高中数学-《直线的倾斜角与斜率》导学案

“直线的斜率”的教学设计尝试 探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。

坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量 坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。

()090tan ≠=ααk给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定.确定直线位置几何要素转化为代数化升高量尝试探究形成概念对α取不同的范围进行分析k的取值情况。

3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于α情况由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α的大小k的情况k的增减性4、两点确定直线的斜率已知两点),)(,(),,(21222111xxyxpyxp≠则由这两点确定直线的线率?=k课本上是用坐标法推导的，分两种情况:让学生课前预习，这里用向量法推导①→21pp方向向上②→12pp方向向上1212xxyyk--=让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0=k②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率,比较两种方法解题思路不同.0 xy。

新修订高中阶段原创精品配套教材《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line"教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。

本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。

二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。

倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。

而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。

因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。

据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。

理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

二、教学目标分析1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。

事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。

D
)
新知探究
思考 直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
如果直线l过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),(x1≠x2) ,直线l的斜率为k，则
直线的方向向量
P1P2 ( x2 x1 , y2 y1 )
y
1
1
P1P2
( x2 x1 , y2 y1 ) 0
x2 x1
点拨 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜
率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解；若含有参数，常常需要进行分类讨论.
跟踪训练
已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
-1-1
x2 x1
l
. P (x ,y )
2
. P (x ,y ) x
1
1
结论1 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y)则 k=


y2 y1
(1,
)
x2 x1
2
=（1, k）
结论2 若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).
1
2
典例解析
例1 如图，已知A(3,2),B(-4,1),C(0，-1)，求直线AB,BC,CA的斜率，
不成立，当直线的倾斜角 = 900时，式子没有意义
y
. P (x ,y .)Pl (x ,y )
1 1 1 2 2 2
x
0
y
l
. P (x ,y )
1
0
1
1
. P (x ,yx)

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。

因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。

2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。

我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。

同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。

二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。

我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。

2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。

同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。

三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。

2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。

3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。

4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。

二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。

教学过程设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
（1）问题：两点确定一条直线，过一点可以作无数条直线（组成一个线束），这些直线的区别如何？
（2）倾斜角定义：当直线与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线/向上方向之题：除了倾斜角以外，还有没有表示直线倾斜程度的量？
学科核心素养分析
1.引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法。
2.通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
板书设计
一条直线的倾斜角/(/≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan/
k>0/0°＜/＜90°；k=0//=0°；k＜0/90°＜/＜180°;k不存在//=90°
教学反思
⑥直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°
（3）倾斜角范围：0°≤/＜180°
（4）确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角/。
1.培养学生通过数形结合探究知识能力
2.学生结合图形深刻理解直线的倾斜角概念和直线的斜率概念以及二者之间的关系。
3.会简单的解决相关直线斜率与倾斜角的问题。
如果使用“倾斜角”的概念，“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切值”
（2）直线的斜率：
一条直线的倾斜角/(/≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k=tan/
画图理解概念
①直线与x轴相交；
②x轴为基准；
③x轴正向；
④直线向上的方向：左上、右上、正上；

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。

3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。

2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。

2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。

3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。

2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。

（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。

（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。

3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。

4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。

6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。

直线的倾斜角与斜率探究点一： 直线的倾斜角1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( ) (2)任意一条直线都有斜率．( )(3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( ) 2．下图中，所标直线的倾斜角正确的是( )"3. (1)设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°， 得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° (2)已知直线l 1的倾斜角α1＝15°， 直线l 1与l 2的交点为A ，直线l 1 和l 2向上的方向所成的角为120°， 如图，则直线l 2的倾斜角为________． 跟踪练习 :1．已知直线l 的倾斜角为α－15°，则下列结论正确的是( )A ．0°≤α<180°B ．150°<α<180°C ．15°≤α<195°D ．15°≤α<180探究点二: 直线的斜率及其应用例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) =30α。

；(2) =135α。

; (3) =60α。

; (4) =90α。

?变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.（1）k =0； （2） k = 1 ；（3） k =3- ； （4）k 不存在.例2 .求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和正切值,判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角。

