黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.抛物线24xy的焦点坐标是（ A ）

A. (0,1) B. (1,0) C.1(0,)16 D. 1(,0)16

2.若直线210xy与直线20axy互相垂直，那么a的值等于（ C ）

A．1 B．13 C．2 D．23

3. 圆221:20Oxyx和圆222:40Oxyy的位置关系是（ B ）

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

4．焦点在x轴上的椭圆221(0)3xynn的焦距为42，则长轴长是（ B ）

A.3 B.6 C.62 D.2

5. 一束光线从点(1,1)A出发，经x轴反射到圆22:(2)(3)1Cxy上的最短路径是（ A ）

A.4 B．5 C．321 D．26

6. 方程22141xytt表示椭圆，则t的取值范围是（ D ）

A.14t B.1t或4t C.4t D. 512t或542t

7. 过P(4,1)的直线与抛物线24yx仅有一个公共点，则这样的直线有（ C ）条

A.1 B.2 C.3 D.4 8.直线yxm与椭圆2212xy相切，则m的值为（ A ）

A.3 B.2 C.1 D.3

9．已知斜率为1的直线l与双曲线)0,0(12222babyax相交于

BA、两点，且AB的中点为)3,1(M，则双曲线的渐近线方程为（ B ）

A．xy3 B．xy3 C．xy31 D．xy33

10.倾斜角为45的直线经过抛物线24yx的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，则弦AB的长为（ C ）

A.2 B.4 C.6 D.8

11.直线1ykx与双曲线221xy的左支有两个公共点，则k的取值范围是（ D ）

A．(2,0) B. (2,2) C. (2,1) D. (2,1]

12. 已知向量00(2,),axy向量00(2,),bxy且||||43ab，设00(,)Mxy,(2,0)A，(2,0)B，则||||MAMB的最大值为（ D ）

A.4 B. 6 C. 8 D. 12

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.)

13.已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件||||22PMPN，则动点P的轨迹方程 ．

14.已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为___8_____. 15．若x，y满足约束条件1020,220,xyxyxy，，则2zxy的最大值为_______1_____．

16．设21FF，分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，椭圆上存在一点P，使得12123||||2,||||,2PFPFbPFPFab则椭圆的离心率为

三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分10分) △ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c＝2，C＝π3.

(Ⅰ)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(Ⅱ)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A ，求△ABC的面积．

18.(本题满分12分) 已知椭圆C的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6,1)，

P2(－3，－2)两点.

(I)求椭圆C的标准方程.

(II)过点P(1，1)作椭圆的弦AB，使点P为弦AB的中点，求弦AB的长.

19．（本题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝6，点E是棱PB的中点．

(Ⅰ)证明：AE平面PBC；

(Ⅱ)若AD＝3，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．

20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线265yxx与坐标轴的交点都在圆C上。

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)若圆C与直线0xya交于A,B两点，且,OAOB求a的值。

21.(本题满分12分) 设椭圆C：22221(0)xyabab的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆C过点P(2，1).

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若椭圆C的左、右焦点分别为21FF，，过1F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，求ABF2面积的最大值．

（22题图）

22．（本题满分12分）如图，已知抛物线xy42的焦点为F.过点)02(，P的直线交抛物线于A),(11yx，B),(22yx两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N .

(Ⅰ)求21yy的值；

(Ⅱ)记直线MN的斜率为1k，直线AB的斜率为2k 证明：21kk为定值 数学试题参考答案（理科）

1～5ACBBA 6～10DCABD 11～12CD

13.221(0)22xyx；14.8或-18；15.52 ；16.32

17.(I)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4；又因为△ABC的面积等于3，所以 12absinC＝3，得ab＝4. 联立方程组 a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.

(II)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sinBcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，

当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233，

当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组 a2＋b2－ab＝4，b＝2a，

解得a＝233，b＝433. 所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.

18. （I）设椭圆C：221(,0,)mxnymnmnP1(6,1)，P2(－3，－2)分别代入得22193xy.

（II）直线AB的斜率为13k，则AB：11(1)3yx与22193xy联立，得248110xx

121||1||9ABxx563

19.(I) 如右图，以A为坐标原点，射线 AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A－xyz.设D(0，a,0)，则B(6，0,0)，C(6，a,0)，P(0,0，6)，E(62，0，62)．

因此AE→＝(62，0，62)，BC→＝(0，a,0)，PC→＝(6，a，－6)．

则AE→·BC→＝0，AE→·PC→＝0，所以AE⊥平面PBC.

(II)因为|AD→|＝3，则D(0，3，0)，C(6，3，0)．

设平面AEC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AC→＝0，n1·AE→＝0.又AC→＝(6，3，0)，AE→＝(62，0，62)，故 6x1＋3y1＝0，62x1＋62z1＝0，

所以y1＝－2x1，z1＝－x1.可取x1＝－2，则n1＝(－2，2，2)．

设平面DEC的法向量n2＝(x2，y2，z2)，则n2·DC→＝0，n2·DE→＝0， 又DC→＝(6，0,0)，DE→＝(62，－3，62)，故 x2＝0，62x2－3y2＋62z2＝0.

所以x2＝0，z2＝2y2，可取y2＝1，则n2＝(0,1，2)．

故cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝63.所以二面角A－EC－D的平面角的余弦值为63.

20.（I）22(3)(3)13xy；

（II）0xya与22(3)(3)13xy得222(212)(3)40xaxa

设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理得，21212656,2aaxxaxx

2121212122()OAOBxxyyxxaxxa26501aaa或5a

21. (I)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e＝ca＝221ba=22，解得222ab

则椭圆C的方程为222212xybb，P(2，1)代入得，22b，所求椭圆C的方程为22142xy

(II) 过1F的直线l：2myx与22142xy联立得，22(2)2220mymy

由韦达定理得， 122222yym，12222yym

2222221212121212||()()1()1()4ABxxyymyymyyyy224(1)2mm

设2F到直线l的距离2221dm

21||2FABSABd=224(1)2mm221m=224222111mm（当且仅当0m）

22.（I）224myxyx2480ymy，由韦达定理得，128yy

（II）AF：11(1)1yyxx与24yx联立，得2111(1)04yyxyy

由韦达定理得，1144MMyyyy，同理，24Nyy

112122124244MNMNyykyyyykyyyy（定值）