2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题2

2015-2016学年海南省海口市海政学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．直线3x﹣y+1=0和直线2x﹣y﹣5=0的交点坐标是（）A．（6，19）B．（4，3） C．（﹣6，﹣17）D．（﹣4，﹣11）2．利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（）A．B．C．D．3．直线4x﹣3y﹣12=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=3，b=﹣4 B．a=﹣3，b=4 C．a=3，b=4 D．a=﹣3，b=44．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ5．设如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．π+12 B．π+18 C．36π+18 D．9π+426．从空间一点P向二面角α﹣L﹣β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足，若∠EPF=30°，则二面角α﹣L﹣β的平面角的大小是（）A．30° B．150°C．30°或150°D．不确定7．倾斜角是45°且过（﹣2，0）的直线的方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C． x﹣y+2=0 D． x﹣y﹣2=08．已知两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，则a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．09．两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切10．（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m值为（）A．B．C． D．11．直线x+2y﹣2=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x﹣2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+5=0 D．x﹣2y=012．把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得的直线l的方程是（）A．y=﹣x B．y=x C．x﹣y+2=0 D．x+y﹣2=0二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y=k（x﹣1）+4必过定点，该定点坐标是．14．过点（2，3）且在x轴上的截距为3的直线方程是．15．设x+y=1，x≥0，y≥0，则x2+y2的取值范围是．16．直线（3﹣2m）x+my+3=0与直线x﹣my﹣3=0垂直，则m等于．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，1）、B（3，﹣3）、C（1，7），请判断△ABC的形状．18．光线从原点O（0，0）出发，经过直线m：8x+6y=25反射后通过点P（﹣4，3），求反射光线所在直线的方程．19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长．20．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．21．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．22．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？2015-2016学年海南省海口市海政学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．直线3x﹣y+1=0和直线2x﹣y﹣5=0的交点坐标是（）A．（6，19）B．（4，3） C．（﹣6，﹣17）D．（﹣4，﹣11）【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】联立方程组求解即可．【解答】解：由题意可得，解得，故选：C．【点评】本题考查直线的焦点坐标的求法，考查计算能力．2．利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（）A．B．C．D．【考点】斜二测法画直观图．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据斜二测画法法则，即可得出满足条件的直观图形．【解答】解：根据斜二测画法，∠x′O′y′=45°（或135°），平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，且平行性不变；满足条件的直观图形是B．故选：B．【点评】本题考查了斜二测画法画几何图形的直观图问题，斜二测画法的三条性质是：①∠x′O′y′=45°（或135°），②与x轴、y轴平行性不变，③长度变化（与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段的长度减半）．3．直线4x﹣3y﹣12=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=3，b=﹣4 B．a=﹣3，b=4 C．a=3，b=4 D．a=﹣3，b=4【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】方程思想；直线与圆．【分析】由直线4x﹣3y﹣12=0，分别令x=0与y=0，解出即可得出．【解答】解：由直线4x﹣3y﹣12=0，令y=0，解得x=3=a；令x=0，解得y=﹣4=b．∴a=3，b=﹣4．故选：A．【点评】本题考查了直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．【解答】解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质．解题的关键是对平面与平面垂直的性质及判定定理熟练记忆．5．设如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．π+12 B．π+18 C．36π+18 D．9π+42【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体的上部是球，下部是长方体，且球的直径为3，；长方体的长、宽、高分别为3、3、2，把数据代入表面积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体的上部是球，下部是长方体，且球的直径为3，；长方体的长、高分别为3、2，由俯视图知长方体的宽等于球的直径3，∴几何体的表面积S=4π×+2×（2×3+2×3+3×3）=9π+42．故选D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6．从空间一点P向二面角α﹣L﹣β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足，若∠EPF=30°，则二面角α﹣L﹣β的平面角的大小是（）A．