>变式.1.求经过下列两点直线斜率，判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A(2,3),B ( 1,4)； （2）A (5,0), B(4, 2) .2．已知过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率等于1，则m ＝________例3. (1)若三点A (2，－3)、B (4,3)、C (5，k )在同一条直线上，则实数k ＝________.(2)已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)． ①求直线AB 和AC 的斜率；②若点D 在线段BC 上(包括端点)移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．、跟踪练习(1)如图，已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2] (2) ①当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12②当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)，B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是60° 探究点三: 直线的斜率与倾斜角的综合应用!例4. (1)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4；B ．k ≥34或k ≤－14C ．－4≤k ≤34 ； ≤k ≤4.（2）点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．》跟踪练习1.直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α<45° B ．0°≤α≤45°或90°<α<180° C ．0°≤α≤45° D ．45°≤α<90°或90°<α<180°2.已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．）3.已知直线的倾斜角α∈[3060。

[自主解答]由题知k＝－ cosθ，故k∈ ，结合正切函数的图象，当k∈ 时，直线倾斜角α∈ ，当k∈ 时，直线倾斜角α∈ ，故直线的倾斜角的范围是 ∪ .
3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．
[自主解答]设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)_．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
因为线段AB，AC中点坐标分别为 ， ，
所以这条直线的方程为 ＝ ，
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为 － ＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为 ＝ ，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为 － ＝1.
＝ ≥ (4＋4)＝4.
当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)∵|MA|＝ ，|MB|＝ ，
∴|MA|·|MB|＝ · ＝2 ≥2×2＝4，
当且仅当k2＝ ，即k＝－1时取等号，
故直线方程为x＋y－3＝0.
一、直线的倾斜角与斜率
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．

高中数学 第2章《解析几何初步》1直线的倾斜角和斜率导学案北师大版必修2【学习目标】1.理解倾斜角和斜率的定义、范围；2.掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.能应用公式和概念解决问题.【重点难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率的公式.难点：能灵活应用公式和概念解决问题.【自主学习】1.直线的倾斜角： 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按 绕着交点旋转到和直线l ______所成的角，叫做直线l 的 ； 当直线l 与x 轴 时，规定它的倾斜角为___.通常倾斜角用 表示， 倾斜角的取值范围为 .2.直线的斜率：一条直线的倾斜角α（ 90≠α）的______叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即________.（1）由于当︒=90α时，αtan 无意义，故此时直线的斜率_____ _.（2）当︒<α≤︒900时，0_____tan α=k ，反之也成立.（3）当︒<<︒18090α时，0_____tan α=k ，反之也成立.3.过两点的直线的斜率公式：在直线l 上任取两个不同的点),(211y x P ，),(222y x P 是的两点，（其中21x x ≠）， 则直线l 的斜率可以表示为k= .4.描出下图中各直线的倾斜角.5.已知A （3,2）,B(-4,1),求直线AB 的斜率.2.已知过两点)6,(m A -，)3,1(m B 的直线的斜率是32-，求m 的值.【课堂检测】1.在直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点分别为A(0,0),B(5,0),C(6,4),D(4，8). 求：（1）四边形ABCD 四边所在直线的斜率；（2）四边形ABCD 两条对角线所在的直线的斜率.yxo ly x o l y x o l。

.
5.已知直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角是 6.设直线的斜率是 k ,且 1 k
.
3 ,求直线倾斜角 的取值范围.
第四层级
总结评价与反思
【思维导图】
4
0
【应用二】 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 ( 1,1), ( 2,2), 若直线 l 经过定点 A(0,1, ) 且与线段 PQ 有交点,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围.
【应用三】 已知直线 l 经过 A( 2,1), B (1, m )(m R ) 两点,求直线 l 的倾斜角的取值范围.
2
3西双版纳州民族中学郑从胜第三层级 1.下列说法中,正确的是( )
技能应用与拓展【固学区】
【课后作业】
A.直线的倾斜角为 ,则此直线的斜率为 tan . B.有倾斜角的直线都有斜率. C.若直线的倾斜角为 ,则 sin 0 . D.任一直线都有倾斜角,但它不一定有斜率. 2.如图,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,则成立的是( A. k1 k 2 k3 B. k3 k1 k 2 ) C. k1 k3 k 2 D. k3 k 2 k1 1 3.若三点 A( 2,3), B (3,2), C ( , m) 共线,则 m 等于( ). 2 1 1 A.1 B.2 C. D.2 或 2 2 4.直线 l 经过两点 A(3, 3 ), B (6,2 3 ) ,而直线 l1 的倾斜角是直线 l 的倾斜角的 2 倍,则直线 l1 的斜率为
的大小
k 的范围 k 的增减性
0
0
0 90
0
0
90
0
900 1800

