。
条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值的定义
在某些附加条件下的极值问题称为条件极值问题。
拉格朗日乘数法
用于求解条件极值问题的一种方法。基本思想是通过 引入一个附加的乘数，将附加条件转化为无条件的形 式，然后应用无条件极值的求解方法进行求解。
应用
多元函数的泰勒公式常用于求极限、证明等式、求解偏 微分方程等场合。

2 x 0 (2) 令： 2( y 1) 0
得惟一驻点: (0, 1)
0, (0,1) 2, B f xy (3) 因为 A f xx (0,1) C f yy
(0,1)
2,
所以 B2 AC 4 0 故函数 f ( x , y ) x 2 ( y 1)2无极值
( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ), B 2 AC , 则 B f xy
(1) 当 0且 A 0 时 f ( x0 , y0 ) 是极大值; 当 0且 A 0 时 f ( x0 , y0 )是极小值， (2)当 0 时 f ( x0 , y0 ) 不是极值； (3)当 0 时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值， 也可能不是极值；
因为点 ( 3 2k , 3 2k , 1 3 2k） 是惟一的可能极值点，
2
且表面积的最小值一定存在，因此它也是S取得最 小值的点.所以当长、宽、高分别为 2k ,
3 3
13 2k , 2k 2
时，所用的材料最省.
同时满足
f x ( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0
的点( x0 , y0 ) 称为函数 z f ( x, y ) 的驻点．
定理 6-9 （极值存在的充分条件） 设 ( x0 , y0 )是函数 z f ( x, y ) 的驻点，且函数在点 ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) 的邻域内二阶偏导数连续.令：A f xx
设水槽的长、宽、高分别为 x , y , z，则容积为 解：
V xyz ( x 0, y 0, z 0)
由题设知 18 xy 6(2 xz 2 yz ) 216 即 因此

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。

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显然，点集E的内点一定属于 E ；点集E的外点一定 不属于 E； E 的边界点可能属于E ，也可能不属于 E． 如果点集 E的每一点都是 E的内点，则称 E为开集.
点集 E1 x, y | 0 x2 y2 1 是开集，
E2 x, y | x y 1 不是开集．
坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面 点集，
记作 E (x, y) | (x, y)具有某种性质P .
目录内所有点的
集合是 C (x, y) | x2 y2 r2 .
如果以点 P 表示 (x, y) ，OP 表示 P 点到原点 O 的距
Rn中点 P x1, x2, , xn 与点 Q y1, y2, , yn
之间的距离定义为 PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 ．
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平面点集中的一系列概念，均可推广到n维空间中去。
例如，P0 Rn， 是某一正数，则
U P0, P | PP0 , P Rn 就称为 Rn 中点 P0 的
称为
P0 (x0 ,
y0 ) 的去心邻域，记作
o
U
(
P0
,
)
，即
o
U (P0 , ) P 0 PP0
(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
如果不需要强调邻域的半径 ，
则用 U (P0 ) 表示点 P0 的某个邻域，
o
用 U (P0 ) 表示 P0 (x0, y0 ) 的某个去心邻域．
如前面讲的 E1是开区域．
开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．
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开区域 E 连同它的边界 E 构成的点集，称为闭区域