30° B．150°C．30°或150°D．不确定【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间角．【分析】首先，确定∠EPF就是两个平面α和β的法向量的夹角，然后，利用二面角的平面角和法向量的夹角直接的关系确定即可．【解答】解：∠EPF就是两个平面α和β的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或互补，∵∠EPF=30°，∴二面角α﹣l﹣β的大小为30°或150°．如图：图一是互补情况，图二，是相等情况．故选：C．【点评】本题重点考查了平面的法向量、法向量的夹角与平面所成的二面角之间的关系等知识，属于中档题．7．倾斜角是45°且过（﹣2，0）的直线的方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C． x﹣y+2=0 D． x﹣y﹣2=0【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程即可．【解答】解：倾斜角是45°则直线的斜率为：1，过（﹣2，0）的直线的方程是y=x+2，即x﹣y+2=0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，基本知识的考查．8．已知两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，则a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】直接利用平行线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，可知：1=，解得a=1．故选：C．【点评】本题考查平行线之间的关系，考查计算能力．9．两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】综合题．【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选B．【点评】此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．10．（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m值为（）A．B．C． D．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】由两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，知，由此能求出m．【解答】解：∵两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，∴，解得m=，或m=﹣6．故选B．【点评】本题考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答．11．直线x+2y﹣2=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x﹣2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+5=0 D．x﹣2y=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】求得直线x+2y﹣2=0与直线x=1的交点为M的坐标，直线x+2y﹣2=0与x轴的交点A的坐标，再求得点A关于直线x=1的对称点为B的坐标，用两点式求得MB的方程，即为所求．【解答】解：直线x+2y﹣2=0与直线x=1的交点为M（1，），直线x+2y﹣2=0与x轴的交点A（2，0），则点A关于直线x=1的对称点为B（0，0），由两点式求得直线x+2y﹣2=0关于直线x=1对称的直线MB的方程为=，即x﹣2y=0，故选：D．【点评】本题主要考查一条直线关于另一条直线的对称方程的求法，用两点式求直线的方程，属于基础题．12．把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得的直线l的方程是（）A．y=﹣x B．y=x C．x﹣y+2=0 D．x+y﹣2=0【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】由已知直线的斜率求出与x轴的夹角，然后求出旋转后与x轴的夹角，即可得到所求直线的斜率，根据点的坐标写出直线方程即可．【解答】解：由题意知直线x﹣y+﹣1=0与x轴的夹角为45°，则绕点（1，）逆时针旋转15°后得到直线l与x轴的夹角为60°，则斜率k=tan60°=，又直线过（1，），所以直线l的方程为y﹣=（x﹣1）化简得：y=x．故选B．【点评】本题的突破点是会根据斜率求夹角、根据夹角求斜率．要求学生会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y=k（x﹣1）+4必过定点，该定点坐标是（1，4）．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】令参数k的系数x﹣1=0，求得x和y的值，可得直线y=k（x﹣1）+4必过定点的坐标．【解答】解：令参数k的系数x﹣1=0，求得x=1，y=4，可得直线y=k（x﹣1）+4必过定点（1，4），故答案为：（1，4）．【点评】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．14．过点（2，3）且在x轴上的截距为3的直线方程是3x+y﹣9=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：过点（2，3）且在x轴上的截距为3的直线的斜率为： =﹣3．所求的直线方程为：y﹣3=﹣3（x﹣2），即：3x+y﹣9=0．故答案为：3x+y﹣9=0．【点评】本题考查直线方程的求法，基本知识的考查．15．设x+y=1，x≥0，y≥0，则x2+y2的取值范围是[，1] ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由式子的几何意义，数形结合可得．【解答】解：∵x+y=1，x≥0，y≥0表示线段AB，x2+y2表示线段AB上的点到原点的距离平方，数形结合可得最小值为=，最大值为OA或OB=1，故答案为：[，1]．【点评】本题考查式子的最值，数形结合是解决问题的关键，属基础题．16．直线（3﹣2m）x+my+3=0与直线x﹣my﹣3=0垂直，则m等于﹣3或1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】分类讨论；转化思想；直线与圆．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：3x+3=0，x﹣3=0，此时两条直线不相互垂直，舍去．当m≠0时，两条直线的斜率分别为：，，由于两条直线相互垂直，可得•=﹣1，解得m=﹣3或1．综上可得：m=﹣3或1．故答案为：﹣3或1．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，1）、B（3，﹣3）、C（1，7），请判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．