．直线的倾斜角与斜率周峻民学习目标．掌握直线的倾斜角的定义．．掌握斜率公式，理解倾斜角和斜率的关系．．能根据斜率判定两条直线平行与垂直．一、夯实基础基础梳理．直线的倾斜角（）定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴与直线方向之后所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．（）倾斜角的范围为．．直线的斜率（）定义：一条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即，倾斜角是的直线斜率不存在．（）过两点的直线的斜率公式：经过两点的直线的斜率公式为．．两条直线平行的判定：对于两条不重合的直线，，其斜率分别是，，有．特别地，当时，、都垂直于轴，．当两直线斜率都不存在且不重合时，它们都垂直于轴，与的倾斜角都是，故．．两条直线垂直的判定：两条直线，都有斜率，其斜率分别是，，有．注意：（）．（）两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的条件就可叙述为：或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零．基础达标．若过点和的直线的斜率为，则的值为（）．．．或．或．若，，三点共线，则的值为（）．．．．．在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为，则它的斜率为；②若直线斜率，则它的倾斜角为；③若（，）、（，），则直线的倾斜角为；④若直线过点，且它的倾斜角为，则这直线必过（，）点；⑤若直线斜率为，则这条直线必过（，）与（，）两点．所有正确命题的序号是．．已知直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为．．（）已知△中，两顶点、的坐标为、，、分别是、的中点，求直线的斜率．（）已知，求证：四边形为矩形．二、学习指引自主探究．什么是直线的倾斜角与斜率，倾斜角的取值范围是什么？．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法哪些是正确的？（）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率（）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大（）平行于轴的直线的倾斜角是（）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等（）两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等（）直线斜率的范围是．倾斜角与斜率的变化规律打开《几何画板》，过定点作一条平行于轴的直线，度量其斜率，并将该直线绕定点按逆时针旋转，倾斜角从增大到．当时，随着增大，斜率（填“增大”“减小”），其范围是．当时，随着增大，斜率（填“增大”“减小”），其范围是．．对于“”，要从左边推出右边即“”，前提是两直线要从右边推出左边即“”，前提是两直线．案例分析．下列三点能构成三角形的三个顶点的为（）．．．．．【解析】、、选项中三点均共线，不能组成三角形．选项中三点不共线，故可以组成三角形的三个顶点．选．。

直线倾斜角与斜率，直线方程(教案)A一、知识梳理：（阅读必修2第82-99页内容）1．倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 。

规定：当直线与l 轴平行或重合时，它的倾斜角为错误！未找到引用源。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

注：直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象帮助解决；3、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4、直线的方向向量：错误！未找到引用源。

=（1，k ），k 是直线的斜率；5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

二、题型探究[探究一] 直线的倾斜角与斜率例1：（2008四川理，4）．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例2：（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是（ ）①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）[探究二]：求直线方程例3：．已知直线的点斜式方程为()y x -=--1342，求该直线另外三种特殊形式的方程。

例4．直线l 经过点P （-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程。

结论：在直角坐标系中，确定直线位置的要素有哪些？探究任务2：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？斜坡−−−→迁移平面直角坐标系中的直线 坡角−−−→对应直线的倾斜角 坡度−−−→对应直线的斜率 2、斜率的定义：把一条直线的倾斜角 α (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope)，斜率常用小写字母 表示；即 .概念解析：① 当直线l 与x 轴垂直,也就是说直线l 的倾斜角 时,斜率k ；除此之外，其他直线都有斜率，倾斜角不同，斜率也不同；② 当直线l 与x 轴平行或重合,也就是说直线l 的倾斜角 α=0°时,k = tan0°=0;结论: 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k .试一试：α=45°时, k = ;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= . 补充：已知各直线倾斜角，则其斜率的值的符号怎样？(1)α=0°时，则k （2）0°<α< 90°,则k(3)α= 90°，,则k （4）90 °<α< 180°，则k（二）斜率的公式： 已知直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p (21x x ≠)的直线的斜率公式： .对于上面的斜率公式要注意下面几点：（1）当x 1 = x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°，直线与x 轴垂直；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1、y 2和x 1、x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当y 1 = y 2时，斜率k = 0;直线的倾斜角α= 0°，直线与x 轴平行或重合.（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.试一试：1.当直线平行于 y 轴时，或与 y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？2.求下列两点直线的斜率.（1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)；（3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2)ABC是正三角形，，求三条直线yDB。

