高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1章 函数、极限与连续

习题1.1

⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？

（1）2yxx与y= 是同一函数 （2）33yxx与y=是同一函数

（3）2111xyxx与y=不是同一函数 （4）22lnlnyxx与y=不是同一函数

⒉指出下列函数的定义域.

（1）43)(xxf的定义域是),34[ （2）xxf11ln)(的定义域是)1,(

（3）)1ln()(2xxf的定义域是),2[]2,(

（4）)arcsin(ln)(xxf的定义域是],1[ee

（5）若)(xf的定义域是]4,4[，则)(2xf的定义域是]2,2[

（6）若)(xf的定义域是]3,0[a，则)()(axfaxf的定义域是]2,[aa

3.判别下列函数的奇偶性.

（1）sinfxxx是奇函数 （2）cosfxxx是奇函数

（3）2fxxx是非奇非偶函数 （4）1lg1xfxx是奇函数

（5）cos(sin)fxx是偶函数 （6）sinxfxx是偶函数

（7）2ln(1)fxxx是奇函数 （8）2cos1xfxx是偶函数

⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的.

（1）sinyx在其定义域内不是单调的

（2）arcsinyx在其定义域内是单调递增的 （3）2yxx在其定义域内不是单调的

（4）0a时，axye在其定义域内是单调的，其中

0a时，axye在其定义域内是单调递减的，

0a时，axye在其定义域内是单调递增的

5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界.

（1）),1(1在区间xy上有界

（2）)10,1()12ln(在区间xy上有界

（3）)4,3(3在区间xy上有界

（4）)1,1(),,(),0,(sin在区间xy上分别有界

6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.

（1）sin3yx是周期函数，最小正周期是32

（2）cosyx是周期函数，最小正周期是

（3）tan2yx是周期函数，最小正周期是2

（4）ln(cos2)yx是周期函数，最小正周期是

7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.

（1）2),2arcsin()(xuuuf不可以构成复合函数

（2）xuuuf2sin),1ln()(不可以构成复合函数

（3）221ln,)(xuuuf不可以构成复合函数

（4）212,arccos)(xxuuuf可以构成复合函数

8.将下列复合函数进行分解.

（1）对复合函数43)(2xxxf的分解结果是：43,)(2xxuuxf

（2）对复合函数32)(xexf的分解结果是：32,)(xuexfu

（3）对复合函数()ln(23)fxx的分解结果是：32,ln)(xuuxf

（4）对复合函数()arcsin(1)fxx的分解结果是：1,sin)(xuuaccxf 9.求函数值或表达式.

（1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222xxxffffxxxf则.

（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin)(fffxxxxf则.

（3）已知函数21-)21arcsin(,sin)(fxxf则.

（4）已知函数xxf2cos)(sin，则1,1,21)(2xxxf

习题1.2

1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.

（1）,67,51,45,31,23,1:nx 没有极限 （2）nxn1有极限，01limnn

（3）2sinnxn没有极限 （4）1)1(3nnxnn有极限，0]1)1[(lim3nnnn

2.分析下列函数的变化趋势，求极限

（1）01lim2xx （2）011limxx

（3）)2ln(limxx （4）2232limxxx

3.图略，)(lim0xfx不存在

4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？

（1）0x时，2100x是无穷小量 （2）0x时，x2是无穷大量

（3）x时，112xx是无穷小量 （4）x时，xe是无穷大量

（5）n时，3)1(2nnn是无穷大量 （6）x时，xxsin是无穷小量

（7）x时，x1sin是无穷小量 （8）0x时，12x是无穷小量

5.已知函数2)3(1)(xxxf，则)(xf在x或x或x的过程中是无穷小量，在3x或3x或3x的过程中是无穷大量？

6. 当1x时，无穷小1x与下列无穷小是否同阶？是否等价？

（１）当1x时，无穷小1x与无穷小31x同阶，但不等价

（２）当1x时，无穷小1x与无穷小21(1)2x同阶，而且等价

习题1.3

1.设函数xxf)(，则xtxftxft21)()(lim0

2.设函数2,122,1)(2xxxxxf，则5)(lim,5)(lim,5)(lim222xfxfxfxxx.

3.求下列各式的极限：

（1）15)52(lim22xxx （2）3213lim2421xxxx

（3）35)321(lim0xx （4）242lim22xxxx

（5）2111lim220xxx （6）21)21(lim222nnnnn

（7）1122lim2xxxx （8）311lim31xxx

（9）61)319(lim2xxxx （10）112lim1xxxx

（11）201020101032)53()32()1(limxxxx

4.已知516lim21xaxxx，则7a.

5.2)(lim2xkxxx，则4k.

6.求下列极限：

（1）252sin5sinlim0xxx （2）1sin2tanlim0xxxx （3）43coscoslim20xxxx （4）2)sin()2tan(lim230xxxxx

（5）11sinlimxxx （6）0sinsinlim0xxxxx

（7）323arcsin2lim0xxx （8）21sintanlim30xxxx

7.求下列极限：

（1）82)41(limexxx （2）21)21(limexxx

（3）3220)33(limexxx （4）21)11(limexxxx

（5）5ln51)ln1(limexxx （6）exxxsec2)cos1(lim

8.用等价无穷小替换计算下列各极限：

（1）236arctanlim0xxx （2）214lim20xxex

（3）22cos1lim20xxx （4）21)21ln(lim0xxex

习题1.4

1.设函数1,31,11)(2xxxxxf，则()fx在1x处不连续．

2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？

（1）函数11)(2xxf的间断点有点1x和点1x，它们都是第二类间断点中的无穷间断点

（2）函数xexf1)(的间断点有点0x，它是第二类间断点

（3）函数xxxxf)1(1)(2的间断点有点0x和点1x，其中点0x是第二类间断点中的无穷间断点，点1x是第一类间断点

（4）函数1,01,11)(2xxxxxf的间断点有点1x，它是第一类间断点中的可去间断点 （5）函数0,20,2)(2xxxxfx的间断点有点0x，它是第一类间断点中的跳跃间断点

（6）函数2,32,24)(2xxxxxf的间断点有点2x，它是第一类间断点中的可去间断点

3.设函数0,11sin0,0,sin)(xxxxkxxxxf，当1k时，函数)(xf在其定义域内是连续的.

4.求下列极限：

（1）42arccoslim21xxx （2）0sinlglim2xx

（3）021limcossin0xxxee （4）2lnln)1ln(lim1xxxx

（5）2121lim224xxxx （6）11lim1xxxx

（7）exxex1lnlim （8）4arctanlim1xx

5.（略） 6.（略）

复习题1

一、单项选择题

1.下列函数中（C）是初等函数.

（A）)2arcsin(2xy （B）QxQxxf10)(

（C）12xy （D）1110)(2xxxxxf

2.下列极限存在的是（B）.

（A）xx4lim （B）131lim33xxx （C）xxlnlim0 （D）11sinlim1xx 3.当0x时，2tanx与下列（D）不是等价无穷小.