【解答】解：∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，2），C（﹣1，﹣4），∴|AB|==2，|BC|==6，|AC|==4，∴AC2=BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和勾股定理的逆定理的合理运用．18．光线从原点O（0，0）出发，经过直线m：8x+6y=25反射后通过点P（﹣4，3），求反射光线所在直线的方程．【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】数形结合；转化法；直线与圆．【分析】根据反射定律可得点（﹣4，3）关于直线l的对称点M（a，b）在入射光线所在的直线上，利用垂直及中点在对称轴上这两个条件，求出点M的坐标，再求反射光线所在的直线方程．【解答】解：根据反射定律可得点（﹣4，3）关于直线l的对称点M（a，b）在入射光线所在的直线上，所以，化简得，解得，即M（，）；所以直线OM的方程为y=x，联立直线8x+6y=25，可得交点为（，3），所以反射光线所在直线的方程为y=3．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了利用点关于某直线的对称、垂直及与中点的应用问题，是基础题目．19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长．【考点】直线的一般式方程；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】（1）已知A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1），根据两点式写直线的方法化简得到AB所在的直线方程；（2）根据中点坐标公式求出M的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AM即可．【解答】解：（1）由两点式写方程得，即6x﹣y+11=0或直线AB的斜率为直线AB的方程为y﹣5=6（x+1）即6x﹣y+11=0（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得故M（1，1）【点评】考查学生会根据条件写出直线的一般式方程，以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标，会用两点间的距离公式求两点间的距离．20．（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，则圆柱的上底面为中截面，可得r=1∴2，∴．【点评】本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．21．直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题．【分析】设直线l的横截距为a，则纵截距为（6﹣a），写出直线l的截距式方程，把（1，2）代入即可求出a的值，把a的值代入直线l的方程中，经过检验得到满足题意的直线l的方程．【解答】解：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6﹣a，∴直线l的方程为，∵点（1，2）在直线l上，∴，解得：a1=2，a2=3，当a=2时，直线的方程为2x+y﹣4=0，直线经过第一、二、四象限；当a=3时，直线的方程为x+y﹣3=0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x+y﹣4=0或x+y﹣3=0．【点评】此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程，是一道基础题．学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意．22．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题．【分析】（Ⅰ）由AB⊥平面BCD⇒AB⊥CD，又CD⊥BC⇒CD⊥平面ABC，再利用条件可得不论λ为何值，恒有EF∥CD⇒EF⊂平面BEF，就可得不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD⇒BE⊥平面ACD⇒BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴，∴，由AB2=AE•AC得，∴，故当时，平面BEF⊥平面ACD．【点评】本题考查了面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量)1,2(-=→a ，)3,2(-=→b ，则=-→→b a 2 （ ） A. )7,2(- B. )5,2(- C. )2,0( D. )7,6(- 【答案】D考点：向量的坐标运算．2.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】试题分析： 初始条件：0,0k S ==运行第1次：判断100?S <，是，0021,011S k =+==+=；运行第2次：判断100?S <，是，1123,112S k =+==+=；运行第3次：判断100?S <，是，33211,213S k =+==+=； 运行第4次：判断100?S <，是，111122059,314S k =+==+=； 运行第5次：判断100?S <，否，输出4k =； 故选B ．考点：程序框图．3.设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x MP ∈”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B考点：充要条件．【方法点晴】本题考查了充要条件的判断，属于基础题，充要条件的判断方法通常有三种：一是定义法，也叫推出法；二是命题法，注意互为逆否的两个命题是等价命题这一结论的应用，通常用于否定的条件和结论的判断；三是集合法．4.把“二进制”数)2(1011001化为“五进制”数是 （ ）A ．)5(224B ．)5(234C ．)5(324D ．)5(432【答案】C 【解析】试题分析：先将二进制数化为十进制数：)2(10110016543201202121202021264168189=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++=，再将十进制数化成五进制数：用除五取余法：895174175323503÷=÷=÷=，所以(5)81324= 故选D ．考点：k 进制数与十进制数的互化．5.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1～160编号,按编号顺序平均分成20组(1～8号,9～16号,…,153～160号),若第16组抽出的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】B考点：系统抽样方法．6.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( )A.3B. 3C.6【答案】A 【解析】试题分析:由已知三视图可知，该几何体的直观图是：底面是边长为2的正三角形的三棱柱被与底不平行的平面截后两侧棱长2，一棱长为1的一个几何体，，所以其体积221222143433V =⨯-⨯⨯==故选A ．考点：1.三视图；2.简单几何体的体积．7.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( ) A.21 B. 31 C. 32 D. 41 【答案】B考点：古典概率．