课题：直线的倾斜角和斜率教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节一、教学目标：1、知识及能力：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角.(3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系.2、过程及方法：(1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系.(2)从数及形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想.(3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路.3、情感态度及价值观：1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观.2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”及“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用.三、教学难点：倾斜角概念的形成，斜率公式的推导四、教学方法及手段：计算机辅助教学及发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现及形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.【教学过程】一、知识导入在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对)x来表示和确定.则直线呢？在平面直角坐标系中，(y,问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.则，问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢短暂思考和讨论后，学生可以回答预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同.则，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用.二、知识探索(一)直线倾的斜角1．定义：直线L及x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向及直线L向上的方向之间所成的角 叫做直线L的倾斜角.教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向及直线L向上的方向所成的角.为了帮助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现.如下图所示：教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角α就是直线L的倾斜角.〖设计意图〗学生开始对倾斜角概念还有些模糊，再此数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解.【快速练习一】1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )A B C D2．请标出下列直线L的倾斜角α.〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解.第一题比较简单，通过PPT 展示出来后，让学生集体回答即可.第二题稍难一些，在实际授课时，教师将四个图形画到黑板上，请一个同学到黑板上来画.这个题目看起来简单，而实际上，题目中设置了一些问题，图（4）情况的倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样就给学生的制造了一定的认知冲突，激发了学生学习探究的兴趣，同时加深了学生对图（4）这种特殊情况下倾斜角的记忆.教师一边巡查一边指导.待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图（3）是直角.那图（4）呢？问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？则它到底应该是多少呢？学生可能难以回答.此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现：预案：定义中的倾斜角是要求直线L及x轴相交的，而图（4）中的直线L却是及x轴平行的.教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出.所以，我们对于此类直线，也就是当直线L及x轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为00.所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L倾斜角的范围为：00≤α＜1800.〖设计意图〗至此，直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成.由易到难，由旧到新，符合学生的认知过程.学生很自然的完成了知识的过渡，并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角这个概念的理解，让学生明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x轴正方向的倾斜程度.”为了更加深直线和倾斜角之间的关系，我们继续提问：问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？预案：有且只有一个.问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？预案：无数条.它们都是互相平行的.如右图.所以仅有倾斜角是不能确定直线的！问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？预案：再加一个点.即一个点P和倾斜角α可以唯一确定一条直线.〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评.以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系.（二）直线的斜率问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量呢？学生可能难以回答此问题.老师可以慢慢引导.在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）.其实坡度的实际就是倾斜角α的正切.用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度.1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k 表示，即αtan =k .【快速练习二】已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率.