２０１０年第１７期 ０高校讲ｉ￣０ 科技信｜Ｉ 合成运动中动参考系的选取法 黄海明 （北京交通大学工程力学研究所 中国北京 １０００４４） 【摘要】相对运动轨迹是合成运动解题的基石，相对运动轨迹的确定与动点、动参考系选取有一定关系，它是解题技巧中最关键的、难确 定的。本文主要探讨在刚体转动中如何选取动参考系的原点及其坐标轴的方向，论证了动参考系固结在转动刚体上任意方位不影响相对运动 轨迹，指明了复杂合成运动解题的捷径。 【关键词】合成运动；动参考系；相对运动轨迹；教学方法 点的合成运动方法是从两个具有不同运动的参考系中去研究同 一动点的运动以及其相互关系ｌｌ１。它在处理比较复杂的问题以及机械 运动分析时，具有重要的实用意义。同一个动点的运动，在不同的参考 系下观察，其运动的复杂程度是不同的，那么这些或简单，或复杂的运 动之间有什么联系呢？动点对某一坐标系的运动，可以分解为它相对 其他坐标系的运动．以及此坐标系对原坐标系的运动，简单可以归纳 为“一点二系三运动”，这就是合成运动方法的基本思想。相对运动轨 迹的确定与动点、动参考系选取有直接关系，它是解题技巧中最关键 的、也是难确定的。讲课时发现同学们易理解动参考系做平动，最不易 理解的是动参考系做转动。对此问题我与本所老师一起进行了探讨。 例如：凸轮机构运动如图１所示．选ＡＢ杆上Ａ为动点，动坐标系 ｘ Ｃｖ 固结在凸轮上．定坐 标系固结于地面上。由于 ＡＢ杆上Ａ点始终与凸轮 接触。并且在动参考系ｘ Ｃｖ 转动过程中任意时刻到 Ｃ点距离都是相等的。因 此。它相对于该参考系的 相对运动轨迹为已知的 圆：相对运动是以Ｃ为圆 心的圆周运动．而Ａ点的 绝对运动易发现是直线运 动，牵连运动是动坐标系 绕０轴的定轴转动。该动 点和动参考系的原点选法 使三种运动，特别是相对 图１．凸轮机构运动 ．．＿ 运动轨迹十分明显、简单且为已知的圆，使问题得以顺利解决。如果动 坐标系的原点固结在凸轮的其它点，例如在Ｏ点，其相对运动还是以 ｃ为圆心的圆周运动吗？动参考系的原点及其坐标轴的方向与相对运 动轨迹是否有关系？ 利用矢量法分析，在动坐标系ｘ Ｃｖ ，任意时刻ＣＡ连线为位置矢 量ｒ，由于位置矢量ｒ的大小不变，但相对于动坐标系ｘ Ｃｖ 中原点Ｃ是 转动的，故而相对运动轨迹是圆。如果动坐标系固结在凸轮上，如图所 示ｘｏｙ坐标系，任意时刻ＣＡ连线为位置矢量ｒ２＇由于位置矢量ｒ 的大 小是变化的，方向是转动的，其相对运动轨迹似乎是椭圆或其它曲线， 不一定是圆，学生非常迷惑。现在改变直角坐标系中Ｙ轴、ｘ轴方向，在 动坐标系转动过程中任意时刻让ｘ轴过０Ｃ两点，ｘ轴与ｘ 轴重合，Ｙ 轴平行于ｙ’轴，直观可见Ａ点相对动坐标系ｘｏｙ的运动轨迹还是以Ｃ 为圆心的圆周．只不过是相对于动坐标系ｘｏｙ的圆心进行了平移．平 移距离就是ｅ。用矢量法也可以解释前面所讲的矛盾，在两个坐标系 内。对于同一点具有两个矢量ｒ、ｒ２＇这两个坐标系的原点连线也是个 矢量ｒ ，这三个矢量之间关系是ｒ＿ｒＦｒ，。ｒ 相对于动坐标系ｘｏｙ中是不 变的，故而相对运动轨迹一定是个圆，只是平移了ｒ，，固结在转动剐体 上动参考系的原点及其坐标轴的方向与相对运动轨迹没有关系。但 是。选取动坐标系转动过程中任意时刻让ｘ轴过０Ｃ两点，学生易想象 动点的相对运动轨迹。 ． 反之，若选凸轮上的点（例如与Ａ重合之点）为动点，而动坐标系 与ＡＢ秆固结，这样，相对运动轨迹不仅难以确定。而且其曲率半径未 知。因而相对运动轨迹变得十分复杂，这将导致求解的复杂性。 在合成运动理论中，首要的是选定研究对象，即动点。然后确定两 个坐标系，通常将定系与地球固结在一起，定系的选择是比较容易的， 因此合成运动方法的关键在于恰当的选择研究对象（即动点）和动坐 标系，一般说来应注意以下几点： １）对于接触运动传递机构，动点和动系不能选在同一物体上，而 且相对运动的轨迹要比较简单，使相对运动易于分析。 ２）动系并不完全等同于与之相连的刚体．它不受特定的几何尺寸 和形状的限制，它不仅包含了与之固连的刚体。而且还包含了随刚体 一起运动的空间。虽然固结在转动刚体上动参考系的原点及其坐标轴 的方向与相对运动轨迹没有关系，但选取恰当的话，学生能够容易想 象到相对运动轨迹。 ３）动点是指运动的点。但它在所研究的系统中一经选定必须始终 是系统中的同一个点。 ４）动系、定系的选取方法不是唯一的。选择不同的定系。动系都可 能会解决问题，但解决问题的难易程度则相差较大。 在教学中一定要强调：动点、动坐标系的原点及其坐标轴方向选 取原则是学生自己易想象相对轨迹；绝对运动，相对运动都是点的运 动，只是分别在定系和动系两种不同的坐标系上去观察，其轨迹要么 是直线运动，要么是曲线运动，而牵连运动则不是点的运动，它是指坐 标系的运动，实质上是刚体的运动，它的运动形式要么是平动或定轴 转动等刚体的简单运动，要么是刚体其他形式的复杂运动。ｌ 【参考文献】 ［１］哈尔滨工业大学理论力学教研室．理论力学．第六版 ．北京：高等教育出版 社．２００２．
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度
由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点
的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加
速度合成定理求出。设已知某瞬时图形内A点的加速度aA，
图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。以A点为
基点，分析图形上任意一点B的加速度aB。因为牵连运动为