8.方程2222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )A ．），（∞+1B ．）（+∞,21C ．）（21,0D ．）（1,21【答案】C 【解析】试题分析：由2222=+ky x 得22112x y k+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则有 11202k k >⇔<<； 故选C ．考点：椭圆的标准方程． 9.要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将x y 2sin 3=的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位【答案】C考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．10.设变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为 （ ）A ．95B ．25-C ．0D ．53【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域如下图：由图可知只需将直线0:20l x y +=平移到经过点12(,)33A 时，2x y +可取得最大值为53； 故选D.考点：线性规划．11.已知等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，若0,01716<>S S ，则当n S 最大时，n 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．16 【答案】A考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的前n 项和．【思路点晴】本题考查等差数列的性质和前n 项和，本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负，本题是一个基础题．本题也可利用已知条件求出公差的取值范围，再研究哪一项前全为正，这一项以后全为负来进行求解．12.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A ． 2a π B ．273a π C ．2113a π D ．25a π 【答案】B 【解析】考点：球内接多面体．【方法点晴】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．解决本题的关键在于能想象出空间图形，并能准确的判断其外接球的求心就是上下底面中心连线的中点.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ．【答案】)1,31(-. 【解析】试题分析：由已知得10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113x -<<，所以答案应填：)1,31(-． 考点：函数的定义域．14.互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = . 【答案】4-.考点：1.等差数列；2.等比数列． 15.设a 、b 为两个正数，且2=+b a ，则1a ＋1b的取值范围是 ． 【答案】),2[+∞. 【解析】试题分析：因为a 、b 为两个正数，且2=+b a ， 所以111111()()(2)1222b a a b a b a b a b a b+=++=++≥=， 当且仅当12b aa b a b a b ⎧=⎪⇔==⎨⎪+=⎩时，等号成立；所以答案应填：),2[+∞． 考点：基本不等式．【易错点晴】本题考查了“乘1法”和基本不等式性质，属于基础题．本题中的乘2除2是常用的变形技巧：常值代换；最易出错的是用基本不等式求最值时一定要注意检查使用的三个前提条件：一正，二定，三相等；特别是等号成立的条件学生往往容易忘记.16.在区间）（1,0内随机地取出两个数x ,y ,则56<+y x 的概率是 . 【答案】2517.考点：几何概型．【方法点晴】本题给出在区间（0，1）内随机地取出两个数，求两数之和小于65的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、正方形和三角形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于中档题.正确作出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题10分)已知过点)3,3(--M 的直线l 与圆C ：021422=-++y y x 相交于B A ,两点，若弦AB 的长为l 的方程. 【答案】3120x y ++=．考点：直线和圆方程的应用． 18.（本小题满分12分）设p :实数x 满足01492≤+-x x ；q :实数x 满足03422<+-a ax x ,其中0>a .(1)若1=a ,且q p ∧为真,求实数x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）32<≤x ；（2）372≤≤a ． 【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p ，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，即可得出； （2）q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，且p ⇏q ，即可得出．考点：1、必要条件、充分条件与充要条件的判断；2、复合命题的真假．19.（本小题满分12分）从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.【答案】（1）0.4；（2）1；(3) 12．【解析】试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题． 20.（本小题满分12分）已知角A 、B 、C 是ABC ∆的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量)2cos ,2sin32(2A A m =→， )2,2(cos -=→An ,→→⊥n m .（1）求角A 的大小； （2）若,33cos ,2==B a 求b 的长. 【答案】（1）3π；（2）324． 【解析】试题分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量垂直满足的关系列出关系式，整理后化为一个角的正弦函数，根据A 的范围求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）由cosB 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，再由a ，sinA 的值，利用正弦定理即可求出b 的值．考点：1、正弦定理；2、平面向量数量积的运算． 21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，AP BP AB ==，PAC BC 平面⊥.（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明祥见解析；（2）36． 【解析】APBC考点：1、直线与平面平行的性质；2、二面角的平面角及求法．【方法点晴】本题考查证明线线垂直的方法，求二面角的平面角的大小的方法，找出二面角的平面角是解题的关键．找（作）出二面角的平面角的常用方法有：一是定义法：从棱上一点分别在两相面内作垂直于棱的射线；二是垂面法：作（找）二面角棱的垂面；三是三垂线定理法：作（找）一条从一个面内一点到另一个面的一条垂线，过垂足作棱的垂线，再连接垂足与另一点即得.22.已知数列}{n a 的各项均为正数，观察程序框图，若31=a ，3=k 时，有91=S (1)求数列}{n a 的通项；（2）令n a n b 2=，求m b b b +++ 21的值.【答案】(1)21n a n =+；（2）23283m +-．考点：1、数列的求和；2、数列的概念及简单表示法；3、程序框图．：。

