高考数学总复习学案：跟踪检测(四十五)《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》(北师大版)
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课时跟踪检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第Ⅰ组：全员必做题
1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A.13 B．－13
C．－32 D.23
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
3．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点( )
A．(－2,8) B．(2,8)
C．(－2，－8) D．(2，－8)
4．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )
A．y＝－13x＋13 B．y＝－13x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝13x＋1
5．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥34或k≤－4 B．－4≤k≤34
C.34≤k≤4 D．－34≤k≤4
6．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
7．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是________．
8．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．
9．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝π4，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a＝________.
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选B 设P(xP,1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5,1)，所以k＝－13.
2．选A
由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab＜0且－cb＞0，故ab＞0，bc＜0.
3．选D a＋2b＝3⇒4a＋8b－12＝0，又2ax－by－12＝0，比较可知x＝2，y＝－8故选D.
4．选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－13x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－13(x－1)，
即y＝－13x＋13.
5.选A 如图所示，
∵kPN＝1－－21－－3＝34，kPM＝1－－31－2＝－4，
∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥34或k≤－4，故选A.
6．解析：因为kAB＝7－54－3＝2，
kAC＝x－5－1－3＝－x－54.
A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，
即－x－54＝2，解得x＝－3.
答案：－3
7．解析：y＝k(x＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB＝0，kPA＝1－00－－1＝1.
∴k的取值范围是[0,1]．
答案：[0,1] 8．解析：(1)当过原点时，
直线方程为y＝－53x，
(2)当不过原点时，设直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a.代入点(－3,5)，得a＝－8.
即直线方程为x－y＋8＝0.
答案：y＝－53x或x－y＋8＝0
9．解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝π2；
②当m≠－1时，m＋1∈－33，0∪(0，3 ]，
∴k＝1m＋1∈(－∞，－3 ]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.
综合①②知，
直线AB的倾斜角α∈π6，2π3.
10．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
法二：设直线l过定点(x0，y0)，
则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，
即(x0＋2)·k－y0＋1＝0恒成立，
∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝－2，y0＝1，
故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1， 要使直线l不经过第四象限，则 k≥0，1＋2k≥0，
解得k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为
－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．
又－1＋2kk<0且1＋2k>0，∴k>0.
故S＝12|OA||OB|＝12×1＋2kk(1＋2k)
＝124k＋1k＋4≥12(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝1k，即k＝12时，取等号．
故S的最小值为4，
此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选D 由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝π4知，f(0)＝fπ2，
即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，
∴倾斜角为135°.
2．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，面积最小．
答案：12