（1）030=α （2）060=α （3）090=α （4）0120=α〖设计意图〗学生对于初中学过的特殊角的三角函数值已经有些陌生，在此既复习特殊角的三角函数值，又熟悉直线斜率的求法.对于（4）要告诉同学们公式0tan(180)tan αα-=-（α是锐角）.同时，根据题目可以总结出一些结论，承上启下.教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为α）我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系，请大家看屏幕.(略) 问题：任何一条直线都有斜率吗？预案：倾斜角为900的直线没有斜率.教师：所以，我们要知道，所有的直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率的. 〖设计意图〗加深对倾斜角和斜率之间的关系的理解.2．过两点的直线斜率的公式学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了.我们知道，如果给定直线的倾斜角α()︒≠90α，我们当然可以根据斜率的定义αtan =k 求出直线的斜率.我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，则怎么求出该直线的斜率呢？也就是：问题：已知直线L 上两个点的坐标),(),,(222111y x P y x P ，21x x ≠，如何求直线L 的斜率呢？ 对于这个问题，学生一下难以回答.教师可以先给出一个图形（图一），一定要让学生结合图形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出1212x x y y k --=. 图一 图二图三教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，则当α为钝角时，公式还成立吗？在此老师要适当引导学生，得出0180αθ+=(如图三)，再利用诱导公式0tan(180)tan αα-=-钝角的情况转化为锐角来求解.具体过程由同学们自己推导.让一个学生到黑板上推导.〖设计意图〗整个斜率的推导过程体现了数形结合和分类讨论的思想，教学中一定要向学生不断渗透这些数学思想.师生共同完成了倾斜角为锐角的推导过程，而倾斜角为钝角的推导则通过教师引导，由学生自己完成，让学生真正体会到知识的形成过程，并利用这一过程将外在的知识点内化成自身知识体系的一部分，完成知识飞跃，完善知识结构.问题：当α=00时，公式1212x x y y k --=还成立吗？ 预案：当α=00时，直线及x 轴平行或重合.000=tan .12y y =，此时0=k ，所以当α=00时公式依然成立.问题：及P 1，P 2在直线上的顺序有关吗？让学生思考，讨论.学生开始会觉得及顺序有关，但是后来有觉得应该是没有关系的，但说不出具体的利用.此时教师结合几何画板，再结合图象，拖动点P 1，P 2的位置，让学生直观发现直线L 的斜率并没有因P 1，P 2位置的改变而改变.详细推导过程留给学生课外完成.预案:无关.即21y y ,和21x x ,在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换. 问题：从几何角度怎样理解公式中要求21x x ≠呢？预案：当21x x =，直线垂直x 轴，倾斜角为900，此时斜率不存在.所以一定要注意公式适用的范围.〖设计意图〗通过问题引导，层层推进，分解公式难点，挖掘公式中的隐含知识点.同时结合几何画板，加深对公式的理解.留下一定的思考题，将课堂内容延伸到课外，培养学生合作探究的能力和习惯.教师：到现在为止，我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式.我们也有两种方式来求直线的斜率了.一是利用倾斜角，二是利用直线上两点的坐标.而且我们还可以先利用直线上两点的坐标算出斜率，进而求得直线的倾斜角.三、知识应用例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （ ）（3）平行于x 轴的直线的倾斜角是00或1800（ ）（4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 （ ）〖设计意图〗斜率及倾斜角概念的辨析题，巩固对斜率及倾斜角的理解.例2：已知A(3,2)，B(-4,1)，C(0,1)，求直线AB 、BC 、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜任意拖动改变P1,P2位置斜率k 的大小并没有改变角是锐角还是钝角.〖设计意图〗斜率公式的直接应用和斜率的正负及倾斜角之间的关系.练习：1．求经过点A(2，-1)和点B(a ，-2)的直线L 的斜率，并讨论a 为何值时，直线L 的倾斜角是锐角、钝角、直角？〖设计意图〗例2知识点的延伸，同时隐含了分类讨论的思想.2．已知三点A(a ，2)，B(3，7)，C(-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值.〖设计意图〗加深对斜率公式的理解，让学生明白斜率的求得及直线上的点的选择无关.同时此题也是用斜率研究三点共线问题，为后面的学习做铺垫.〖题组设计意图〗整个练习的设计围绕斜率和倾斜角展开，由浅入深.同时注意了知识的承上启下和数学思想的渗透.四、知识小结1、直线的倾斜角定义及其范围：00≤α＜18002、倾斜角和斜率k 之间的关系：3、直线斜率的两种求法：①若已知倾斜角)(090≠αα时，αtan =k②若知直线过两点),(),,(222111y x P y x P 且21x x ≠，1212x x y y k --=五、板书设计 教案说明全课以化归思想为主线，达到化未知为已知，化难为易，化几何问题为代数问题的目的.通过利用多媒体课件辅助教学，帮助学生变抽象为具体，破解教学难点.本节课在教法上力求通过设置问题，层层递进，揭示知识的形成发展过程，讲清知识的来龙去脉，突出知识的本质特征，整节课突出“问题解决”.从而使学生对所学的知识理解得更加深刻.（一）设置层层疑问，促进学生探究在教学过程中按照“教、学、研同步协调原则”，充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位.借助提问，给学生营造一个思考情境，促进学生探究，给每个学生提供思考、创造、表现及获得成功的机会，使学生在民主开放、和谐愉悦的教学氛围中获取新知识，提高能力，发展自我.（二）引导学生反思,渗透数学思想.数学思想方法是数学问题的灵魂.解析几何是用代数方法研究几何问题，坐标法思想则是解析几何的核心思想.本节课注重了启发学生思维，引导学生反思思维过程，注重了数学思想方法的渗透.在贯穿坐标法思想的同时渗透了数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想等.（三）灵活应用多媒体，突破教学难点多媒体的灵活运用，很好的帮助学生突破了难点.倾斜角概念的形成、斜率公式的得到以及倾斜角和斜率之间的关系等，都是本节课知识的难点.借助几何画板，直观、动态演示了形成过程和变化趋势，很好的帮助学生解决了难点，内化了知识.。