桐乡市高级中学2015学年第一学期高二年级期中考试试卷数学试题（普通班）命题人：杨记明一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线0333=--y x 的倾斜角是（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°2．设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）（A ） 若αα//,//n m ，则n m // （B ） 若βαα⊥⊥,m ，则β//m（C ） 若βαα⊥,//m ，则β⊥m （D ） 若βα//,m m ⊥，则βα⊥3．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF平行的直线（ ）（A ）有无数条 （B ）有2条 （C ）有1条 （D ）不存在4．直线013:1=+-y ax l ，01)1(2:2=+++y a x l ，若21l l ⊥，则=a （ ）（A ）3 （B ）﹣3 （C ）﹣3或2 （D ）3或﹣25．正四棱锥S ﹣ABCD 中，SA =AB ，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）（A ）66 （B ）33 （C ）63 （D ）36 6．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）（A ）21)2()3(22=-++y x （B ）21)2()3(22=++-y x （C ）2)2()3(22=-++y x （D ）2)2()3(22=++-y x7．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）28．已知点A (﹣2,0)，B (2,0)，C (0,2)，直线y =ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）)22,0(-（B ）)1,22(- （C ）]32,22(- （D ）)1,32[二、填空题（本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共36分，请将答案写在答题卷上）9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ▲ ，表面积为 ▲ ．10．已知圆O ：x 2+y 2=1和点A (﹣2,0)，若定点B (b ,0)（b ≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |=λ|MA |，则：（Ⅰ）b = ▲ ；（Ⅱ）λ= ▲ ．11．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T （1，0），与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |=2，则：（1）圆C 的标准方程为 ▲ ．（2）圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距为 ▲ ．12．已知圆16)1()1(22=++-y x 的一条直径恰好经过直线032=+-y x 被圆所截弦的中点，则中点坐标为 ▲ ，该直径所在直线的方程为 ▲ ．13．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ▲ ．14．在四棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AA ′⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC 且AD =AA ′=2BC ．过A ′，C ，D 三点的平面与BB ′交于点E ，F ，G 分别为CC ′，A ′D ′的中点（如图所示）给出以下判断：①E 为BB ′的中点；②直线A ′E 和直线FG 是异面直线；③直线FG ∥平面A ′CD ；④若AD ⊥CD ，则平面ABF ⊥平面A ′CD ；⑤几何体EBC ﹣A ′AD 是棱台．其中正确的结论是 ▲ ．（将正确的结论的序号全填上）15．定义一个对应法则f ：P (m ，n )→P ′),(n m ，（m ≥0，n ≥0）．现有点A (3,9)与点B (9,3)，点M 是线段AB 上一动点，按定义的对应法则f ：M →M ′．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题满分15分）已知曲线方程C ：04222=+--+m y x y x ．（1）当6-=m 时，求圆心和半径；（2）若曲线C 表示的圆与直线:l 042=-+y x 相交于N M ,，且54=MN ,求m 的值．17．（本题满分15分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x +3y ﹣29=0相切．求：（1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +5=0与圆相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (﹣2, 4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（本题满分15分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证；AE ∥平面BFD ；（3）求三棱锥C ﹣BGF 的体积．19．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点．（1）证明：CD ⊥AE ；（2）证明：PD ⊥平面ABE ；（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 的正切值．20．（本题满分14分）设函数f (x )=a 2x 2（a ＞0），2)(9)(b x x g --=． （1）若函数y =f (x )图象上的点到直线x ﹣y ﹣3=0距离的最小值为2，求a 的值；（2）关于x 的不等式(x ﹣1)2＞f (x )的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围；（3）对于函数f (x )与g (x )定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得f (x )≥kx +m 和g (x )≤kx +m 都成立，则称直线y =kx +m 为函数f (x )与g (x )的“分界线”．设22=a ，235=b ，试探究f (x )与g (x )是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．。

