高中数学(人教版)泰勒公式课件

第三节 泰勒公式对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达. 多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献. 其研究结果表明: 具有直到1+n 阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n 次多项式近似表达. 本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.内容分布图示★ 引言★ 多项式逼近★ 泰勒中值定理★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 常用函数的麦克劳林公式★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题3-3★ 返回内容要点：一、问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间(a , b )内具有直到1+n 阶导数, 问是否存在一个n 次多项式函数n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= (3.1)使得 )()(x P x f n ≈, (3.2) 且误差)()()(x p x f x R n n -=是比n x x )(0-高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.二、泰勒中值公式200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-++ (3.6) 拉格朗日型余项 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (3.7) 皮亚诺形式余项 ].)[()(0n n x x o x R -= (3.9) 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= (3.12) 从公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+≈ (3.13) 误差估计式(3.8)相应变成n n x n M x R ||)!1(|)(|+≤ (3.14)例题选讲：直接展开法：例1（讲义例1）写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式.例2（讲义例2）求x e x f =)(的n 阶麦克劳林公式.例3（讲义例3）求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式.常用初等函数的麦克劳林公式：12)!1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ )()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x )()!2()1(!6!4!21cos 22642n n n x o n x x x x x +-++-+-= )(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m简介展开法：在实际应用中, 上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于间接地展开一些更复杂的函数的麦克劳林公式, 以及求某些函数的极限等.例4（讲义例4）求 xy -=31 在1=x 的泰勒展开式. 例5求函数 x xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。

yf(x)
特点:
x 的一次多项式
f(x0) f(x0)
p1(x)
o x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn(x)a0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
则 pn (x)
故 pn(x)f (x0) f( x 0 )x (x 0 ) 21 ! f(x 0 )x ( x 0 )2 n1 ! f( n )( x 0 )x (x 0 ) n
2. 余项估计
令 R n ( x ) f( x ) p n ( x ) (称为余项) , 则有
Rn(x0)Rn (x0) R n ( n )( x 0 ) 0
f(nn)(!x0R )n ((xx)x 0)(nn M f1 ()(nn! 1x)1()n !)1((x在 x0x )0 n 与 1x之)间
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f(k )(x ) e x , f( k ) ( 0 ) 1( k 1 ,2 , )
ex 1x x 2 2!
x3 3!
高等数学 第三章 微分中值定理与导数的应用 §3 泰勒公式
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
a1 2 a 2 (x x 0 ) n a n ( x x 0 ) n 1

例9.试证：当x 0时，ln(1 x) x 1 x
例10.证明：当x 0时，x2 1 ln x
例11.证明:1 x ln( x 1 x2 ) 1 x2 , x 0
五.求极值与最值 求极值步骤：(1)找到可疑的极值点（包括驻点及不可导点） (2)利用第一或第二充分条件判定
例12.设y y(x)由方程2 y 2 y 2xy x 1所确定，试求 它的驻点，并判别它是否有极值点？如果是，
3
(1 y2 ) 2
,曲率半径 1
K
( x0 , y0 )
8.渐近线：
垂直渐近线: x
x0
,
lim
x x0
f
(x) 或 lim x x0 -
f (x)
水平渐近线：y y0，lxim f (x) y0
斜渐近线：y ax b, a lim f (x) ,b lim[ f (x) ax]
(
x
x0
)
n1
,
(在x0与x之间)
麦克劳林公式：x0 0
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f (n) (0) n!
xn Rn (x)
其中Rn (x)
f (n1) (x) xn1, (0
(n 1)!
1)
常见的展开式 :
ex 1 x x2 xn e xn1，
以x2代替x
sin x2 x2 x6 x10 (1)n1 x4n2 o(x4n )
3! 5!
(2n 1)!
2.洛必达法则，必须将未定式扩展性转化为基本型
0, 0
3.导数的几何意义：f (x0)为曲线y f (x)在M (x0, f (x0 ))处

易于理解：二元泰 勒公式的推导过程 简单易懂，易于掌 握和应用
缺点
计算复杂度高：二元泰勒公式的计算复杂度较高，需要大量的计算资源。
精度有限：二元泰勒公式的精度有限，对于高精度要求的问题，可能需要使用更高阶的 泰勒公式。
适用范围有限：二元泰勒公式的适用范围有限，对于一些复杂的函数，可能无法得到准 确的结果。
f(a,b)：泰勒展开的二 次项
f(x,y)：二元函数
n：泰勒展开的阶数
R：泰勒展开的半径
f(a,b)：泰勒展开的三 次项
f(a,b)：泰勒展开的线 性项
二元函数的泰勒展开式
二元泰勒公式是二元函数的一种近似表示方法
泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法 二元泰勒公式可以表示为f(x,y)=f(a,b)+(x-a)f'(a,b)+(yb)f''(a,b)+(x-a)^2f'''(a,b)+... 二元泰勒公式在数学、物理、工程等领域有广泛应用
连续性
二元泰勒公式在定义域内连续
二元泰勒公式在定义域内可导
二元泰勒公式在定义域内可微
二元泰勒公式在定义域内可积
二元泰勒公式的应用实例
计算近似值
实例1：计算函 数 f(x)=x^2+2x+ 1在x=1处的近似 值
实例2：计算函 数f(x)=sin(x)在 x=π/4处的近似 值
实例3：计算函 数f(x)=ln(x)在 x=10处的近似值
实例4：计算函 数f(x)=e^x在 x=0处的近似值
函数逼近的实例
泰勒公式在数值分析中的应用
泰勒公式在优化问题中的应用
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