动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度ae=aA。相对运动是
点B绕基点A的转动，故相对加速度ar=aBA，其中aBA是点B
绕基点A的转动加速度。由式 (5.3.7)可得 图6-13 加速度分析的基点法
α (6.3.1) BAABαα+=
由于B点绕基点A转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a，故式(6.3.1)可写为 tBAanBA a (6.3.2) ntBABAABaaa++=
即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加
速度的矢量和。
当基点A和所求点B均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度
的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为
(6.3.3) ntntntBABAAABBaaaaaa+++=+
在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A和B连线方向垂直，相对法向加速度沿点A和B
连线方向从B指向A；仅当点A和B的运动轨迹已知时，才可以确定点A和B的切向加速度a
和及法向加速度和a。 tBAanBAatAtBanAanB在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要
素。因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面
直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R的车轮沿直线滚动，
某瞬时轮心O点的速度为vO，加速度为aO，
如图a所示。若轮作纯滚动，求图示瞬时车轮
上A、B、C三点的加速度。 解：轮作纯滚动，其瞬心为轮上与地面的
理论力学题库——第四章
一、填空题
1. 科里奥利加速度 （“是”或“不是”）由科里奥利力产生的，二者方向 （“相同”或“不相同”）。
2. 平面转动参考系中某一点对静止参考系的加速度的表达式是 ，其中 是相对加速度， 是牵连加速度， 是科里奥利加速度。
4-1.非惯性系中，运动物体要受到 4种惯性力的作用它们是： 惯性力、惯性切向力、惯性离轴力、科里奥利力 。
4-2.在北半球，科里奥利力使运动的物体向 右 偏移，而南半球，科里奥利力使运动的物体向 左 偏移。（填“左”或“右”）
4-3.产生科里奥利加速度的条件是： 物体有相对速度v及参照系转动，有角速度v，且v与v不平行 。
4-4.科里奥利加速度是由参考系的 转动 和 物体的相对运动 相互影响产生的。
4-5.物体在 主动力、约束力和惯性力 的作用下在动系中保持平衡，称为相对平衡。
4-6.重力加速度随纬度增加的主要原因是：地球自转产生的惯性离轴力与地心引力有抵消作用 。
4-7.由于科里奥利力的原因北半球气旋（旋风）一般是 逆时针 旋转的.（顺时针或逆时针）
4-8.地球的自转效应，在北半球会使球摆在水平面内 顺时针 转动.（顺时针或逆时针）
二、选择题
1. 关于平面转动参考系和平动参考系，正确的是（ ）
A. 平面转动参考系是非惯性系；
B. 牛顿定律都不成立；
C. 牛顿定律都成立；
D. 平动参考系中质点也受科里奥利力。
2. 下列关于非惯性系的说法中正确的是： 【C】
A 惯性离心力与物体的质量无关；
B 科里奥利力与物体的相对运动无关；
C 科里奥利力是参考系的转动与物体相对与参考系的运动引起的；
D 科里奥利力使地球上南半球河流右岸冲刷比左岸严重。
1作用在刚体上某点的力，可以沿着
移动到刚体上任意一点，并不改变它对刚体的作用效果。
其作用线
2 力对点之矩在某轴上的投影一定等于力对该轴之矩。 错
3力只可以使刚体移动，力偶只可以使刚体转动。 错
4光滑面约束反力方向沿接触面 ,指向被约束物体. 公法线
5光滑铰链、中间铰链有1个方向无法确定的约束反力,通常简化为方向确定的 个反力. 2
6只受两个力作用而处于平衡的刚体，叫二力构件,反力方向沿 . 二力作用点连线
7力的可传性是指作用于刚体上某点的力，可沿着它的 移到刚体内任一点，并不改变该力对刚体的作用。
_作用线_
8约束力的方向与该约束所能阻碍的位移方向 . 相反
9柔软绳索约束反力方向沿 ,指向背离被约束物体. 绳索
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35球重为W＝100N，悬挂于绳上，并与光滑墙相接触，如图所示。已知α=30o ，试求绳所受的拉力及墙所受的压力
36平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零,此时力多边形自行封闭. 正确 37在平面内只要保持________和转动方向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，则力偶对刚体的作用效果不变。 力偶矩
38力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和等于________，它对平面内的任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。 零
39同一平面内的两个力偶,只要________相等,则两力偶彼此等效. 力偶矩