2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b32．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣37．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．3910．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】根据幂函数的单调性即可判断．【解答】解：∵b＜a＜0，且y=x2在（﹣∞，0）上单调递增减，故a2＞b2，C错误；故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意幂函数单调性的合理运用．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A，考虑0＜x＜1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx∈（0，1]，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0＜x≤2时，x﹣递增，当x=2时，取得最大值．综合可得C正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinA==，利用大边对大角可得范围A∈（0，45°），从而解得A的值．【解答】解：∵a=1，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a=1＜b=，由大边对大角可得：A∈（0，45°），∴解得：A=30°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集．【解答】解：∵lg（x2﹣3x）＜1，∴，解得﹣2＜x＜0或3＜x＜5，∴不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（﹣2，0）∪（3，5）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列【考点】等比数列；等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在A中，由，得到{a n}不为的等差数列；在B中，由a1=S1=2﹣2=0，得到{a n}不为等比数列；在C中，若，，构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而，，不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则=，，，一定成等比数列．【解答】解：在A中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，∴a1=S1=1+1+1=3，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n+1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，n=1时，a n=2≠a1，故{a n}不为的等差数列，故A错误；在B中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，∴a1=S1=2﹣2=0，∴{a n}不为等比数列，故B错误；在C中，若，，构成等差数列，则==，∴b2=ac，∴ac=（）2=，∴a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，∴，，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴=，∴，，一定成等比数列，故D正确．故选：D．【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质，公式的合理运用．6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．7．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】因为B⊆A，所以不等式x2﹣ax﹣4≤0的解集是集合A的子集，即函数f（x）=x2﹣ax ﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间，结合二次函数的图象性质只需f（﹣2）≥0，f（4）＞0，列不等式组即可得a的取值范围．【解答】解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，解得：0≤a＜3，故选：C．【点评】本题考查了集合之间的关系，一元二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，函数方程不等式的思想．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为1+cosA=+1，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．39【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质a m﹣1+a m+1=2a m，根据已知中a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列则a m﹣1+a m+1=2a m则a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0可化为2a m﹣a m2﹣1=0解得：a m=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=39则m=20故选C．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，是解答本题的关键．10．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，由数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），知，故2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，由此能求出通项公式．【解答】解：设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，∵数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），∴，∴2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，∴=，经验证，n=1时也成立，故．故选C．【点评】本题主要考查了数列递推式以及数列的求和，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】利用“放缩法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：a m﹣a n=++…+≤+…+=．故选：A．