直线方程知识归纳：一、直线的倾斜角与斜率1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件 注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）2、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；②规定：直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为00③直线倾斜角α的取值范围是：000180α≤<④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

3、直线的斜率：倾斜角不是090的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即0tan (90)k αα=≠。

它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。

注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当00α=时，0k =；当00090α<<时，0k >；当090α=时，k 不存在，当0090180α<<时，0k <。

即：斜率的取值范围为k R ∈例1、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tan α；②若直线倾斜角斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。

其中正确命题的序号为 解：①错误，当090α=时，tan α不存在；②正确；③④错误，当0090180α<<时，0k <，k 随着倾斜角的增大而增大，但比倾斜角00090α<<小；⑤不正确，090α=时，倾斜角没有正切值。

例2、已知直线的倾斜角为α，且54sin =α，求直线的斜率k 解：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒<<︒-=︒<<︒=⇒=1809034tan 90034tan 54sin ααααα 4、直线斜率的坐标公式经过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式：1212y y k x x -=- 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即1221121221()y y y y k x x x x x x --==≠-- ②特别地：当1212,y y x x =≠时，0k =；此时直线平行于x 轴或与x 轴重合；当1212,y y x x ≠=时，k不存在，此时直线的倾斜角为090，直线与y 轴平行或重合。

2．1.1 倾斜角与斜率（2）班级 :高二班姓名:编号: 日期：09.06 【学习目标】掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．【学习重点】直线的斜率与倾斜角之间的关系【学习难点】直线的斜率与倾斜角之间的变化关系【温故自新】1.直线的倾斜角______________________________________2. 直线的斜率______________________________________3.如何证明三点共线？_______________问题 1.直线的倾斜角α与斜率k存在怎样的函数关系？____________________________【自主合作探究】例1已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？迁移探究1．本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围．2．若将本例中的“N(2m，1)”改为“N(3m，2m)”，其他条件不变，结果如何？例2已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围．(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【堂堂清】1.已知M(2m＋3，m)，N(m－2，1).(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？2．若某直线的斜率k∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是()3.直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________．日日清A 组9+1；B 组6+1 评价：基础题：1．已知直线过A (3，m ＋1)，B (4，2m ＋1)两点且倾斜角为5π6，则m 的值为( )A ．－3B ．3C ．－33D ．33 2．若A (－2，3)，B (3，－2)，C ),21(m 三点共线，则实数m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．23．在平面直角坐标系内，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则边AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0C ．3D ．234. (2023西宁阶段练习)如图，在平面直角坐标系中有三条直线l 1，l 2，l 3，其对应的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则下列结论中正确的是( )A. k 3>k 1>k 2B. k 1－k 2<0C. k 2k 3>0D. k 3>k 2>k 15. (多选)(2024大庆外国语学校开学质量检测)在平面直角坐标系中，下列说法中不正确的是( )A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C. 若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°6. 斜率为－1a 2＋1(a ∈R)的直线的倾斜角的取值范围是________ 发展题7. 已知点P (x ，－2)在A (－1，1)，B (1，7)两点所连的直线上，则实数x 的值为________．8．已知点A ()2，－3，B ()－3，－2，斜率为k 的直线l 过点P ()1，1，则满足直线l 与线段AB 相交的斜率k 的取值范围是________9．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是__ __．10．如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率．挑战题11．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求y－1x－2的取值范围．。