【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x=1，y=2时，2x+y取最大值4故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=n2﹣2n+2．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣3）+（2n﹣5）+…+1+1=+1=n2﹣2n+2．故答案为：n2﹣2n+2．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．【考点】解三角形．【专题】解三角形．【分析】由题意和两角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b为最短边，由正弦定理可得．【解答】解：由题意可得tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∴C=135°，c为最长边，故c=1，又∵0＜tanB=＜=tanA，∴B为最小角，b为最短边，∵tanB=，∴sinB=，由正弦定理可得b==，故答案为：．【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和的正切公式，属中档题．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把要求的式子化为，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：∵x2+≥xy，y2+z2≥yz，∴=≤=，当且仅当x=z=时，等号成立，故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）运用乘1法，可得+=（a+4b）（+）=（5++），再由基本不等式即可得到最小值；（2）令t=（t≥），则g（t）==，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）由a，b＞0，且a+4b=4，即有+=（a+4b）（+）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当a=2b=时取得最小值，则+的最小值为；（2）令t=（t≥），则g（t）==≤=，当且仅当t=2，即k=时，取得等号，即有f（k）的最大值为．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【专题】解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a2+c2=b2+ac．b=，即可解得a，c的值．（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a2+c2=b2+ac．解得ac≤4，利用三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得：c=2a，又∵a2+c2=b2+ac．b=，∴a2+4a2=3+2a2，解得：a=1，c=2…6分（2）由余弦定理可得：cosB==，∴sinB=，又∵b=2，a2+c2=b2+ac．∴4+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤4，∴S△ABC=，当且仅当a=c=2时等号成立．故△ABC面积的最大值为…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）当a=0时，有﹣2x＜0，∴x＞0．（2）a＞0时，∵△=4﹣4a2．①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax2﹣2x+a=0的两根为=，∴不等式的解集为{x|＜x＜}．②当△=0，即a=1时，有x2﹣2x+1＜0，∴x∈∅；③当△＜0，即a＞1时，方程ax2﹣2x+a=0无实数根，不等式ax2﹣2x+a＜0无解，∴x∈∅．（3）当﹣1＜a＜0时，△＞0，不等式ax2﹣2x+a＜0的解集为{x|x＜或x＞}．综上，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：当﹣1＜a＜0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＜或x＞}；当a=0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＞0}；当0＜a＜1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|＜x ＜}．当a≥1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：∅．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（I）由正弦定理，设，则，所以．…（4分）即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）又A+B+C=π，所以sinC=3sinA因此．…（8分）（II）由得c=3a．…（9分）由题意，…（12分）∴…（14分）【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（I）有数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列且成等差数列，可以先求出数列的首项即可；（II）有（I）和，求出数列b n的通项，有通项求出前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2，S3=a1+a2+a3=3a1+6，由成等差数列得，，即，解得a1=1，故a n=2n﹣1；（Ⅱ），Tn=1×+3×+5×+…+（2n﹣1）•（）n，①①×得，，②①﹣②得，=，∴．【点评】此题考查了等差数列的通项公式及等差中项，还考查了错位相减法求数列的前n项的和．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列，可得2S n=，利用递推关系化为：化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由于数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1﹣1=0，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．可得数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+，再利用“裂项求和”即可证明．【解答】（1）解：∵对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列，∴2S n=，∴当n≥时，，相减可得：2a n=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，当n=1时，，a1＞0，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（2）证明：b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．∴数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+=1++…+ =2﹣＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。